常規(guī)思維巧思，特殊思維妙解

摘 要：數(shù)學(xué)解題與應(yīng)用研究是一個深層次的數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)過程，也是不斷積累知識與經(jīng)驗、掌握技巧與方法的重要平臺.本文結(jié)合一道數(shù)量積的求值問題，從常規(guī)思維與特殊思維兩個不同思維視角加以切入與應(yīng)用，并深入拓展與研究，提升思維與能力的高度與維度，以期引領(lǐng)并指導(dǎo)解題研究與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：三角形；平面向量；數(shù)量積；基底

平面向量數(shù)量積作為平面向量模塊知識中最為重要的基本知識之一，成為近年高考試卷中常見常新的基本考點之一.此類涉及平面向量數(shù)量積問題，經(jīng)常以數(shù)量積的求值或最值問題等形式來設(shè)置.熟練掌握求解平面向量數(shù)量積的基本技巧與策略方法，就成為解決此類問題的重中之重，也是課堂教學(xué)與復(fù)習(xí)備考中的一個基本專題.

1 問題呈現(xiàn)

（湘豫名校聯(lián)考2024屆春季學(xué)期高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷第7題）如圖，在△ABC中，BC=2AB=4，D、E分別為BC、AC的中點，F(xiàn)為AD上一點，且滿足AF=BF，則AF·BE=（" ）.

圖

A. 12

B. 1

C. 32

D. 23

本題以三角形為問題背景，結(jié)合三角形中兩鄰邊之間的長度比例關(guān)系的構(gòu)建，以及對于中點及滿足條件的點的確定，進(jìn)而求解對應(yīng)平面向量數(shù)量積的值.

解決此類平面向量數(shù)量積問題，往往依托問題場背景，可以從常規(guī)思維切入，結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義與坐標(biāo)公式，借助基底法與坐標(biāo)法來分析與求解；也可以從特殊思維切入，結(jié)合特殊圖形的確定，進(jìn)而借助基底法與坐標(biāo)法來分析與求解.

2 問題破解

2.1 常規(guī)思維

方法1：基底法.

如圖1所示，設(shè)∠FAB=θ，過點F作FG⊥AB于點G.

由AF=BF，可得AG=12AB=1，所以|AF|=｜AG｜cos θ=1cos θ.

因為BE=BD＋DE=BD－12AB，|AB|=|BD|=2，所以∠ADB=θ.

AF·BE=AF·（BD－12AB）=AF·BD－12AF·AB=1cos θ×2×cos θ－12×1cos θ×2×cos θ=1，故選擇答案B.

點評：根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，從“數(shù)”的基本屬性切入，合理借助平面向量的線性運算加以轉(zhuǎn)化，結(jié)合基底法的應(yīng)用，是求解平面向量的數(shù)量積問題中最為常用的一種技巧方法.解決問題的關(guān)鍵在于基底的合理尋找，向量的巧妙變形，以及對應(yīng)向量模與夾角的確定等，這都是回歸平面向量數(shù)量積的定義應(yīng)用的根本.

方法2：坐標(biāo)法.

如圖2所示，取線段AB的中點O，連接OF，易知OF⊥AB，以O(shè)為坐標(biāo)原點，以直線AB為x軸，直線OF為y軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy.

設(shè)C（2a，2b），agt;0，bgt;0，點F在線段AB的中垂線，即y軸上.設(shè)F（0，f），又A（－1，0），B（1，0），|BC|=4，所以D2a＋12，b，E2a-12，b，（2a－1）2＋（2b）2=16，即4a2＋4b2=15＋4a.

由A、F、D三點共線，可得f-00-（-1）=b-02a＋12-（-1），即f=2b2a＋3.

因為AF=0，2b2a＋3－（－1，0）=1，2b2a＋3，BE=2a-12，b－（1，0）=2a-32，b，所以AF·BE=2a-32＋2b22a＋3=（2a）2-9＋4b22（2a＋3）=15＋4a-92（2a＋3）=1，故選擇答案B.

點評：根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，從“形”的幾何特征切入，合理構(gòu)建對應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系，正確確定各相關(guān)點的坐標(biāo)，利用題中對應(yīng)的信息構(gòu)建關(guān)系式，為進(jìn)一步利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式的應(yīng)用創(chuàng)造條件.解決問題的關(guān)鍵在于合適的平面直角坐標(biāo)系的構(gòu)建、相關(guān)點的坐標(biāo)確定與相互關(guān)系的構(gòu)建等.

2.2 特殊思維

方法1：基底法.

如圖3所示，結(jié)合BC=2AB=4，

取特殊情況BC⊥AB.

由題可知AB=BD=2，AF=BF，則F是AD的中點.

AF=12AD=12（BD－BA）=12BD－12BA，BE=BD＋DE=BD＋12BA.

AF·BE=12BD－12BA·BD＋12BA=12BD2－14BD·BA－14BA2=12×22－0－14×22=1，故選擇答案B.

方法2：坐標(biāo)法.

如圖4所示，結(jié)合BC=2AB=4，取特殊情況BC⊥AB，以B為坐標(biāo)原點，以直線AB為x軸，直線BC為y軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy.

由題可知B（0，0），A（－2，0），C（0，4），可得D（0，2），E（－1，2）.

由于AB=BD=2，AF=BF，則知F（－1，1），

則AF=（1，1），BE=（－1，2），所以AF·BE=1×（－1）＋1×2=1，故選擇答案B.

點評：根據(jù)平面幾何圖形的幾何特征，選取特殊情況構(gòu)建平面圖形，可以給此類定值求解與判斷問題創(chuàng)造更加簡捷的技巧與方法.在此題中，結(jié)合兩線段長度之間的比例關(guān)系，進(jìn)而選取對應(yīng)兩直線垂直的情況，給平面向量中坐標(biāo)法或基底法的應(yīng)用創(chuàng)造條件.特殊情況的選取，往往是基于圖形的變化規(guī)律以及結(jié)論所求為定值等情況來判斷，選取特殊點、特殊位置、特殊圖形等方式來特殊化處理.

3 變式拓展

教學(xué)中應(yīng)抓住平面向量數(shù)量積的本質(zhì)，從數(shù)量積的求值與最值等不同視角展開與應(yīng)用，綜合相應(yīng)的技巧與方法來分析與應(yīng)用，結(jié)合相應(yīng)的變式問題來提升與拓展.

變式1 已知圓O：x2＋y2=3，P是圓O外一點，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為A、B，若|OP|=23，則PA·PB=""" .

解析：依題，|OA|=|OB|=r=3.

在Rt△PAO中，結(jié)合三角函數(shù)的定義可得sin∠APO=｜OA｜｜OP｜=323=12，則有∠APO=π6，故∠APB=2∠APO=π3.

由勾股定理得|AP|2=|OP|2－|OA|2=9，則|AP|=|BP|=3.

PA·PB=|PA||PB|cos∠APB=9×cosπ3=92，故答案為92.

變式2 ［2024年北京市通州區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷］在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是BC的中點，F(xiàn)是CD上一點（不與C、D重合），DE與AF交于G，則AG·DG的取值范圍是（" ）.

A. 0，23

B. 0，43

C. （0，2）

D. （0，3）

解析：如圖5所示，以點A為坐標(biāo)原點，直線AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xAy，則A（0，0），B（2，0），C（3，3），D（1，3）.

由于E是BC的中點，可得E52，32.

F是CD上一點（不與C、D重合），設(shè)F（t，3），1lt;tlt;3.

直線AF的方程為y=3tx，直線DE的方程為y－3=32-352-1（x－1），即y=－33x＋433.

聯(lián)立以上兩條直線的方程，可得G4tt＋3，43t＋3.

AG·DG=4tt＋3，43t＋3·4tt＋3－1，43t＋3－3=12（t-1）2（t＋3）2，令s=t＋3∈（4，6），則有AG·DG=12（t-1）2（t＋3）2=12（s-4）2s2=121－4s2=12·4s－12，4s∈23，1，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可知AG·DG=124s－12∈0，43，故選擇答案B.

4 教學(xué)啟示

4.1 “數(shù)”“形”屬性，多點展開

在實際求解平面向量數(shù)量積的求值與最值等綜合問題時，往往需要借助平面向量“數(shù)”與“形”的雙重屬性，抓住數(shù)量積自身或“數(shù)”的屬性應(yīng)用，或“形”的幾何特征，并結(jié)合不同的應(yīng)用場景，選擇行之有效的方法與解題策略來處理對應(yīng)的平面向量數(shù)量積問題.

“數(shù)”與“形”的不同視角，使得平面向量數(shù)量積綜合問題的求解與應(yīng)用更加合理、有效、可行、正確、快捷，或“數(shù)”來代數(shù)運算，或“形”來直觀想象，也可以實現(xiàn)“數(shù)”與“形”的緊密結(jié)合，有效實現(xiàn)知識與能力的有效融合.

4.2 常規(guī)特殊，多種思維

涉及平面向量這類具有一定平面圖形特征的數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用問題，可以借助“數(shù)”的基本屬性方面進(jìn)行代數(shù)運算，也可以從“形”的結(jié)構(gòu)特征方面進(jìn)行幾何推理.

在實際解題時，可以抓住解決此類平面向量數(shù)量積綜合問題的常規(guī)思維來思考，也可以抓住特殊思維來創(chuàng)新與求解.在不同思維應(yīng)用過程中，通過不同思維下的代數(shù)法與幾何法的應(yīng)用，合理構(gòu)建成一幅完美和諧統(tǒng)一的“畫卷”，成為新高考數(shù)學(xué)試卷命題中的一個創(chuàng)新點與熱點.