求立體幾何體積的三種常用方法

摘 要：立體圖形與平面圖形有著千絲萬縷的聯系，當所求的立體幾何的體積不能直接用公式計算時，就需要將立體圖形轉化（展開）成平面圖形，采用折疊、展開與割補等思路，結合平面幾何的知識來求解.

關鍵詞：立體轉平面；等積代換；確定位置；截面拓展

高中立體幾何的學習是初中平面幾何學習的延續和發展，由于立體圖形與平面圖形之間具有密切的聯系，所以，當面對不規則的幾何體，無法直接運用有關公式進行計算時，就可以考慮把平面圖形折疊成立體圖形、把立體圖形展開成平面圖形，或者通過割補的方法［1］，把較復雜的、不規則的幾何體分割成一些簡單的、規則的幾何體，把不熟悉、不易計算的幾何體割補成熟悉或便于計算的幾何體，最后再用熟悉的方法來求解.

1 折疊法

將平面圖形折疊成立體圖形后，隨著位置關系的變化，度量關系也發生了變化.由于折疊的條件與方式不同，形成的空間圖形也各不相同，所以

在解

題時

要以運動變化的思想為指導.面對不同的問題與題型，在運用折疊法解題時，要認真分析哪些量發生了變化，哪些沒有發生變化，特別要注意尋找折疊前后的那些不變關系和不變量.

1.1 立體轉平面法

例1 ABCDEF是邊長為a的正六邊形.如果將這個正六邊形沿對角線AD折成二面角M-AD-N，問二面角M-AD-N多大時，FC與AD所成的角為45°？試求此時三棱錐F-ECD的體積.

解析：如圖1所示，作EG⊥AD于G，由對稱性的知CG⊥AD，所以AD⊥平面EGC，∠EGC為二面角M-AD-N的平面角.又FE∥AD，所以FE⊥平面EGC，所以FE⊥EC，∠EFC=45°，EC=EF=a.

可推知EG=CG=32a.

在△EGC中，由余弦定理可得cos∠EGC=EG2+CG2-EC22EG·CG=13，所以∠EGC=arccos13.

又FE=ED=a，∠FED=120°，求得FD=3a.FC=2a，CD=a，所以△FDC為直角三角形.從E點作EO⊥平面FDC于O.

又EF=ED=EC=a，所以O為△FDC的外心，即O為斜邊FD的中點.

又EO=EF2-FO2=a2-32a2=a2，所以VF-ECD=VE-FDC=13EO·S△FDC=13·12a·12a·2a=212a3.

思路與方法：通過對照立體圖形與平面圖形可以發現，折疊前后EG⊥AD，CG⊥AD這兩個垂直關系不變，由此可確定平面角，

從而

將其轉化為平面內的解三角形問題.

1.2 等積代換法

例2 如圖2，在長方形ABCD中，BC=a，AB=23a，把這個長方形折成正三棱柱，使AD與BC重合，而長方形的對角線AC與折痕EF，GH分別交于M，N，在三棱柱AFH-DEG中.

（1）求異面直線AM與EN所成的角.

（2）求平面AMN與底面AFH所成的二面角.

（3）求點D到平面AMN的距離.

解析：（1）如圖3所示，連接HM，則HM∥EN，所以∠AMH即為異面直線AM與EN所成的角，所以AM=HM=AF2+FM2=133a.

又AH=AB3=233a，所以cos∠AMH=AM2+MH2-AH22·AM·MH=1-43a22·139a2=713，因為0°＜∠AMH＜90°，所以∠AMH=arccos713，即異面直線AM與EN所成的角是arccos713.

（2）因為MF⊥底面AFH，所以F是點M在底面AFH上的射影，同理點H是點N在底面AFH上的射影.設平面AMN和底面AFH所成二面角的大小為θ，

則S△AMNcos θ=S△AFH，即cos θ=S△AFHS△AMN.由（1）知S△AMN=12AM2sin∠AMH=12×139·a2·23013=309a2.

又S△AFH=34AF2=34×129a2=33a2，所以cos θ=310=31010，θ=arccos31010，即平面AMN與底面AFH所成二面角大小是arccos31010.

（3）設點D到平面AMN的距離為h，則VD-AMN=13S△AMNh=3027a2·h.連接ND，MD.又VD-AMN=VM-AND，且MF∥平面AND，所以S△AND=12S矩形AHGD=12AD·AH=12a·233a=33a2.

又M到平面AHGD的距離就是F到AH的距離，所以VM-AND=39a2·32·233a=39a3，所以13S△AMN·h=VM-AND，即h=39a33027a2=31010a，

即點D到平面AMN的距離是31010a.

思路與方法：本題雖然沒有明確讓直接求三角形的面積與棱錐的體積，但在實際求解過程中多處都涉及

了面積與體積的計算，且始終貫穿著“轉化”的思想與方法.第（1）問求異面直線所成的角時，將其轉化為共面相交的直線夾角；第（2）問求二面角時，沒有利用平面角，而是借助公式S′cos θ=S來求解；第（3）問運用“模糊”處理法，用“等積代換”法，將所求體積變換成與之等積的另一幾何體，巧妙地解決了點到平面的距離問題.

2 展開圖形法

展開與折疊是一種互逆的圖形變化過程.在實際求解過程中，需要將立

體幾何圖形的表面展開在一個平面上，把求多面體、旋轉體等立體幾何的體積、表面積、距離等問題轉化為平面幾何的問題來解決.展開圖形后，同樣要注意并利用好變化前后的不變關系和不變量.

2.1 確定位置

例1 如圖4，已知從三棱錐P-ABC的頂點P沿著三條側棱剪開，展開側面所得到的平面圖形是△P1P2P3（如圖5），且P1P2=P2P3.

（1）求證：原三棱錐P-ABC中，PA⊥BC.

（2）若P1P2=26，P1P3=20，求三棱錐P-ABC的體積.

解析：（1）如圖5所示，A，B，C分別是線段P3P1，P1P2，P2P3的中點，且P2C=P2B，AB=AC=12P1P2，即在三棱錐P-ABC中，有PB=PC，AB=AC.取BC的中點D，連接AD，PD，則AD⊥BC，PD⊥BC，所以BC⊥平面PAD，且PA平面PAD，所以BC⊥PA.

（2）如圖5所示，P1B=P3C=AB=AC=12P1P2，即AB=13，BC=P1A=PA=12P1P3，所以BC=10，PA=10.又AD=AB2-BD2，PD=PB2-BD2，

所以AD=PD=132-52=12，

所以S△PAD=12PA·AD2-12PA2=12×10×122-52=5119，

所以VP-ABC=13·S△PAD·BD+13S△PAD·DC

=13S△PAD·BC=503119.

思路與方法：解答本題的關鍵在于能否確定A，B，C三點在展開圖形中的位置.抓住圖形變化前后的不變關系與不變量，也是解題的突破口.

2.2 截面拓展

例2 如圖6，在一個水晶球擺件上刻有P，A，B，C四個點，如果PA，PB，PC兩兩互相垂直，已知PA=PB=PC=a，試求這個水晶球的表面積與體積.

解法1：設過A，B，C三點的球的截面半徑為r，球心O到該截面的距離為d，球的半徑為R，則R2=r2+d2.

根據題意可知，P，A，B，C四點不共面，以這四個點為頂點可構成三棱錐P-ABC，所以△ABC的外接圓就是球的截面.由PA，PB，PC兩兩互相垂直可知，P在平面ABC上的投影O′是△ABC的垂心.又PA=PB=PC=a，所以O′也是△ABC的外心，所以△ABC為等邊三角形，且邊長為2a，O′是其中心，也是截面圓的圓心.根據球的截面的性質可知，OO′垂直于⊙O′所在的平面，所以P，O′，O共線，三棱錐P-ABC是高為PO′的球內接正三棱錐，所以d=R-PO′.由已知可得r=63a，PO′=33a，所以R2=r2+d2=r2+（R-PO′）2，解得R=32a，

所以S球面=4πR2=3πa2，V球=43πR3=32πa3.

解法2：以PA，PB，PC為過同一個頂點的三條棱作正方體，那么這個正方體內接于球O，所以正方體的對角線的長就是該球的直徑，所以2R=3a，R=32a，所以S球面=4πR2=3πa2，V球=43πR3=32πa3.

思路與方法：本題包括幾何作圖與計算兩個方面，準確地作出符合要求的截面是解題關鍵.切入點是把已知條件三條棱兩兩互相垂直拓展構成三棱錐或正方體.當涉及

球與棱柱、棱錐的切、接等問題時，通常采用過球心作截面，把空間問題轉化為平面問題的思路來解決.

3 割補法

在求多面體的體積時，如果能巧妙地對幾何體

進行

割或補，能變整體為局部、化不規則為規則，則有利于深入研究問題、解決問題.

3.1 補“臺”為“錐”

例1 如圖7，三棱 圖7柱ABC-A1B1C1中，若E，F分別為AB，AC的中點，平面EB1C1F將三棱柱分成體積為V1，V2的兩部分，那么V1∶V2等于多少？

解析：延長A1A到A2，B1B到B2，C1C到C2，且A1A=AA2，B1B=BB2，C1C=CC2，

連接A2C2，A2B2，B2C2，

即可得到

三棱柱ABC-A2B2C2，且VABC-A1B1C1=VABC-A2B2C2，延長B1E，C1F，

則B1E與C1F

相交于點A2，即有三棱錐A2-A1B1C1.因為A2A∶A2A1=1∶2，所以VA2-AEF=18VA2-A1B1C1.又VA2-AEF=14VA2-ABC=14×13VA2B2C2-ABC=112·VABC-A1B1C1，

所以V1=7VA2-AEF=712VABC-A1B1C1，

所以V1∶V2=7∶（12-7）=7∶5.

思路與方法：本題采用了補棱臺為棱錐的方法，以棱錐A2-AEF為輔助幾何體，利用它與棱柱ABC-A2B2C2及棱臺AEF-A1B1C1的體積關系進行了巧妙變換.

3.2 補“柱”為“體”

例2 已知，斜三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長都為2，側棱與底面所成的角為60°，且側面ABB1A1⊥底面ABC.

（1）求證：B1C⊥AC1.

（2）求三棱錐B1-ABC1的體積.

解析：（1）如圖8所示，補三棱柱ABC-A1B1C1為四棱柱ADBC-A1D1B1C1，連接B1D，可知B1D∥C1A，所以B1D與B1C所成的不大于90°的正角即為異面直線B1C與AC1所成的角.連接CD，作B1O⊥AB于O.

因為平面ABB1A1⊥底面ABC，平面ABB1A1∩底面ABC=AB，

所以B1O⊥平面ABC，∠OBB1即側棱B1B與底面ABC所成角，

所以∠OBB1=60°.

又BB1=2，所以B1O=3，

且BO=1，所以O為ADBC的對角線交點，

△B1OC≌△B1OD.又BC=AC=AD=DB=2，∠DBC=120°，

所以CO=3，∠DB1C=2∠DB1O=2

arctanODB1O

=2·arctanCOB1O=2arctan 1=90°，

所以B1D⊥B1C，B1C⊥AC1.

（2）因為CC1∥BB1，所以CC1∥平面ABB1，所以VB1-ABC1=VC1-ABB1=VC-ABB1=VB1-ABC=12VB1-ADBC=12·13·SADBC·B1O=16×12AB·CD·B1O=1.

思路與方法：本題補三棱柱為平行六面體，起到了平移AC1至DB1處的作用；割平行六面體為四棱錐B1-ADBC，是為了運用等積代換，便于求三棱錐的體積.

4 結語

求圓柱、圓錐、圓臺等體積的基本思路，是設法把空間問題轉化為平面問題來解決.［2］折疊、展開與割補既是立體幾何中的三類問題，又是求體積的三種常用方法.運用這三種方法求體積，既要掌握作圖、看圖、分析、轉化、計算等方法技巧，又要有較強的空間想象力.

參考文獻

［1］林懷傳.立體幾何中的翻折與展開問題［J］.中學教研（數學），2014（2）：13-15.

［2］黃景毅.借助補形法，巧解立體幾何題［J］.新課程學習（中），2012（4）：89.