巧場(chǎng)景創(chuàng)設(shè)，妙思維應(yīng)用

摘 要：函數(shù)零點(diǎn)常與分段函數(shù)進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)的交匯與融合，成為高考命題的一個(gè)重要場(chǎng)景.本文結(jié)合一道分段函數(shù)場(chǎng)景下方程的實(shí)根個(gè)數(shù)問題，探究參數(shù)的取值范圍，合理變形與轉(zhuǎn)化，結(jié)合零點(diǎn)的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，從不同思維視角切入與應(yīng)用，歸納總結(jié)技巧方法，旨在引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考．

關(guān)鍵詞：分段函數(shù)；方程；零點(diǎn)；圖象

分段函數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)模塊中的兩個(gè)重要基礎(chǔ)知識(shí)，更是高考數(shù)學(xué)試卷中的高頻考點(diǎn)之一.把函數(shù)的零點(diǎn)與分段函數(shù)巧妙

融合在一起，充分考查學(xué)生分段函數(shù)的相關(guān)知識(shí)以及函數(shù)的零點(diǎn)問題.此類題使得兩知識(shí)點(diǎn)合理交匯，對(duì)相應(yīng)知識(shí)與綜合知識(shí)的考查具有較好的作用，備受命題者青睞，時(shí)常在高考試題中“閃亮”登場(chǎng)．

1 問題呈現(xiàn)

問題 ^^［2024年湖南省永州一中高三（下）開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷］amp;amp;已知a，b∈R，函數(shù)f（x）=

x，x＜0，

13x3-12（a+1）x2+ax，x≥0，若方程f（x）－ax－b=0恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則（" ）.

A. a＜－1，b＜0"" B. a＜－1，b＞0

C. a＞－1，b＜0D. a＞－1，b＞0

本題以兩個(gè)基本函數(shù)為問題背景，合理設(shè)置相應(yīng)的分段函數(shù)，結(jié)合對(duì)應(yīng)方程中實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)情況，將問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的分段函數(shù)與含參的一次函數(shù)圖象之間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)參數(shù)的取值范圍．

解決此類問題的關(guān)鍵就是充分挖掘題設(shè)條件，建立方程的實(shí)根個(gè)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，借助逆向思維來分析參數(shù)的取值范圍，難度較大．

2 追根溯源

以上問題源自下面的高考真題，借助高考真題中“函數(shù)y=f（x）－ax－b恰有三個(gè)零點(diǎn)”等價(jià)于“方程f（x）－ax－b=0恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”，以不同的方式來設(shè)置，本質(zhì)一樣，進(jìn)而確定函數(shù)綜合應(yīng)用問題．

高考真題 已知a，b∈R，函數(shù)f（x）=x，x＜0，

13x3-12（a+1）x2+ax，x≥0，若函數(shù)y=f（x）－ax－b恰有三個(gè)零點(diǎn)，則（" ）.

A. a＜－1，b＜0B. a＜－1，b＞0

C. a＞－1，b＜0D. a＞－1，b＞0

3 問題破解

3.1 函數(shù)圖象思維

將方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根進(jìn)行合理的等價(jià)變換，轉(zhuǎn)化為函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)問題，進(jìn)一步加以等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)建兩個(gè)不同函數(shù)的圖象之間恰有三個(gè)交點(diǎn)來處理，數(shù)形結(jié)合合理轉(zhuǎn)化．

方法：函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)法.

當(dāng)x＜0時(shí)，由y=f（x）－ax－b=0可得x－ax－b=0，即x=b1-a，則其最多一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)x=b1-a＜0時(shí)才有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)x≥0時(shí)，y=f（x）－ax－b=13x3－12·（a+1）x2+ax－ax－b=13x3－12（a+1）x2－b，

求導(dǎo)可得y′=x2－（a+1）x.

當(dāng)a+1≤0，即a≤－1時(shí)，y′≥0，此時(shí)函數(shù)y=f（x）－ax－b在［0，+∞）上遞增，則知y=f（x）－ax－b最多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)a+1＞0，即a＞－1時(shí)，令y′＞0，解得x∈［a+1，+∞），函數(shù)y=f（x）－ax－b遞增；令y′＜0，解得x∈［0，a+1），函數(shù)y=f（x）－ax－b遞減.函數(shù)y=f（x）－ax－b最多有2個(gè)零點(diǎn).

方程f（x）－ax－b=0恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于函數(shù)y=f（x）－ax－b在（－∞，0）上有一個(gè)零點(diǎn)，在［0，+∞）上有2個(gè)零點(diǎn).

如圖1所示，由數(shù)形結(jié)合，可知b1-a＜0且-b＞0，

13（a+1）3-12（a+1）（a+1）2-b＜0，

解得b＜0，1－a＞0，b＞－16（a+1）3，則有a+1＞0，解得-1＜a＜1，故選擇答案

C．

點(diǎn)評(píng)：此方法用函數(shù)圖象思維來分析與函數(shù)零點(diǎn)情況相關(guān)的問題，通過函數(shù)圖象的位置特征與變化情況來確定各種場(chǎng)景下相應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)的情況，往往是數(shù)形結(jié)合的一個(gè)典型應(yīng)用，也是直觀形象解決函數(shù)問題的一個(gè)重要場(chǎng)所．

3.2 函數(shù)零點(diǎn)思維

將方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根進(jìn)行合理的等價(jià)變換，結(jié)合相應(yīng)分段函數(shù)進(jìn)行分類討論與深入研究，利用不同條件下函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)情況加以有機(jī)取舍與判斷，從而得以分類討論解決．

方法1：零點(diǎn)個(gè)數(shù)討論法.

由于方程f（x）－ax－b=0恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則知函數(shù)g（x）=（1-a）x-b，x＜0，

13x3-12（a+1）x2-b，x≥0恰有三個(gè)零點(diǎn).

分別記函數(shù)F（x）=（1－a）x－b（x＜0），H（x）=13x3－12（a+1）x2－b（x≥0）.

對(duì)于函數(shù)F（x）=（1－a）x－b（x＜0），只有當(dāng)a＜1

b＜0或a＞1

b＞0時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn).

對(duì)于函數(shù)H（x）=13x3－12（a+1）x2－b（x≥0），

當(dāng)x≥0時(shí)，由H（x）=13x3－12（a+1）x2－b=0，可得b=13x3－12（a+1）x2=h（x），

由于h′（x）=x2－（a+1）x=x［x－（a+1）］，

當(dāng)a+1≤0時(shí)，即a≤－1，h′（x）≥0，此時(shí)函數(shù)h（x）在［0，+∞）上遞增，且h（0）=0，此時(shí)函數(shù)H（x）=13x3－12（a+1）·x2－b（x≥0）只有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)a+1＞0時(shí)，即a＞－1，此時(shí)函數(shù)h（x）在（0，a+1）上遞減，在（a+1，+∞）上遞增，且h（0）=0，那么只要h（a+1）=－16（a+1）3＜0，且b∈（－16（a+1）3，0）時(shí)，函數(shù)H（x）=13x3－12（a+1）x2－b（x≥0）有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上分析，要使函數(shù)g（x）恰有三個(gè)零點(diǎn)，則要a＞－1，b＜0，故選擇答案C．

方法2：零點(diǎn)分析法.

方程f（x）－ax－b=0恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于y=f（x）與y=ax+b的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)x≥0時(shí)，由f（x）=13x3－12（a+1）x2+ax，可得f′（x）=x2－（a+1）x+a=（x－a）·（x－1），且

f（0）=0，f′（0）=a，

則當(dāng)a≤－1時(shí)，y=f（x）與y=ax+b的圖象不可能有三個(gè)交點(diǎn)，排除選項(xiàng)A，B.

若12（a+1）=0，即a=－1，0處為三次零點(diǎn)穿過，不符合條件；

若12（a+1）＞0，即a＞－1，0處偶重零點(diǎn)反彈，此時(shí)要滿足x=b1-a＜0，則知b＜0，

故選擇答案C．

方法3：函數(shù)零點(diǎn)存在定理法.

由于方程f（x）－ax－b=0恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

則知函數(shù)g（x）=（1-a）x-b，x＜0，

13x3-12（a+1） x2-b，x≥0恰有三個(gè)零點(diǎn)，

由題意可知，當(dāng)x≥0時(shí)，g（x）至少存在兩個(gè)零點(diǎn)，

由g′（x）=x2－（a+1）x=x［x－（a+1）］=0，解得x=0或x=a+1，

于是有a+1＞0

g（0）＞0

g（a+1）＜0，解得a＞－1且b＜0，當(dāng)x＜0時(shí)，x=b1-a＜0，解得a＜1.

綜上分析，－1＜a＜1，b＜0，故選擇答案C．

點(diǎn)評(píng)：上述兩種方法用函數(shù)零點(diǎn)思維逆向分析與函數(shù)零點(diǎn)情況相關(guān)的問題，往往要依托參數(shù)取值情況的分類討論，結(jié)合零點(diǎn)的存在情況、零點(diǎn)的個(gè)數(shù)情況等相關(guān)的信息來分析與處理，給問題的解決創(chuàng)造條件，成為解決問題的關(guān)鍵．

3.3 特殊值思維

將方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，進(jìn)行合理的等價(jià)變換，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，以特殊值a=0加以介入，在此條件下討論對(duì)應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，再結(jié)合參數(shù)b的取值情況進(jìn)行排除法處理．

方法4：特殊值排除法.

取特殊值a=0，此時(shí)函數(shù)f（x）=x，x＜0，

13x3-12x2，x≥0，

只需要考查y=f（x）與y=b的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，

如圖2所示，要使得y=f（x）與y=b的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，則知b＜0.

結(jié)合各選項(xiàng)中的條件，只有選項(xiàng)C滿足條件，故選擇答案C．

點(diǎn)評(píng)：特殊值思維有一定的投機(jī)取巧成分，只是在實(shí)際應(yīng)用過程中，可以很好優(yōu)化過程，比較簡(jiǎn)單快速地排除一些不吻合題設(shè)條件的答案，給問題的進(jìn)一步深入研究或判斷創(chuàng)造條件，提升直接判斷正確性的概率．

4 變式拓展

變式 已知a，b∈R，函數(shù)f（x）=x，x＞0，

（x+a）ex+ax，x≤0，若函數(shù)y=f（x）－ax－b恰有三個(gè)零點(diǎn)，則（" ）.

A. a＞1，b＞0""" B. a＞1，b＜0

C. a＜1，b＞0D. a＜1，b＜0

解析：令函數(shù)g（x）=f（x）－ax=（1-a）x，x＞0，

（x+a）ex，x≤0，則問題等價(jià)為g（x）=b恰有三個(gè)零點(diǎn)．

當(dāng)x≤0時(shí)，g′（x）=（x+a+1）ex．

對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)a＞1，b＞0時(shí)，函數(shù)g（x）在（－∞，－a－1）上單調(diào)遞減，在（－a－1，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，此時(shí)方程g（x）=b最多只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，不合題意.

對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)a＞1，b＜0時(shí)，函數(shù)g（x）在（－∞，－a－1）上單調(diào)遞減，在（－a－1，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，此時(shí)方程g（x）=b可能會(huì)出現(xiàn)三個(gè)實(shí)數(shù)根，符合題意.

對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)a＜1，b＞0時(shí)，函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，此時(shí)方程g（x）=b最多只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，不合題意.

對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)a＜1，b＜0時(shí)，函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，此時(shí)方程g（x）=b最多只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，不合題意.

故選擇答案B．

5 規(guī)律總結(jié)

破解此類方程的實(shí)根個(gè)數(shù)或函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題有以下兩種常規(guī)思維方式：①將方程的實(shí)根個(gè)數(shù)或函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合思維來處理；②直接利用原函數(shù)的圖象及零點(diǎn)的存在定理來處理.解決此類問題充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，是高考命題中核心素養(yǎng)立意的充分體現(xiàn)與魅力所在．