對一道數量積最值問題的探究

摘 要：數學解題與技巧研究是一個深層次的數學教學與學習過程，也是教學與學習中不斷積累知識與經驗、掌握技巧與方法的一個重要場所.本文結合一道數量積的最值問題，從不同思維視角切入與應用，并深入拓展與研究，提升思維與能力的高度與維度，引領并指導解題研究與復習備考.

關鍵詞：三角形；單位圓；平面向量；數量積

平面向量數量積是平面向量模塊知識中最為重要的一個基本知識點，也是近年高考試卷中比較常見的一個基本考點.此類平面向量數量積問題，經常以平面幾何圖形為背景，結合數量積的求值、最值（或取值范圍）以及創新應用問題等形式來合理設置.熟練理解并掌握求解平面向量數量積的基本技巧與策略方法，就成為解決此類問題的重中之重，也是課堂教學與復習備考中的一個基本專題.

1 問題呈現

問題 已知A，B，C為單位圓上的三個動點，則AB·（AB+AC）的最小值為""" .

此題以單位圓為背景，結合單位圓上的三個動點及其對應內接三角形的確定，進而求解對應平面向量數量積的最值.

在實際解題過程中，可以綜合平面向量內涵，從平面向量的坐標運算層面來進行代數運算與應用；也可以回歸平面幾何本質，從解三角形思維切入來分析與應用等.不同思維視角的切入，給問題的解決開拓更加廣闊的空間與應用.

2 問題破解

2.1 代數思維

方法1：坐標法.

以BC的垂直平分線為y軸建立如圖1所示的平面直角坐標系，設A（a，b），B（m，n），C（－m，n），

則a2+b2＝1，m2+n2＝1.

由已知AB·（AB+AC）＝AB2+AB·AC＝（m－a，n－b）·（m－a，n－b）+（m－a，n－b）·（－m－a，n－b）＝2+2n2－2am－4bn.

由柯西-施瓦茨不等式，可得am+2bn≤（a2+b2）（m2+4n2）＝1+3n2，當且僅當2an＝bm時等號成立，

則AB·（AB+AC）＝2+2n2－2am－4bn≥2+2n2－21+3n2.

構建函數f（n）＝2+2n2－21+3n2，n∈［－1，1］，此時函數f（n）是偶函數.

當n∈［0，1］時，求導可得f′（n）＝4n－6n1+3n2，令f′（n）＝0解得n＝156，所以當n∈0，156時，f′（n）lt;0，函數f（n）單調遞減；當n∈156，1時，f′（n）gt;0，函數f（n）單調遞增.同理可得，當n∈-1，-156時，f′（n）＜0，函數f（n）單調遞減；當n∈-156，0時，f′（n）＞0，函數f（n）單調遞增，所以f（n）min＝f156=f-156＝－16.

綜上，AB·（AB+AC）最小值為－16，當且僅當n＝±156且2an＝bm時等號成立，故答案為－16.

點評：解決平面向量數量積問題，可以從平面向量的坐標公式層面來應用，合理構建相應的平面直角坐標系就成為解題的關鍵所在.借助平面直角坐標系的構建，把對應的數量積表示成坐標的關系式，結合代數運算，綜合函數與方程、函數與導數以及不等式等知識的應用來確定對應的最值問題.

方法2：三角法.

如圖2所示，以單位圓的圓心為坐標原點構建平面直角坐標系，取A（1，0），設B（cos α，sin α），C（cos β，sin β），其中α，β∈［0，2π）.

由已知AB＝（cos α－1，sin α），AC＝（cos β－1，sin β），

則AB·（AB+AC）＝（cos α－1，sin α）·（cos α+cos β－2，sin α+sin β）＝（cos α－1）·（cos α+cos β－2）+sin α（sin α+sin β）

＝3+cos（α－β）－3cos α－cos β＝3（1－cos α）+［cos（α－β）－cos β］＝6sin 2α2－2sin α2sinα-2β2

≥6sin 2α2－2sin α2（當且僅當sinα-2β2＝1時等號成立）

＝6sinα2－162－16≥－16（當且僅當sinα2＝16時等號成立）.

綜上，AB·（AB+AC）的最小值為－16，當且僅當sinα-2β2＝1且sinα2＝16時等號成立，故答案為－16.

點評：依托單位圓的本質，對于單位圓上的點的坐標可以借助三角換元法來設置，結合平面向量的數量積公式轉化為對應的三角函數關系式問題，進而利用三角恒等變換公式、三角函數的圖象與性質等來確定相應的最值.在三角換元及其三角恒等變換過程中，合理的變換與轉化成為解決問題的關鍵.

2.2 幾何思維

如圖3所示，設△ABC的外心為O，過點C作AB的垂線，垂足為D，作OE//AB，交圓O于點E，過點A作OE的垂線，垂足為M，設CD交OE于點N

結合投影，可得AB·（AB+AC）＝AB2+AB·AC＝AB2+AB·AD

≥AB2－AB·AD（當且僅當點D在線段AB的延長線上時等號成立）

＝AB2－AB·MN≥AB2－AB·ME（當且僅當點N與點E重合時等號成立）

＝AB2－AB·（OE－OM）＝AB2－AB·（1－12AB）＝32AB2－AB＝32·AB－132－16≥－16，當且僅當AB＝13時等號成立.

綜上，AB·（AB+AC）的最小值為－16，故答案為－16.

點評：回歸平面向量中的平面幾何“形”的結構特征，從幾何圖形的直觀想象入手，結合平面向量的數量積的變形與轉化，利用幾何圖形加以轉化；結合向量投影的幾何意義與應用來轉化，實現問題的轉化與求解.投影法是解決平面向量的數量積及其綜合應用問題中比較常用的一種技巧方法，也是數形結合思想轉化與應用的一種基本策略.

2.3 解三角形思維

設角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，結合正弦定理有a＝2sin A，b＝2sin B，c＝2sin C.

由已知AB·（AB+AC）＝AB2+AB·AC＝c2+bccos A＝c2+bc·b2+c2-a22bc

＝32c2+12b2－12a2＝6sin 2C+2（sin2B－sin2A）＝6·sin 2C+2sin（B+A）sin（B－A）

＝6sin 2C－2sin C·sin（A－B）≥6sin 2C－2sin C＝6sin C－162－16≥－16，當且僅當sin（A－B）＝1且sin C＝16，即A－B＝π2且sin C＝16時等號成立.

綜上，AB·（AB+AC）的最小值為－16，故答案為－16.

點評：回歸平面向量中“形”的本質，從平面幾何入手，借助解三角形思維來應用，有時可以給此類平面向量綜合應用問題的解決創造更加良好的條件，使得問題的分析與處理更加簡捷有效.解三角形的應用，最終也是轉化為三角函數的關系式問題，利用三角恒等變換、三角函數的圖象與性質來確定最值問題.

3 變式拓展

以單位圓為問題場景，結合不同平面向量的數量積關系式的構建，進而確定數量積的最值問題，實現不同方式的變式與應用.

變式1 已知A，B，C為單位圓上的三個動點，則AB·AC的最小值為""" .

方法1：坐標法.

以BC的垂直平分線為y軸建立如圖1所示的平面直角坐標系，設A（a，b），B（m，n），C（－m，n），

則a2+b2＝1，m2+n2＝1.

由已知AB·AC＝（m－a，n－b）·（－m－a，n－b）＝a2－m2+n2－2bn+b2＝2n2－2bn＝2·（n－12b）2－12b2，則當n＝12b時，AB·AC＝2·（n－12b）2－12b2取得最小值，為－12b2.

b∈［－1，1］，故當b＝±1時，－12b2取得最小值為－12，此時n＝±12，滿足要求，故答案為－12.

方法2：三角法.

如圖2所示，以單位圓的圓心為坐標原點構建平面直角坐標系，取A（1，0），設B（cos α，sin α），C（cos β，sin β），其中α，β∈［0，2π）.

由已知AB·AC＝（cos α－1，sin α）·（cos β－1，sin β）＝cos αcos β－（cos α+cos β）+1+sin α·sin β

＝cos（α－β）－（cos α+cos β）+1＝cos（α－β）－2cosα+β2cosα-β2+1

≥cos（α－β）－2cosα-β2+1（當且僅當cosα+β2＝1時等號成立）

＝2·cos2α-β2－1－2cosα-β2+1＝2cos2α-β2－2cosα-β2＝2cosα-β2－122－12≥－12（當且僅當cosα-β2＝12時等號成立）.

綜上，AB·AC的最小值為－12，當且僅當cosα+β2＝1且cosα-β2＝12時等號成立，故答案為－12.

變式2 已知△ABC的外接圓半徑為1，則AB·BC的最大值為""" .

解析：由已知AB·BC＝（OB－OA）·BC＝OB·BC－OA·BC＝－12|BC|2－|BC|·cos α≤－12·|BC|2+|BC|，其中角α為OA與BC的夾角，如圖4所示，當且僅當OA與BC的方向相反，即cos α＝－1時等號成立.

－12|BC|2+|BC|＝－12（|BC|－1）2+12≤12，當且僅當|BC|＝1時等號成立.

綜上，AB·BC的最大值為12，當且僅當|BC|＝1且OA與BC的方向相反時等號成立，故填答案12.

4 教學啟示

在實際求解平面向量數量積的綜合應用問題時，特別是數量積的求值、最值、取值范圍以及創新應用等問題時，往往離不開平面向量自身“數”與“形”的雙重屬性.在具體解題過程中，學生可以抓住數量積自身“數”的屬性應用，應借助代數思維來分析與數學運算；抓住數量自身“形”的幾何特征，借助幾何思維來應用與直觀分析等.

解決平面向量的數量積問題，應借助“數”與“形”的不同視角，結合不同的應用場景，選擇行之有效的方法與解題策略來分析與處理.抓住問題的本質與內涵，或“數”來代數運算，或“形”來直觀想象，實現“數”與“形”的緊密結合，使得平面向量數量積綜合問題的求解與應用更加合理、有效、可行、正確、快捷.