鏡像隱喻視域下小數概念誤解分析

摘 要：學生學習小數比大小時常會出現各式各樣的錯誤，小數比大小時，學生繼承了整數比大小、分數比大小和負數比大小的已有知識和經驗，出現了基于“整數規則”比較大小、“分數規則”比較大小、“零規則”比較大小、“負數規則”比較大小等各種錯誤.小數比大小混淆是學生在不同的類比映射下，將鏡像隱喻同一特征的不同對象合并或不區分的結果.多位國內外學者闡述了物體集合隱喻、對象建構隱喻、量尺隱喻、沿路線運動隱喻、鏡像隱喻，他們的隱喻思想研究對研究學生的認知規律提供了新的視角．

關鍵詞：小數比大小；錯誤；意象圖式；鏡像隱喻

1 小數的歷史

數學家劉徽在注解《九章算術》時提出了用十進制小數表示平方根的非整數部分思想.^［1］劉徽對長度的記法采用的單位是丈、尺、寸、分、厘、毫、秒、忽，“忽”是最小的單位，表示不盡根，指出在“忽”以下的第一位，作為以10為分母的分數，第二位數作為以100為分母的分數……劉徽明確指出，加定法如前，求其微數，微數無名者以為分子，其一退以十為母，其再退以百為母，退之彌下，其分彌細，這說明劉徽已明確地使用十進分數“a+b10+c100+……”來表示小數.^［2］劉徽把個位以下無法標出名稱的部分稱為“徽數”，也就是現在的小數；古人還用“奇零”“余數”“尾數”及“微數”等名稱來稱呼小數.公元13世紀，我國出現了小數的記法；公元19世紀末期我國才普遍采用十進制小數點.^［3］從本質上說，十進分數與十進小數是沒有區別的.但從表達形式和運算過程來說，十進分數是遠不及十進小數簡潔優越的．

我國古代天文學家用百進位的小數來記錄數據，著名科學家何承天編著的《宋書》律歷志部分就已大量地記述了如圖1所示的數，即用附在整數位后面的小字來表示小數，這對后來我國小數的記法有深遠影響．

十一萬八千二百九十六二十五118 296.25九萬四千三百五十七94 305.17

如圖2所示，劉瑾在其音樂著作《律呂成書》中，表示“106 368.631 2”時，把小數部分寫低一格，以示與整數部分的區別.類似地，如圖3所示，在《丁巨算法》的第十問的演草里，把“鈔六十七兩六錢八分”記作因為以“兩”作為單位，所以錢、分就是小數了．

美國數學史家卡約里（C.Florian）認為十進小數是近代數學史上關于計算基礎方面的三大發明（印度計數法、十進分數和對數）之一.^［4］隨著人類社會的發展，需要更精確的數量單位來進行度量和運算，小數就是因為開平方運算的需要產生的.1585年，荷蘭的數學家斯蒂文（S.Stevin）在《論小數》一文中，用圓圈內的數字表示十進制分數的數位，并將小數應用到計算中，使十進小數有效地參與記數，如2.192，寫作21①9②2③^［5］，這極大地促進了小數的普及和推廣.1953年，德國數學家克拉維斯（C.Clavius）首先用“.”表示小數點，這個符號比較簡明、方便，成為表示小數的一種通用方法^［6］，被人們廣泛使用．

在小學數學課程體系中，小數是“數與代數”領域中的重要內容.在小學階段，以人教版教材為例，學生在小數方面所學的課程內容主要有小數的讀法寫法、小數的性質及意義、小數的大小比較、小數點的移動引起小數變化、小數的單位換算、小數的近似數、小數加減法豎式計算、整數加法運算定律推廣到小數、小數乘法、小數除法等內容，具體分布如下（見表1）．

一方面，小數在“數與代數”領域占有重要地位，與整數、分數、負數、比、百分數的學習有密切的關系；另一方面，小數的知識還廣泛應用于數學的其他三大知識領域中，并發揮著重要的作用，如在“圖形與幾何”領域中計算圖形的周長、面積和體積；“概率與統計”領域中計算平均數、中位數以及在“實踐活動”中測量物體的長度等．

2 比大小中的常見錯誤

小學生對于小數的學習并不陌生，小數在日常生活中經常被用于表示或記錄某些物體的數據，如人民幣、人的身高、物體的長度和質量、學習成績、天氣的氣溫、人體的體溫等事物的數據都用小數來記錄.學生對小數有著非常豐富的已有知識和經驗，這些經驗既可以幫助學生解題，也會給學生解題帶來困擾，導致學生在解題時出現錯誤.小數大小有如下幾個比較常見的錯誤類型：依據“整數規則”比較;依據“分數規則”比較；依據“零規則”比較；依據“負數規則”比較．

學生存在對小數本身的概念誤解（Misconception），錯誤地認為小數是用符號隔開的兩個整數^［7］，所以學生會受到已有知識經驗的影響，基于“整數規則”或“整數經驗”進行比大小.例如，在比較0.056、0.506、0.560、0.56大小時，有學生錯誤地認為0.560＞0.506＞0.56＞0.056，理由是560＞506＞56，所以0.560＞0.506＞0.56＞0.056；比較0.676 767 67和0.7的大小，學生初學時認為0.676 767 67＞0.7，從直覺看，學生存在“小數越長，小數越大”的誤解^［7］，也稱數位溢出思想.以上錯誤說明，初學者尚未建立比較小數大小的方法，即從高位比起.此外，學生繼承整數乘法、整數除法的經驗進行比較，如認為3.68×0.98＞3.68，3.68÷0.98＜3.68，存在“乘法越乘越大”“除法越除越小”的誤解．

除了整數經驗會影響小數比大小，分數的經驗也對小數比大小有影響.5.62和5.736兩個小數比大小的過程中，學生認為5.62＞5.736.學生誤認為5.62=562，5.736=5736，因為562＞5736，所以錯誤地認為5.62＞5.736，即初學者認為小數越短，小數越大，這樣的誤解也稱分母式思維.雖然這樣的行為看起來很幼稚，但是初學者確實表現出了這種行為.面對一樣長的小數，學生會利用分數比大小的經驗，比較小數之間的大小關系，如13＞14，所以誤認為0.3＞0.4，把分數比較繼承到了小數比較中．

學生存在對小數的概念誤解，認為小數就是很小的數，小數是介于0和1之間的數.所以，零越多的小數，小數越小；零越少的小數，小數越大.在0.1和0.100 00的比較中，學生誤認為0.1＞0.100 00，這是基于“零規則”比較出現的錯誤．

關于小數的概念誤解還有小數是很小的數，是小于零的數，小數是負數，即0.22被誤認為是零以下的負數.國外研究顯示，研究者對初一年級的學生進行比較大小的調查，學生會基于負數比大小的經驗產生對小數比較的錯誤思考，學生的理由是-3＞-4，則0.3＞0.4.^［8］

3 隱喻

隱喻，最早可追溯到傳統隱喻，傳統隱喻主要是修辭隱喻.亞里士多德（Aristotle）是西方修辭學的始祖，他認為隱喻是一個詞替代另一個詞，表達同一意義的語言手段，即把一事物比作另一事物，從而增強語言表達效果.兩個詞語分別來自兩個不同的域，通過相似性建立隱喻關系.

20世紀30年代之前隱喻的研究始終沒有跳出修辭學的窠臼，直到20世紀30年代以后，隱喻研究轉向了語義學理論，英國語言學家理查茲（I. Richards）在《修辭哲學》中指出，隱喻不僅僅是一種語言現象，它還是人類的思維方式，日常生活中充滿著隱喻，隱喻是把表示兩個不同事物的思想放在一起，兩種思想相互作用的結果就是隱喻的意義.理查茲突破了傳統隱喻只關注到隱喻某些方面的局限性.從根本上講，他認為隱喻是思想的相互交流，是語境之間的相互作用，人的思想是隱喻的.理查茲突破了傳統修辭學僅將隱喻作為修辭的藩籬，提出了人類思想和行為隱喻性概念.^［9］

后來，認知科學興起，語言學、信息學、人工智能等領域出現，極大地拓展了隱喻的研究領域，美國學者萊考夫（G.Lakoff）和約翰遜（M.Johnson）從認知的角度對隱喻進行研究，在《我們賴以生存的隱喻》一書中闡述了現代隱喻認知觀的基本框架.萊考夫和約翰遜認為隱喻不僅是修辭手法和思維方式，還是人類認知、思維、經驗、語言甚至是行為的基礎，是人類生存的基本方式.^［10］

隱喻是一種認知現象，人類通過外部刺激經過大腦形成互動經驗，涉身活動所形成的思維方式用意象圖式來表達，意象圖式是人類概念化意義建構的認知基礎，人類的身體無時無刻處于各式各樣的活動之中，身體始終處于與外部客觀世界的接觸和互動中，意象圖式就在這些活動中，給抽象事物賦予具體結構（如圖4）.^［11］人類用熟悉的某一領域的經驗（源域）來解釋抽象的另一領域的經驗（目標域）．

萊考夫和約翰遜認為心智本質上是涉身的；思維大多是無意識的；抽象概念大部分是隱喻的.^［12］隱喻是一種認識新概念的工具，具有涉身性，自動地、無意識地滲透在人類思想、語言和行為之中.隱喻映射將人類涉身感覺運動與外部世界互動的體驗投射到主觀經驗中，賦予其意義并理解意義過程.萊考夫和約翰遜說明了人類使用日常語言通過隱喻理解抽象概念，從而證明了隱喻推理是人類思想和交流的基礎.^［13］

有學者將隱喻思想應用到數學研究中，通過隱喻來理解抽象概念.例如，“數字是一條線上的點”“等式是一個平衡”，這些實例通過一個熟悉的、具體的源域（線、平衡、框）來查看不太熟悉的目標域（數字、等式、變量）.隱喻的主要特征是一個領域被概念化為另一個領域．

4 鏡像隱喻：十進制數的位值表示法的三種心理構造有學者

闡述了物體集合隱喻、對象建構隱喻、量尺隱喻和沿路線運動隱喻，人們通過四種基本隱喻對數學的概念進行認知.^［14］鏡像隱喻是隱喻的一種，鏡像有以下三個基本組成部分：真實物體、它們的圖象（反射）和鏡像位置（某種對稱線、平衡點、樞軸、軸）.為了進行概念隱喻，這些基本成分之間的關系也必須從源域到目標域進行轉換.有了鏡子，每個真實的物體都有自己清晰的圖象.在理解數字時，先通過物體集合隱喻實現從物理對象領域到數字領域{1，2，3，4，…}的映射，即物體集合來源域和算術目標域的隱喻映射.在經典的數列中，正數和負數關于0對稱，0作為平衡點（第一把鏡子），{1，2，3，4，…}作為真實物體，通過平衡圖式得到的圖象是{-1，-2，-3，-4，…}（如圖5）.在數學術語中，這些圖象是自然數的加法逆.

正數和它們的倒數在自然數1周圍是平衡的.物體首先通過物體集合隱喻實現從物理對象到數字領域的隱喻映射，{1，2，3，4，…}通過鏡子“1”反射圖象（第二把鏡子），圖象是單位分數12，13，14，…（如圖6）.在數學術語中，單位分數是以整數來概念化，這些圖象是自然數的乘法逆．特別說明的是圖片表明正數和它們的倒數在自然數1周圍是平衡的，并不是按照數字大小進行排列的.

第三把鏡子與概念隱喻的空間排列有關，在這里，真正的對象不是自然數，是數位{一，十，百，千，…}.作為真實物體，以個位作為第三把鏡子，它們的圖象是“小數”數位{十分之一，百分之一，千分之一，…}（如圖7）.

通常的位值計算的空間安排被學生看作是某種“數線”，數字沿著它分布.這個模型和另外兩個模型一樣，向兩個方向無限延伸，小數點的左邊有整數值遞增，右邊有遞減值的“十進制數”.學生不清楚鏡子的位置，他們認為它是小數點，而不是個位．

自然數是構成其他數概念的主要元素.鏡像隱喻涉及分數、負數和十進制數的位值表示法的心理構造，三種心理構造不同.學生把小數和整數、分數、負數混淆的深層次原因是同一源域特征隱喻映射的不同目標之間的混淆，錯誤地認為小數是負數的學生正在合并自然數的不同圖象.

部分學生錯誤地

合并了第一列和第三列中的圖象（見表2），小數比較中繼承了分數經驗的學生可能合并了第二列和第三列.位值鏡像及其相關的“數字線”是一個心理構造，和正/負鏡像隱喻、倒數鏡像隱喻不同的是位值鏡像隱喻是數位的平衡．

5 結論與啟示

小數比較中的錯誤并不是簡簡單單的粗心、馬虎、不認真，也不是簡單的看錯符號.錯誤來源于概念本身的誤解、概念與概念之間的誤解、直覺規律、隱喻過程中出現的混淆等．

首先，學生對小數概念本身存在以下四種常見的概念誤解：小數是用符號隔開的兩個整數；小數是很小的數；小數是小于零的數；小數是介于0和1之間的數.其次，學生存在概念與概念之間的誤解，學生對小數進行比大小時錯誤地繼承了整數經驗、分數經驗和負數經驗，出現了基于“整數規則”比較大小、基于“分數規則”比較大小、基于“零規則”比較大小、基于“負數規則”比較大小等錯誤.再次，學生存在直覺上的誤解，誤認為小數越長小數越大，小數越短小數越大，零越少小數越大，乘法越乘越大，除法越除越小.最后，自然數是構成其他數概念的主要元素；鏡像隱喻涉及分數、負數和十進制數的位值表示法的心理構造，三種心理構造不同.其中的正/負鏡像隱喻和倒數鏡像隱喻在正式的數學系統中被識別加法的逆和乘法的逆，但是位值鏡像及其相關的“數字線”是一個心理構造，是數位的平衡.小數比大小中的混淆是學生在不同的類比映射下，將鏡像隱喻同一特征的不同對象合并或不區分的結果．

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