小學數學建模教學研究

摘 要：數學建模教學對發展學生的思維起著重要的作用，數學建?；诂F實問題，從中加以抽象概括，實現模型的建構以解決數學問題，并用數學結果解釋現實問題.建模的過程重在讓學生經歷知識的形成過程，使學生的建模能力在發現、分析、解決問題的過程中得到不斷強化，且建模教學的情境與日常生活緊密聯系，能讓學生感受到數學的應用價值.《義務教育數學課程標準（2022年版）》中“核心素養內涵”，提到了模型意識和模型觀念，這無疑奠定了數學建模教學在義務教育階段的重要地位，因此，在小學階段進行簡單的數學建模教學也勢在必行．

關鍵詞：小學數學建模教學；建模能力；植樹問題

小學數學建模教學對培養學生的思維能力、解決數學問題的綜合能力都具有積極的作用.筆者希望借助本次建模教學活動，更深地理解小學數學建模教學，豐富小學數學建模教學，為推動課堂建模教學獻計獻策.通過建模教學實踐活動的開展，將數學建模帶入課堂教學中，讓學生去自主探究建模活動，感知和體驗建模，使學生在小學階段形成初步的模型意識，為高年級學生培養模型觀念打下基礎，同時引起一線數學教師對培養小學生數學建模能力的重視，教會學生如何去進行數學建模，并借助數學模型解決現實問題，幫助學生形成數學建模的眼光、數學建模的思維以及數學建模的語言去表達現實問題的能力．

1 小學數學建模教學的注意點

1.1 重視建模問題情境的創設

有針對性的問題情境能調動學生的已有經驗，引起學生對新知識的渴望，進而產生學習的需求.國外的建模教學是由課堂外進入課堂中，在學生完成一些任務后再進行課堂教學.本研究省略生活化的探索環節，直接將“植樹問題”引入課堂教學，在教學中注重情境的創設.有效的情境能快速為新課搭建好合適的臺階，為接下來的建模奠基.良好的問題情境應滿足以下兩個條件：①與學生的生活實際經驗相貼近，生活中的原型呈現在課堂教學中，問題情境的創設將數學回歸于日常學習生活中，熟悉的生活經驗便于與數學聯系.^［1］②有利于學生識別出數學問題.思維是從問題開始的，問題為學生架起思考的支架，學生帶著任務和問題學習更能引發自身的探究意識和沖動，進而激發數學建模的意識．

1.2 借助建模教學的輔助工具

建模的過程采用數學語言概括地表達出一個能解決一類問題的數學結構，由抽象過渡到直觀，這個過程是復雜難懂的，需在學生已有的認知水平上，借助多種教學輔助工具來建模.針對“植樹問題”總結兩種教學輔助工具：①列表、畫圖.列表將信息進行整理，能讓復雜的問題簡單明了，發現數量之間的關系；能將類似的實際問題歸一、歸總.在第一輪建模教學中，學生在學習單里將總長分別為20米、25米、30米的植樹間隔長度、間隔數、棵樹等數據信息呈現在表格中，發現每一欄的間隔數總比棵樹少1，便據此建構出兩端都栽樹的數學模型.畫圖能使隱藏的等量關系顯性化、具體化、直觀化，幫助學生化繁為簡，找到它們之間的聯系.學生通過畫圖找到間隔數與棵樹一一對應的關系，用線段圖表達思考過程，從而掌握建模方法.②實物教具.實物也是幫助學生建構數學模型的有效手段，學生通過親自動手實操，感悟、理解其本質.在第三輪建模教學研究封閉曲線植樹問題的探究中，學生借助燈帶在圓形外層圍一圍，將其轉化為線段上一端栽樹、另一端不栽樹的植樹問題.在教學資源允許的條件下，教師可借助多種教學工具協助學生建模．

1.3 教學立足點在于建模過程

數學結論固然重要，但若只是一味地強調結果，弱化過程，學生難以真正地理解最終所呈現的結果.建模教學應關注學生在數學活動中的探究.建模過程是課堂教學的重點，重視知識的形成過程是建模教學的關鍵.學生經過動手操作探究，在假設、驗證、求解、解釋等數學活動中層層推進，感悟和理解數學模型的本質.^［2］在第二輪的建模教學中針對兩端都栽樹和只栽一端的問題進行探究，由于時間安排不當省去建模的過程，雖然學生都得到棵樹等于間隔數的數學模型，但對其本質和內涵還是似懂非懂，所以在練習中出現了問題，且不能將理由清楚地表達出來.第三輪封閉曲線的建模教學給學生足夠的時間去構建數學模型，學生就能很好地掌握和理解棵樹與間隔數的關系．三輪建模教學研究重心都在學生探究活動，在此過程中的發現、質疑是學生再創造的過程.學生最終建構出“植樹問題”的數學模型，賦予抽象的數學模型以自身的理解和概括，能夠闡釋清楚數學模型的具體內涵.

1.4 為小組探究提供思考支架

小組合作探究是獨立思考后相互交流、展示、容納和吸收的過程.整個建模教學的過程以合作探究為主，學生個人往往不能直接在隱藏的數學知識中建構出數學模型，而小組合作能在集思廣益、共同探索的基礎上取得對問題的一致理解，進而分工合作探索問題.當然，在探究的過程中單純的學習和思考行為無益于高階思維的形成，有價值的核心問題才能最直接有效地激發學生的思考，因而為學生搭建學習與合作的思考支架，是以學促教的一種手段.在第一輪建模教學中為學生提供合作思考的任務支架，學生順著任務找到每個問題的答案就是在進入建模的過程.第三輪建模教學中為學生展示了兩個活動要求，學生有明確的探究任務要求，并按照活動一和活動二的任務一步一步探索.在這個過程中，學生經歷了建模的流程，體驗了建模過程的完整性，更能夠掌握建模的方法和感悟建模的思想.

1.5 注重多維模型的變式練習

變式運用屬于數學建模的重要階段.學生完成建構模型只是對假設結果的初步判定，為保證數學模型的準確性，必須對其檢驗，而在變式的練習中能實現對數學模型的檢驗和運用.檢驗環節是數學建?；顒拥幕玖鞒讨?，驗證也是學生反思、回顧的過程.學生將數學模型放到不同的現實問題中去驗證，以建模的視角再次去經歷、深化對數學模型的認識.僅在典型例題的探究活動中感受建模是遠遠不夠的，通過變式練習，學生能在數學模型的輔助下形成對某類問題的認識.除此之外，變式練習有助于學生深入把握數學模型的本質，做到聞一知十、觸類旁通，也能體會到數學模型的一般化.^［3］在三輪的建模教學中，每一輪都有遷移運用環節，植樹問題可延伸至馬拉松設置飲水點、公交站臺、安裝路燈、下圍棋等多種不同的現實情境.為了讓學生能轉化“植樹問題”的數學模型，在變式練習中還涉及逆向思維的訓練，在這樣的練習中不僅拓寬了學生學習的寬度，還鞏固了對數學模型的認識.在闡述與分享的思考過程中，學生的數學語言表達能力得到不斷強化．

2 小學數學建模的教學建議

課堂教學要高效、有質量地開展，教師在其中起著至關重要的引領作用，要統領課堂的安排，細化到教學方法、探究活動、教學環節等方面的設計.針對本次建模教學的體會談幾點思考建議，希望能為后面進行小學數學建模教學的教師提供一定的參考，讓建模教學活動在小學高效地開展．

2.1 理性選擇建模教學方法，挖掘建模的元素

教學方法包括教師的教法、學生的學法以及師生的教與學.理性、優質的教學方法既能提高建模質量，又能高效完成建模教學任務.小學五、六年級的學生基本進入形式運算階段，已具有初步的抽象推理思維，只要教師下達建模教學任務，明確探究的建模問題，學生能夠積極主動地參與數學活動的探索.對于五、六年級的學生，在課堂中若一貫地以講授法為主，40分鐘的課堂難以保證注意力的集中.雖然講授法能在最短時間內將有效的知識和結果傳遞給學生，但這種單方面的被動灌輸，未能真正將新課標的理念貫徹和落實.枯燥的講授新知識，再灌以大量同質化的練習，長此以往，學生早已倦怠，注意力不集中，容易分散，逐漸喪失學習的興趣．

建模教學以小組討論法為主.教師為學生搭起思考探究的支架，以眾多問題牽引學生探究，隨著問題的逐個解決，“植樹問題”的模型建構也凸顯出來.在學生小組合作討論與探究的過程中，教師及時跟進每一組學生的探究進展，結合小組的情況加以點撥.在小組討論中，學生以建模為中心，一起合作分享交流，相互學習，在相互彌補中理解建模，完善模型.選擇小組討論法為主要的教學方法，每個學生都擁有自由地表達自己見解的機會.學生在小組合作交流中得到反饋信息，及時地調整自己的觀點，不同發展水平的學生參與其中，取長補短，共同進步，在探究與合作中理解、應用數學模型，體驗模型的構建過程，這有益于學生形成模型觀念的經驗基礎，更好地實現教學目標．

2.2 精心選取建模探究活動，營造合作的氛圍

建模過程最重要的就是要開展探究活動，讓學生通過一系列的探究活動真正體驗模型的建構.在探究活動中不只是純粹地解決數學問題和建構模型，而是發展學生的數學思維，當然，探究活動要能在輕松愉快的氛圍中展開，學生更敢于發言、提問、質疑，主動地去分享自己的見解.小學階段的學生樂意接受教師的表揚和贊賞，畏懼遇到的學習困難和失敗，如果處于一個嚴肅的探究氛圍中，大部分學生依附于學習能力較好的學生，會出現人云亦云，失去獨立思考和怯于表達自我想法的機會，習慣于等待答案，產生惰性思想.教師要肯定和鼓勵學生的獨特見解，共同營造寬松、潤澤的探究氛圍.建模過程不是一蹴而就的，而是在一個個探究活動中循序漸進累積的，因而要在建模過程中設計合理的探究活動，給足學生思考和分享展示的時間，允許學生探究活動中答案的不唯一，注重小組內部的合作交流.學生能在交流中重新審視和優化自己的思考過程，總結出解決問題的方法.除此之外，建模需要在一個大問題的引領下，設置多個緊密相扣的問題串，以便學生在探究活動中能更深層次地探究各個活動之間的問題.在第三輪建模教學活動一和活動二中，探究活動主要以問題的形式讓學生逐個解決.活動一主要是讓學生將棵樹表征在圓形上，建構出棵樹與間隔數的關系；活動二讓學生大膽地動手操作驗證自己的想法，同樣是一個個問題貫穿其中，通過問題加深他們對探究活動的思考．

2.3 科學設計建模教學，創新課堂環節

一般的教學環節包括導入、新課講授、鞏固練習、歸納總結四個部分，該教學環節適用于大多數的課堂，但并沒有針對數學建模有計劃地進行教學環節設計.數學建模教學的新課講授環節可按照建模流程設計教學內容，加入理解現實問題，抽象簡化現實情境，轉化為數學問題，建構模型，模型求解，驗證應用等新環節.講授的過程不必過度強調建模的流程，但講授的內容應當按照建模的流程來設計，讓學生在潛移默化中感知數學建模.將零碎的所學知識進行統整，是學生建構自身知識體系的重要教學環節，它再一次將學生模棱兩可、混淆不清的知識進行整合，讓學生系統地從整體上有更深的認識.三輪建模教學其核心都是建構數學模型，但每類問題的內部條件和求解問題不同.學生經歷了三次建模從產生到結果完整的流程，可以發現三類建模過程都有著統一的解決思路和結構體系.若將三類建模進行對比分析、歸納總結，對學生可能會稍有難度，但教師參與其中，引導學生回顧反思，在此過程中學生更能清楚知識的重難點，并能對線段上植樹與封閉曲線上植樹兩大類型的三種情況更為明晰，在此過程中能將所學知識以及蘊含的思想歸屬于學生自己.即便延伸拓展出多個不同情境的建模問題，學生仍能掌握數學建模的本質，將其舉一反三、遷移運用．

3 結語

數學建模能力的培養不是一蹴而就的，而是一個持久的過程.對此，本研究開展了短周期的數學建模研究，從五年級典型的植樹模型入手，在共同探究中，經歷建模教學研究，從現實問題到數學問題，最終回到現實問題的過程.對比前后學生的建模測試卷得分情況，學生的建模能力有了明顯的變化.對于教學過程中出現的問題，教師需及時進行總結與反思，在后續的建模教學中加以注意．

參考文獻

［1］謝小英.小學高年級數學教學中學生建模能力培養研究［J］.考試周刊，2024（18）：65-70．

［2］當子扎西.數學建模思想在小學高年級解決實際問題應用中的教學研究［J］.數理化學習（教研版），2023（7）：44-46．

［3］胡善玉.基于數學建模思想的小學高年級數學應用題教學策略探究［J］.考試周刊，2020（73）：63-64．