從特殊到一般 讓或然成必然

摘 要：從特殊到一般是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的常用方法.解題時(shí)，學(xué)生由特殊入手得到初步結(jié)論，再通過(guò)驗(yàn)證、推理、證明一般結(jié)論，得到必然規(guī)律.在復(fù)習(xí)課的教學(xué)中，教師應(yīng)將數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)于教學(xué)活動(dòng)中，讓學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般，再由一般到特殊的反復(fù)認(rèn)識(shí)的過(guò)程，從而深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解，豐富解決問(wèn)題的策略.

關(guān)鍵詞：特殊；一般；復(fù)習(xí)課

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“課程標(biāo)準(zhǔn)”）指出：“在教學(xué)中要重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)未來(lái)學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系.”［1］然而，筆者發(fā)現(xiàn)當(dāng)前許多復(fù)習(xí)課，就題論題，知識(shí)碎片化，缺少聯(lián)系，無(wú)法構(gòu)建知識(shí)體系，課堂效率不高.筆者以“相似三角形與圓的復(fù)習(xí)課”為例，把兩章內(nèi)容進(jìn)行整合教學(xué)，以落實(shí)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

1 備課思考

備課問(wèn)題1 為什么對(duì)相似三角形與圓進(jìn)行整合？

蘇科版教材將“對(duì)稱(chēng)圖形——圓”安排在“圖形的相似”之前，是因?yàn)閳A既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，又是軸對(duì)稱(chēng)圖形.在學(xué)習(xí)圓之前，學(xué)生已經(jīng)具備了圖形的平移、對(duì)稱(chēng)和旋轉(zhuǎn)等知識(shí)儲(chǔ)備和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上繼續(xù)運(yùn)用圖形的運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，對(duì)圓的主要性質(zhì)進(jìn)行研究，有利于強(qiáng)化對(duì)圓的對(duì)稱(chēng)性的認(rèn)識(shí).相似也是圖形之間的一種基本變換，教材在相似和圓的聯(lián)系上，涉及的內(nèi)容不多，學(xué)生解決相關(guān)問(wèn)題欠缺經(jīng)驗(yàn)，故筆者把相似三角形與圓的復(fù)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行整合，把直線(xiàn)型和曲線(xiàn)型進(jìn)行組合，讓學(xué)生經(jīng)歷從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從特殊到一般，從猜想到證明的學(xué)習(xí)過(guò)程，完善知識(shí)體系.

備課問(wèn)題2 本節(jié)課的教學(xué)生長(zhǎng)點(diǎn)在哪？

圓和相似綜合應(yīng)用包含的知識(shí)豐富，綜合性強(qiáng)，故本節(jié)課從學(xué)生已有的認(rèn)知起點(diǎn)“切線(xiàn)長(zhǎng)定理”作為切入點(diǎn)，經(jīng)歷一系列的探究，從知識(shí)視角，把相似與圓的相關(guān)知識(shí)建立聯(lián)系；從能力視角，完善解題策略，感受切割線(xiàn)定理與相交弦定理的本質(zhì)；從思想方法視角，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，從特殊到一般，再?gòu)囊话慊氐教厥猓S富活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，深化知識(shí)間的聯(lián)系，感受幾何知識(shí)的嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性和合理性，從而提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

備課問(wèn)題3 怎樣設(shè)計(jì)活動(dòng)，讓學(xué)生感受到知識(shí)的聯(lián)系？

課程標(biāo)準(zhǔn)未將“與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段（相交弦定理、割線(xiàn)定理、切割線(xiàn)定理等）”作為必修內(nèi)容，但它作為初三的復(fù)習(xí)課，不是簡(jiǎn)單的知識(shí)重復(fù).在教學(xué)過(guò)程中，教師不僅要注重具體內(nèi)容與核心素養(yǎng)之間的關(guān)聯(lián)，還要注重內(nèi)容主線(xiàn)與核心素養(yǎng)發(fā)展之間的關(guān)聯(lián).基于以上理念，筆者從蘇科版《義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)》P71的“切線(xiàn)長(zhǎng)定理”出發(fā)，通過(guò)設(shè)計(jì)問(wèn)題串，由特殊到一般，不斷弱化條件，讓學(xué)生在這一過(guò)程中發(fā)現(xiàn)“切割線(xiàn)定理”“相交弦定理”，并能運(yùn)用“相似三角形”知識(shí)證明猜想，感受圓和相似三角形的聯(lián)系.學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中其抽象能力、推理能力和應(yīng)用意識(shí)得到發(fā)展.

2 教學(xué)過(guò)程與說(shuō)明

2.1 先行組織，引出基本圖形

復(fù)習(xí)課的價(jià)值之一是鞏固知識(shí)，加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和記憶.在復(fù)習(xí)課中，合理運(yùn)用先行知識(shí)點(diǎn)，可以幫助學(xué)生完善知識(shí)體系.合理有效地使用教材對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)至關(guān)重要.只有問(wèn)題背景熟悉，學(xué)生的參與度才能得到保障.

問(wèn)題1 如圖1所示，PA和PB是⊙O的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別是A、B.求證：PA＝PB.

教學(xué)引導(dǎo)：讓學(xué)生思考3分鐘，動(dòng)筆寫(xiě)一寫(xiě).如圖2，學(xué)生根據(jù)已知條件，結(jié)合切線(xiàn)的性質(zhì)，由“HL定理”判定△POA≌△POB，得到PA＝PB.

追問(wèn) 你能運(yùn)用圖形運(yùn)動(dòng)的方法證明PA＝PB嗎？

教學(xué)說(shuō)明：如圖2所示，大部分學(xué)生都能通過(guò)全等，運(yùn)用幾何邏輯推理的方式得到PA＝PB.個(gè)別學(xué)生在OA＝OB，∠OAP＝∠OBP＝90°基礎(chǔ)上，利用勾股定理計(jì)算出PA＝ OP2-OA2，PB＝ OP2-OB2，得到PA＝PB.前者側(cè)重幾何推理，后者側(cè)重計(jì)算隱藏著PA的長(zhǎng)與點(diǎn)P到圓心的距離d，與圓半徑r有關(guān).為了引導(dǎo)學(xué)生感悟“證明的過(guò)程可以有不同的表達(dá)形式”的課標(biāo)要求，同時(shí)也強(qiáng)化了對(duì)圓的對(duì)稱(chēng)性的認(rèn)識(shí).教師通過(guò)追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用圖形運(yùn)動(dòng)的方法對(duì)“切線(xiàn)長(zhǎng)定理”進(jìn)行證實(shí).如圖2所示，由OA⊥PA，OB⊥PB，OA＝OB，可知點(diǎn)O在∠APB的平分線(xiàn)上，把圖2中的PB沿直線(xiàn)OP翻折，射線(xiàn)PB與射線(xiàn)PA重合（如圖3）.因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)O有且只有一條直線(xiàn)與PA（PB）垂直，所以O(shè)B與OA重合，即點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，PA＝PB.

2.2 弱化條件，引發(fā)學(xué)生思考

問(wèn)題2 如圖4所示，PA是⊙O的切線(xiàn)，切點(diǎn)是點(diǎn)A，直線(xiàn)PB交⊙O于點(diǎn)C、點(diǎn)B.求證：PA2＝PB·PC.

教學(xué)引導(dǎo)：就結(jié)論P(yáng)A2＝PB·PC的結(jié)構(gòu)，喚起學(xué)生解題經(jīng)驗(yàn)，聯(lián)想用相似的知識(shí)解決問(wèn)題.如圖5所示，學(xué)生在連接AC、AB后，欲求證△PAC∽△PBA，只需把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明∠PAC＝∠PBA即可.

教學(xué)說(shuō)明：對(duì)于問(wèn)題2，筆者采用封閉結(jié)論形式，直接求證PA2＝PB·PC，而不是探索PA、PC、PB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？原因在于對(duì)于三個(gè)線(xiàn)段之間的關(guān)系，學(xué)生根據(jù)以往的解題經(jīng)驗(yàn)，更多的是從線(xiàn)段的和與差去認(rèn)識(shí)，很難發(fā)現(xiàn)PA是PB、PC的比例中項(xiàng)，故此處教師直接呈現(xiàn)，把更多的精力留在證明上.

問(wèn)題3 如圖6所示，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，射線(xiàn)PA交⊙O于A、D兩點(diǎn)，射線(xiàn)PB交⊙O于B、C兩點(diǎn)，則PA、PD、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

教學(xué)引導(dǎo)：觀察圖2、圖4和圖6，鼓勵(lì)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)的視角發(fā)現(xiàn)三個(gè)圖之間的聯(lián)系和區(qū)別.猜想PA、PD、PB、PC之間的數(shù)量關(guān)系并證明.

追問(wèn) 你還能用其他方法證明你的猜想嗎？

教學(xué)說(shuō)明：?jiǎn)栴}1中兩條切線(xiàn)長(zhǎng)滿(mǎn)足PA＝PB，用與問(wèn)題2相同的證明結(jié)構(gòu)表達(dá)為PA·PA＝PB·PB.問(wèn)題2結(jié)論是PA·PA＝PB·PC，故猜想問(wèn)題3結(jié)論或許為PA·PD＝PB·PC.如圖7所示，用運(yùn)動(dòng)的視角把PA順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，變成切線(xiàn)PM，圖7變成圖4，思路如下：過(guò)點(diǎn)P作⊙O切線(xiàn)PM，由問(wèn)題2結(jié)論，得PM2＝PA·PD，PM2＝PB·PC，即PA·PD＝PB·PC，證法自然，把一般問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊問(wèn)題，把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題.

復(fù)習(xí)課中通過(guò)呈現(xiàn)題組的形式，可以加強(qiáng)對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)，加強(qiáng)遷移能力，豐富解題經(jīng)驗(yàn).例如，如圖8所示，連接AC、BD，證明△PAC∽△PBD；如圖9所示，連接AB、CD，證明△PDC∽△PBA，從而證明PA·PD＝PB·PC.證法與解決問(wèn)題2的思路一脈相承，學(xué)生的思維從特殊到一般地逐級(jí)探索，完成了多次思維的升級(jí).在活動(dòng)中學(xué)生逐步體會(huì)解決這類(lèi)問(wèn)題的本質(zhì)，達(dá)到做一組題會(huì)一類(lèi)題的效果.

2.3 強(qiáng)化條件，引動(dòng)思維碰撞

問(wèn)題4 如圖10所示，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，射線(xiàn)PA交⊙O于A、D兩點(diǎn)，PA·PD的值與圖中哪些定量有關(guān)？

教學(xué)引導(dǎo)：讓學(xué)生嘗試畫(huà)圖，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A和D是動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P和O是定點(diǎn)，故定量應(yīng)該與 P和O的位置有關(guān)，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，點(diǎn)P和O的位置確定了OP的距離d和圓的半徑r，猜想PA·PD的值用含d和r的代數(shù)式表示.

追問(wèn) PA·PD的值與O、P兩點(diǎn)間的距離d，圓的半徑r有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

教學(xué)說(shuō)明：發(fā)現(xiàn)定量就是理解圖形過(guò)程，在感受PA·PD與OP的距離d和圓的半徑r有關(guān)后，問(wèn)題從定性走向定量，問(wèn)題的開(kāi)放性讓這節(jié)課進(jìn)入思維的高潮.學(xué)生在特殊與一般、簡(jiǎn)單與復(fù)雜中不斷轉(zhuǎn)換，在認(rèn)真思考后，提供了以下兩種方法：①如圖11所示，構(gòu)造切線(xiàn)PM，把PA·PD轉(zhuǎn)化為求PM2，由勾股定理得PM2＝OP2-OM2＝d2-r2；②如圖12所示，構(gòu)造射線(xiàn)PE交⊙O于點(diǎn)E、F，則PA·PD＝PE·PF＝（PO＋OE）·（PO-OF）＝d2-r2.兩種方法都特殊化了條件，前者構(gòu)造切線(xiàn)，與OP和OM構(gòu)成直角三角形；后者使得割線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心O，把d和r直接聯(lián)系起來(lái).

2.4 類(lèi)比遷移，指引數(shù)學(xué)思想

問(wèn)題5 如圖13所示，點(diǎn)P是⊙O內(nèi)一點(diǎn)，射線(xiàn)PA交⊙O于A、D兩點(diǎn)，射線(xiàn)PB交⊙O于B、C兩點(diǎn)，則PA、PD、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

教學(xué)引導(dǎo)：?jiǎn)栴}3中，點(diǎn)P在⊙O外，若點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，結(jié)論是否還成立？

追問(wèn)1 PA·PD的值與O、P兩點(diǎn)間的距離d，圓的半徑r有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

追問(wèn)2 類(lèi)比問(wèn)題3，談?wù)劷Y(jié)論的區(qū)別和聯(lián)系.

教學(xué)說(shuō)明：通過(guò)類(lèi)比，問(wèn)題3與問(wèn)題5只是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系不同，其結(jié)論以及證明的思路是一致的.如圖14所示，連接AB，CD，證明△PDC∽△PBA，從而證明PA·PD＝PB·PC，但PA·PD的值用含有d與r的代數(shù)式表示時(shí)，只能特殊化，使弦過(guò)圓心，成為直徑.如圖15所示，過(guò)點(diǎn)P構(gòu)造直徑EF，則PA·PD＝PE·PF＝（PO＋OE）·（OF-PO）＝r2-d2.

3 教學(xué)反思

3.1 課堂教學(xué)要有寬度，關(guān)注知識(shí)之間的聯(lián)系

學(xué)生所學(xué)知識(shí)往往以片段化、零散化的形式儲(chǔ)存在大腦中.復(fù)習(xí)課，特別是初三的一輪復(fù)習(xí)，教師要關(guān)注知識(shí)的聯(lián)系，打破知識(shí)之間的割裂狀態(tài)，幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)化、條理化、結(jié)構(gòu)化的重新認(rèn)知.教師在教學(xué)中通過(guò)設(shè)計(jì)有效的問(wèn)題情境，實(shí)現(xiàn)條件之間的融合與貫通，拓寬知識(shí)之間的寬度，借助綜合性的探究活動(dòng)，進(jìn)一步發(fā)展核心素養(yǎng).

3.2 課堂教學(xué)要有深度，重視思想方法的教學(xué)

美國(guó)數(shù)學(xué)教育家波利亞（G.Polya）認(rèn)為：“只有對(duì)數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法理解透徹并融會(huì)貫通時(shí)，才能提出新看法、巧解法.”只有重視了思想方法的滲透，才可以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì).課堂教學(xué)應(yīng)從具體的、特殊的情況入手，通過(guò)觀察、猜想、分析和歸納，深度挖掘，幫助學(xué)生建模，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)一般性結(jié)論.教師應(yīng)由淺入深，再深入淺出，把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，讓學(xué)生在問(wèn)題處理上得心應(yīng)手.

3.3 課堂教學(xué)要有廣度，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣

教育的本質(zhì)屬性是教師的價(jià)值引導(dǎo)和學(xué)生自主建構(gòu)的辯證統(tǒng)一，故教師有責(zé)任也有義務(wù)幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，促使其在解決問(wèn)題的過(guò)程中便于自主建構(gòu)，加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解.好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，如多畫(huà)、多想、多猜、多思考等，可以讓學(xué)生在學(xué)習(xí)上有效且輕松.教師應(yīng)通過(guò)多樣化的數(shù)學(xué)活動(dòng)，給學(xué)生足夠的時(shí)間和機(jī)會(huì)，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考，感受和體驗(yàn)數(shù)學(xué)，學(xué)會(huì)觀察、操作、嘗試解決問(wèn)題，形成實(shí)驗(yàn)與猜想的習(xí)慣，將創(chuàng)新和嚴(yán)謹(jǐn)有效結(jié)合.良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣不僅可以助力于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，更是學(xué)生獲得所有知識(shí)的有效路徑.擁有良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣可以讓學(xué)生受益終身.

參考文獻(xiàn)

［1］中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］楊裕前.數(shù)學(xué)教師教學(xué)用書(shū).九年級(jí)上冊(cè)［M］.南京：江蘇科學(xué)技術(shù)出版社，2014.