弱化優化寬化

摘 要：《義務教育數學課程標準（2022年版）》中增加了對尺規作圖的具體要求，這些要求在學業質量監測試題中也得到了相應的體現.解決好尺規作圖問題，需要充分運用多種與尺規作圖相關的基本原理和方法，能夠增強學生的動手能力，發展空間觀念和空間想象力.

關鍵詞：弱化要求；準目標圖形；圖形變換

近年來，尺規作圖題難度較以往有大幅提升，這些題往往難在對目標圖形的要求較多或比較嚴格等方面，完成這樣一些尺規作圖題通常可以先弱化對目標圖形的要求，作出接近于“目標圖形”的“準目標圖形”，再借助圖形的變換（平移、翻折、旋轉或位似）把“準目標圖形”變化為“目標圖形”.當然，還可以通過反思作圖的本質，將作圖方法進行優化，通過聯想與目標圖形相關的多種模型實現作圖思路的創新.教師在日常的尺規作圖的教學中應該引導學生學會弱化作圖要求，尋求變換解決；反思作圖本質，探求優化作法；聯想基本模型，追求寬化思路.下面筆者以一道尺規作圖題為例談談一些想法.

1 試題呈現

如圖1所示，P是∠AOB內一點，用直尺和圓規作一個等腰直角三角形PCD，使C、D兩點分別在邊OA、OB上，且∠CPD＝90°，PC＝PD（要求寫出必要的文字說明）.

2 難點剖析

本題對目標圖形有以下要求：①∠CPD＝90°；②PC＝PD；③點C在邊OA上；④點D在邊OB上.顯然，上述要求中，讓圖形滿足其中任意3個不是一件難事，但很難同時滿足所有條件.難點還在于點P的位置并不特殊，所以難度確實不小.

3 解法探求

3.1 弱化作圖要求，尋求變換解決

弱化問題的要求，可以讓問題由淺入手，逐步向目標靠攏.

本題的4個要求可以弱化哪一個呢？經歷過多道作圖題的弱化過程，發現弱化位置方面的要求，通常較易于通過變換實現最終的作圖，也就是弱化本題中的要求③或④，因為這兩個要求地位相同，所以不妨弱化要求④.

在分析階段可以畫草圖（如圖2），在等腰直角三角形PC1D1中，點C1在邊OA上，且∠C1PD1＝90°，PC1＝PD1.此圖為弱化要求④之后的“準目標圖形”.

怎樣的變換能將“準目標圖形”變化為“目標圖形”呢？不妨將“目標圖形”和“準目標圖形”畫在一起觀察（如圖3）.兩個等腰直角三角形頂角的頂點都是P，于是想到了連接DD1，構造“手拉手”全等模型，已知點P、C1位置是確定的，且點C在OA上，發現∠PC1C的大小是確定的，進而作∠PD1D＝∠PC1C，便可確定點D在OB上的位置，完成作圖.具體作法如下.

作法1：如圖4所示，作等腰直角三角形PC1D1（為了讓圖形看起來簡潔，C1D1沒有連接），在PD1左側作射線D1D，交OB于點D，使∠PD1D＝∠PC1C，在C1A上截取C1C＝D1D，△PCD即為所求.

此作法中，從“準目標圖形”到“目標圖形”的變換方式是旋轉和位似.其實，由于從點C1到點C的移動路徑是直的，根據“瓜豆原理”可知，從點D1到點D的移動路徑的確是直的，也可以通過多作幾個“準目標圖形”（如圖5），發現從點D1到點D的移動路徑的確是直的.這樣看來，作法1實際上是用1個點和1個方向確定了路徑D1D，通過圖5中的想法，我們還發現路徑D1D也能用2個點來確定，從而得到作法2.

作法2：如圖6所示，作等腰直角三角形PC1D1和PC2D2（為了讓圖形看起來簡潔，C1D1和C2D2都沒有連接），作射線D1D2，交OB于點D，在C2A上截取C2C＝D2D，△PCD即為所求.

弱化要求④，可以完成作圖，那么弱化其他要求，也能完成作圖嗎？筆者認為還是要就點的位置方面的要求進行弱化才易于解決，除了弱化點C或點D位置的要求外，是否還可以弱化對點P位置的要求，不妨試一試.弱化后的要求如下：①∠C1P1D1＝90°（點P1位置任意）；②P1C1＝P1D1；③點C1在邊OA上；④點D1在邊OB上.

如圖7所示，先畫出滿足上述要求的一個△P1C1D1，借助草圖分析該“準目標圖形”通過怎樣的變換可以變化為“目標圖形”，發現還需要一個用于過渡的等腰直角三角形P2C1D2（其中O、P、P2三點共線，點D2在OB上，∠C1P2D2＝90°，P2C1＝P2D2），可以通過旋轉和位似變換將△P1C1D1先變化為△P2C1D2，再以O為位似中心，將△P2C1D2通過位似變換變化為目標圖形△PCD.于是又有了第3種作法.

作法3：如圖8所示，作等腰直角三角形P1C1D1（為了讓圖形看起來簡潔，P1D1沒有連接），作∠C1P1P2＝∠C1D1B，射線P1P2與射線OP相交于點P2，作等腰直角三角形P2C1D2（為了讓圖形看起來簡潔，點D2沒有顯示出來），作PC∥P2C1確定點C，最后在OB上截取點D，使PD＝PC，△PCD即為所求.

3.2 反思作圖本質，探求優化作法

很多問題不是復雜化地去理解，而是需要回歸問題本質，追求方法的優化.

在圖5中，可以看出任意一個點Cn都可以通過繞點P逆時針旋轉90°得到一個對應的點Dn，由于直線由點構成的本質，故易知點P到兩個路徑的距離相等、兩個路徑之間互相垂直等結論，所以作法2可以優化得到作法4和作法5.

作法4：如圖9所示，過點P作PC1⊥OA，垂足為C1，在OC1上截取C1E＝PC1，過點E作ED⊥OA，交OB于點D，作射線DP，過點P作PC⊥PD，交OA于點C，△PCD即為所求.

作法5：如圖10所示，作等腰直角三角形PC1D1（為了讓圖形看起來簡潔，C1D1沒有連接），過點D1作D1D⊥OA，交OB于點D，在C1A上截取C1C＝D1D，△PCD即為所求.

3.3 聯想基本模型，追求寬化思路

在解題時，聯想陌生的問題與哪些熟悉的解題模型有關系或者類似，有助于探索出更寬、更創新的思路.

通過等腰直角三角形可以聯想到“一線三垂直”模型，如圖11所示，圖中有△PCF≌△DPE，則可以通過使CF與已知的PE相等來先確定點C的位置，然后再確定點D的位置，具體作法如下.

作法6：如圖12所示，過點P作PE⊥OB，垂足為E，在OE上截取EG＝EP，過點G作GC⊥OB，交OA于點C，在OE上作點D，使PD＝PC，△PCD即為所求.

通過“PC＝PD”聯想到與之相關的使C、P、D三點共線且PC＝PD（C、D兩點分別在OA、OB邊上）的作圖問題（如圖13），可以根據“平行四邊形的性質”“中位線的性質”的逆命題等模型先解決這個相關問題.原作圖問題可以轉化為這個相關問題，即將射線OB繞點P逆時針旋轉90°，使旋轉后得到的射線所在的直線MN與OA相交于點O1，線段PD跟著一同轉動至線段PD1（如圖14），原作圖問題便轉化為了在∠OO1N中作圖13的“準目標圖形”的問題，具體作法如下.

作法7：如圖15所示，過點P作PE⊥OB，垂足為E，交OA于點F，在EB上截取EG＝EP，過點G作MN⊥OB，交OA于點H，在OF上截取FC＝FH，在OE上作點D，使PD＝PC，△PCD即為所求.

作法8：如圖16所示，直線MN，點E、G、H、D的確定方法與作法7完全相同.在HP的延長線上截取PF＝HP，過點F作FC∥MN，交OA于點C，在OE上作點D，使PD＝PC，△PCD即為所求.

4 教學思考

4.1 變換先行，逼近目標圖形

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“課程標準”）指出：“‘圖形的變化’強調從運動變化的觀點來研究圖形，理解圖形在軸對稱、旋轉和平移時的變化規律和變化中的不變量.”［1］

尺規作圖問題最終歸結為作出符合題目要求的點，不過一些較難的問題中需要作的點有多個或要求較高，這就需要先確定其中某些點或關注其中部分要求，作出符合部分題意的“準目標圖形”，再用變換的方法，讓已作出的“準目標圖形”的位置或大小發生變化，使其完全符合題目的所有要求，成為最終的目標圖形.

這里關鍵是要將“準目標圖形”和“目標圖形”放在一幅圖中，通過對比、找聯系，發現兩圖形之間存在的變換關系.如果是存在著平移關系，那么只需要通過它們的一組對應點，便確定平移的方向和距離；如果是存在著翻折關系，那么只需要找到它們的一組對應點連線的垂直平分線，便可以確定對稱軸；如果是存在著旋轉關系，那么只需要根據它們的一組對應點，便可以確定旋轉中心和旋轉角；如果是存在著位似關系，那么只需要找到兩組對應點的連線所在直線的交點，便可以確定位似中心和相似比.確定了變換的要素后，就可以將“準目標圖形”中其他的點也變化到“目標圖形”.

此外，還有一種思路，就是多作出幾個“準目標圖形”，找到“準目標圖形”的某個點的運動軌跡，根據軌跡，便能確定該點在“目標圖形”中的對應點的位置，從而進一步作出最終的“目標圖形”.

教師在平時教學過程中，應關注學生對每種變換的性質、規律的理解，真正能讓圖形的變換成為解決問題的有效工具，特別是在尺規作圖的問題中大顯身手.

4.2 模型主宰，拓寬作圖路徑

尺規作圖是對幾何圖形性質的綜合性考查，它要求學生根據題目條件，適當聯想、逐步探索、構造相關的幾何圖形或者幾何模型來尋找結論，對學生的能力要求較高.

在作圖中常用的幾何模型有“一線三垂直”“手拉手”“射影”“切割線”等.在作圖前，可以把可能有關的模型鑲嵌在圖中，分析這些模型中的性質，根據性質逆向思考，看看可以先確定模型中的哪些點，隨后再怎么逐步確定“目標圖形”中的點.例如，圖11中，過點P作OB的垂線先能很容易確定點E，再根據“一線三垂直”模型的性質，明確了點C到直線PE的距離，相當于先確定的點E為后續確定點C創造新的條件，進而保證目標圖形中關鍵的點C被作出.

教師在教學中要關注學生對重要幾何模型的積累，學生應熟知這些幾何模型的性質，以便能在尺規作圖題中想到它們，為作圖提供思路，拓寬作圖的路徑.

4.3 尺規共“舞”，盡顯幾何思維

課程標準指出：“經歷尺規作圖的過程，增強動手能力，能想象出通過尺規作圖的操作所形成的圖形，理解尺規作圖的基本原理和方法，發展空間觀念和空間想象力.”［2］

范希爾將幾何思維水平分為了以下5個層次：層次0：視覺；層次1：分析；層次2：非形式化的演繹；層次3：形式的演繹；層次4：嚴密性.達到層次4的學生即使不參照模型也能以較大的嚴密性進行推理，這時推理的對象是形式化構造之間的關系.［3］可見，尺規作圖對幾何思維的要求屬于層次4.尺規作圖問題沒有給出需要推理的圖形，而是需要學生自己創造圖形，使它滿足題目的要求，其中需要很嚴密、高要求的幾何推理，也需要很強的空間觀念.

尺規共“舞”，好比是在一張白紙上畫一幅美麗的風景圖，這幅風景圖的背后積淀著眾多的幾何知識和幾何邏輯，能夠展現學生的幾何素養，盡顯學生的幾何思維.

參考文獻

［1］［2］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［3］曾友良，贠朝棟.范希爾理論的幾何思維水平研究綜述及啟示［J］.當代教育理論與實踐，2017（5）：12-16.