巧思維切入，妙方法破解

摘 要：解三角形綜合問題是融合初、高中階段中的不同知識的交匯與深化，并合理加以創(chuàng)設與應用，在此過程中融入相應的數(shù)學思想方法以及高中階段中不同數(shù)學基礎知識模塊，構建一個良好的知識交匯與綜合應用體系.這一直是高考中的一類常見考查形式.

本文結合一道高考真題，基于解三角形的解答題創(chuàng)設及其應用，從不同思維視角加以巧妙切入，合理發(fā)散思維，巧妙突破與應用，以期引領并指導復習備考與解題研究.

關鍵詞：解三角形；正弦定理；余弦定理；面積

解三角形的綜合應用問題，一直是高考數(shù)學試卷命題中的一個重要考查點，有時在選擇題或填空題的位置出現(xiàn)，有時在解答題的位置出現(xiàn)，涉及的場景變化多端，是高考中對數(shù)學能力素養(yǎng)的考查與數(shù)學知識難度的要求等方面都比較高的一類考查場景.此類問題，基于初中平面幾何與高中三角函數(shù)、平面向量與解三角形等知識的有機“串聯(lián)”，并對相應的知識加以合理整合，真正體現(xiàn)新課標中“在知識交匯點處命題”基本指導精神，成為每年高考數(shù)學試卷命題中的一個基本點，

倍受各方關注.

1 真題呈現(xiàn)

^^（2024年新高考數(shù)學Ⅰ卷第15題）amp;amp;記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin C=2cos B，a2+b2－c2=2ab.

（1）求B.

（2）若△ABC的面積為3+3，求c.

此題依托解三角形這一主干知識，結合高中平面向量與解三角形、三角函數(shù)與平面解析幾何

以及初中平面幾何等知識的交匯與整合，通過正弦定理、余弦定理的轉化與變形，結合三角形的面積公式的巧妙應用，實現(xiàn)問題的轉化與變形，得以求解三角形中對應的角與邊的數(shù)值.

高考真題中的第（1）問，依托題設條件中三角形三邊長的關系式“a2+b2－c2=2ab”，聯(lián)想到余弦定理，可以快速求解角C的大小，進而結合條件中的“sin C=2cos B”，實現(xiàn)角B的求解.

高考真題中的第（2）問，是基于第（1）問的基礎上確定三角形的三個內角的具體值，進而依托題設條件中給出的三角形的面積的對應數(shù)值，從三角形面積公式入手，依托不同形式，或借助正弦定理的轉化，或借助三角形面積公式的變式，或借助平面幾何的直觀形象等來切入與應用，實現(xiàn)問題的突破與求解.

這道解三角形的綜合應用問題，屬于基本題，中等難度，大部分考生都能有所突破與收獲，只要注意推理過程的嚴謹性，運算過程的正確性即可.

2 真題破解

解析：（1）依題，結合a2+b2－c2=2ab，由余弦定理可得cos C=a2+b2-c22ab=2ab2ab=22，又C∈（0，π），可得C=π4.

2cos B=sin C=sin π4=22，則有cos B=12，又B∈（0，π），可得B=π3.

（2）方法1：正弦定理法.

由（1）可知B=π3，C=π4，可得A=π－B－C=5π12.

△ABC的面積為3+3，由三角形的面積公式可知S=12absin C=3+3，化簡有ab=22（3+3）.

由正弦定理可得c=asin Csin A，c=bsin Csin B，以上兩式對應相乘可得c2=absin 2Csin Asin B=223+3×126+24×32=8，解得c=22.

點評：根據(jù)解三角形中正弦定理、余弦定理的轉化與變形，巧妙實現(xiàn)邊與角之間的轉化，往往是解決相應解三角形問題中最為常用的技巧方法.該方法通過三角形面積公式的轉化確定兩邊長的乘積，借助正弦定理加以轉化，得以求解第三邊的長度，實現(xiàn)解三角形問題的突破.

方法2：面積公式法1.

由（1）可知B=π3，C=π4，可得A=π－B－C=5π12.

結合三角形的面積公式可知S=12c2·sin Asin Bsin C=12c2·6+24×3222=3+38c2=3+3，則c2=8，解得c=22.

點評：根據(jù)三角形面積公式的變式S=12c2·sin Asin Bsin C，該公式自人教A版《普通高中教科書數(shù)學必修第二冊》第六章《平面向量及其應用》第53頁習題6.4第18題中對應習題的結論，其實質是三角形面積公式的變式與深度應用.解題時利用該三角形面積公式的變式，使得思路更加直接明了.

方法3：面積公式法2.

由（1）可知B=π3，C=π4，可得A=π－B－C=5π12.

由三角形的面積公式可知S=2R2 sin Asin B·sin C=2R2×6+24×32×22=3+34R2=3+3，其中R為△ABC的外接圓半徑，

則R2=4，解得R=2，由正弦定理可得c=2Rsin C=4×22=22.

點評：根據(jù)三角形面積公式的變式S=2R2sin A·sin Bsin C，圍繞三角形的外接圓半徑與三內角的正弦值展開，離不開正弦定理及其應用，也是解決問題時比較常用的一種方法技巧.該三角形面積公式的變式，其實是依托三角形面積公式S=12absin C的一種變形與轉化，在實際解題應用過程中加以合理選取與應用.

方法4：平面幾何法.

由（1）可知B=π3，C=π4，可得A=π－B－C=5π12.

如圖1所示，過點A作AD⊥BC交BC于點D.

設BD=x，結合直角三角形中邊與角之間的關系可知AD=CD=3x.

由三角形面積公式得S=12（1+3）x×3x=3+3，則x2=2，解得x=2，

所以c=2x=22.

點評：根據(jù)解三角形中平面幾何的本質，回歸平面幾何“形”的結構特征，往往是解決解三角形問題中數(shù)形結合思想及其應用中的一種技巧方法.回歸解三角形問題中的平面幾何本質，往往要依托平面幾何中圖形的構建、輔助線的應用等，結合圖形直觀與代數(shù)運算來綜合應用，實現(xiàn)“數(shù)”與“形”的巧妙融合與應用.

3 變式拓展

基于高考真題的應用場景，借助三角形中對應邊與角的求解，合理進行深度學習與變式應用，能夠達到拓展延伸的效果.

變式 記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin C=2cos B，a2+b2－c2=2ab.

（1）求B.

（2）若△ABC的面積為3+3，求△ABC的周長.

解析：（1）同原問題部分，可得B=π3.

（2）同原問題部分，可得c=22.

進一步通過

方法4中的平面幾何法，可得a=（1+3）x=2+6，b=6x=23，所以△ABC的周長為a+b+c=32+23+6.

4 教學啟示

4.1 “數(shù)”“形”融合，化歸轉化

解三角形綜合應用問題中，命題人通過情境創(chuàng)設與綜合應用，對初中平面幾何、高中解三角形兩個不同階段的數(shù)學基礎知識加以巧妙整合，突出對數(shù)學“四基”的考查與數(shù)學“四能”的應用.在具體破解此類問題時，“數(shù)”與“形”的融合與應用都可以達到目的.實際解題時，考生可以借助解三角形中“數(shù)”的本質與內涵，有序進行數(shù)學運算；也可以借助解三角形中“形”的實質與回歸，巧妙直觀想象，合理化歸轉化.

4.2 回歸本質，拓展思維

在解三角形綜合問題中，學生依托具體問題場景，合理構建對應的平面幾何模型.學生借助平面幾何直觀，綜合平面向量與解三角形等相關知識，加以平面幾何圖形的直觀想象以及相關問題的邏輯推理，綜合起來利用數(shù)形結合分析與應用.

從問題中合理挖掘內涵，回歸問題的本質，借助解三角形問題的數(shù)學運算或直觀想象，實現(xiàn)初、高中知識間的交匯與融合，特別是要將相關的解三角形、三角函數(shù)、函數(shù)與方程等知識巧妙地滲透與融合進去，拓展數(shù)學思維方式與解題策略，實現(xiàn)解題過程的優(yōu)化與創(chuàng)新應用.