關于教材中平面多邊形穩定性的研究

摘要：在學習三角形性質的時候，我們知道三角形具有穩定性，四邊形不具有穩定性.中學數學教材利用觀察、實驗、舉例、聯想等方法引導學生學習這個性質，但未給出關于穩定性的定義和具體的證明過程.在本論文中，首先對平面多邊形的穩定性給出一個嚴謹的定義，然后由此定義出發嚴格證明三角形具有穩定性，四邊形不具有穩定性，最后將四邊形的不穩定性推廣到邊數大于等于四的多邊形.

關鍵詞：多邊形；穩定性；連續運動

1 引言

在平面內，由一些線段首尾順次相連所組成的封閉圖形叫做多邊形[1].三角形是最簡單的多邊形，也是學生最早學習的幾何圖形.在四年級人教版教材中，學生第一次接觸了三角形，并且知道了三角形具有穩定性.到了初中進一步學習了三角形的知識.在人教版、北師大版等數學教材中，都講到了三角形具有穩定性，四邊形不具有穩定性.

在各版本教材中對于三角形穩定性的學習，有些是通過列舉一些生活中或是建筑中使用三角形作為支撐的實例引入；有些是利用全等三角形“邊邊邊”定理引入.通過觀察、實驗和生活經驗來告訴我們，三角形三條邊長度確定后，它的形狀、大小就完全確定了，從而得出“三角形具有穩定性”的結論.

對于四邊形不具有穩定性的學習是通過用四根木條釘成框架做實驗，發現框架的形狀可以改變，說明四邊形不具有穩定性.

教材利用觀察、實驗、舉例、聯想等方法引導學生學習三角形和四邊形的穩定性.究其根本，到底什么是穩定性？從什么角度去定義它呢？教材并未對穩定性給出明確的定義和數學證明.在幾何知識的學習過程中，觀察、實驗等是發現數學公式、定理的重要途徑，但是檢驗數學命題是否正確，需要經過理由充分、使人信服的推理論證才能得出結論[1].由此想到，嘗試對平面多邊形的穩定性給出一個嚴謹的定義，用嚴格的數學證明推導出“三角形具有穩定性，四邊形不具有穩定性”這一性質，并以此為基礎對邊數大于四的多邊形開展探究，嘗試證明其同樣不具有穩定性.

2 多邊形穩定性的定義

文獻中有一些多邊形穩定性的定義.

以下是有關三角形穩定性的定義：

（1）只要三角形三邊的長度確定了，這個三角形的形狀和大小就完全確定了.三角形的這個性質叫做三角形的穩定性[2].

（2）當三角形三條邊的長度均確定時，三角形的面積、形狀完全被確定，這個性質叫做三角形的穩定性[3].

（3）任何多邊形（n邊形）自然都可由它的頂點確定，但一般不能通過它的n條邊完全確定，惟有三角形能由它的三條邊（其實就是三條邊長）完全確定.三角形的這個性質稱為三角形的穩定性[4].

以下是有關四邊形不具有穩定性的定義：

（1）四邊形不具有穩定性，也就是說，當一個四邊形四邊的長度確定時，這個四邊形的形狀、大小不唯一確定[5].

（2）平行四邊形的形狀、大小不能由平行四邊形的四條邊確定，這種性質稱為平行四邊形的不穩定性[4].

通過對以上資料的研究，發現現有的穩定性概念都是對三角形和四邊形分別進行定義的，并且沒有涉及邊數大于四的多邊形.我們想給出平面多邊形穩定性的一個統一的定義.

在很多文獻中對三角形穩定性的判斷使用了全等的思想.北師大版、蘇科版和浙教版教材中，三角形的穩定性放在“三角形全等”一章中學習；在定義穩定性時，用到的“形狀相同、大小相等”的說法本質上也是全等.我們知道，通過平移、旋轉、翻折得到的圖形也是全等的，但它們并不能表達出穩定性.四邊形也可以構造出全等，但是四邊形是不穩定的.所以通過全等來定義穩定性并不合理.

我們在本文中引入“連續運動”的概念.

定義1："連續運動是指平面圖形上的每一點在此運動中的軌跡都是一條平面內的連續曲線.

在定義多邊形的不穩定性時，只需找到一種連續運動，在邊長保持不變的前提下，對應角發生改變就行了.

下面給出如下多邊形穩定性的定義.

定義2："如果可以找到一種平面上的連續運動，使得平面上的多邊形在保持邊長不變的前提下，某個角的角度發生了改變，則稱這個多邊形是不穩定的.否則，稱這個多邊形是穩定的.

3 三角形穩定性的證明

定理1""三角形具有穩定性.

證明：如圖1所示，在△ABC中，設∠BAC=α，∠ABC=β，∠ACB=γ，并設|AB|=c，|BC|=a，|AC|=b.

由余弦定理[6]，得

cos α=b2+c2－a22bc，cos β=a2+c2－b22ac，

cos γ=b2+a2－c22ab.

所以cos α，cos β，cos γ的值完全確定.如圖2，我們知道函數y=cos x是［0，π］上的

嚴格單調遞減的連續函數[4]，0lt;α，β，γlt;π，從而三個角的角度α，β，γ也完全確定.

綜上，無論△ABC做何種連續運動，只要邊長保持不變，三個角的角度一直保持不變.

這樣，我們就證明了定理1.

4 邊數大于等于四的多邊形的穩定性研究

對多邊形進行如下分類：

（1）如果多邊形的任意兩邊都不相交，任意一個頂點都不在邊上，且每個頂點只是兩條邊的端點，那么該多邊形稱為簡單多邊形，除此以外的多邊形稱為復雜多邊形[7].根據以上定義，可以把多邊形分為簡單多邊形和復雜多邊形.

（2）對于簡單多邊形來說，如果所有的內角都不超過π，稱為凸多邊形；至少有一個內角大于π時，稱為凹多邊形[7].由此可知，簡單多邊形可以分為凸多邊形和凹多邊形兩類.由凸多邊形和凹多邊形的定義，我們知道：畫出多邊形的任意一條邊所在直線，如果整個多邊形都在這條直線的同一側，那么這個多邊形就是凸多邊形[1]；如果多邊形中存在一條邊，使得這條邊所在直線的兩側都有多邊形的一部分，那么這個多邊形就是凹多邊形.

根據以上定義，我們知道多邊形可分為簡單多邊形（包括凸多邊形、凹多邊形）和復雜多邊形.

圖3中的多邊形為凸多邊形，圖4中的多邊形是凹多邊形，它們都是簡單多邊形；圖5中的多邊形是復雜多邊形.

我們先研究平面四邊形，再研究平面內的n邊形（n≥4）.

4.1 四邊形不具有穩定性的證明

定理2""平面四邊形不具有穩定性.

分析：平面四邊形分為凸四邊形、凹四邊形和復雜四邊形.我們只對凸四邊形進行證明，凹四邊形和復雜四邊形的證明完全類似.

證明：假設ABCD為一凸四邊形，如圖6，因為其內角和為2π，所以一定有一個內角小于等于π2，不妨設∠ABC=α≤π2.保持邊AB不動，將邊BC以點B為圓心，BC為半徑旋轉至BC′，運動方向可取順時針方向或逆時針方向.只研究順時針方向，逆時針方向情形的證明完全類似.

我們將證明如下結論：在一定范圍的連續運動中，每個瞬間都可以找到另一個凸四邊形ABC′D′，使得兩個四邊形的對應邊的邊長相等，而對應角的角度不全相等.

因為ABCD是凸四邊形，根據定義我們知道，只要連續運動的范圍足夠小（順時針轉動的角度足夠小），點C′和四邊形ABCD的兩個頂點C，D均在邊AB所在直線的同一側.如圖7，以直線連接頂點A，C及點A，C′.此時，頂點C′的位置已經確定，假設∠ABC′=β，則可得

0lt;βlt;α≤π2.

下面證明存在頂點D′，使得四邊形ABC′D′與四邊形ABCD

的對應邊的邊長相等.

如圖8，設|AB|=a，

|BC|=|BC′|=b，

|AC|=c，|AC′|=k，

|CD|=l，|AD|=m.

由余弦定理，得

cos α=a2+b2－c22ab，①

cos β=a2+b2－k22ab.②

由0lt;βlt;α≤π2可推出cos βgt;cos α，從而

klt;c.③

因為三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊[1]，所以在△ACD中，有

|l－m|lt;clt;l+m.④

由于y=cos x是實數域上的連續函數，因此可取β滿足α－β充分小，使得cos β－cos α充分小，從而由式①②可知c－k也充分小.由cgt;|l－m|推出c－|l－m|2gt;0，所以可以做到

c－k≤c－|l－m|2.

進而結合④，可得

k≥c－c－|l－m|2=c+|l－m|2gt;|l－m|.⑤

由③④⑤，可知

|l－m|lt;klt;l+m.

所以，

－1lt;l2+m2－k22lmlt;1.

由y=cos x在［0，π］上的連續性和嚴格單調減性可知：當x從π連續變化到0時，cos x可取遍［－1，1］中的所有值.所以，存在0lt;γlt;π，使得

cos γ=l2+m2－k22lm.

由余弦定理可知，一定存在點D′，使∠AD′C′=γ，|AD′|=m，|C′D′|=l.滿

足這些條件的點D′的可能位置有兩個，如圖9所示.

因為連續運動的范圍足夠小，所以圖9中的D′1就是唯一滿足條件的點D′，并且四邊形ABC′D′是凸四邊形.

綜上，只要邊BC繞點B連續運動（旋轉）的范圍足夠小，在每一個運動的瞬間都能找到一個凸四邊形ABC′D′，與四邊形ABCD的對應邊的邊長相等，但對應角的大小不全相等（α≠β），從而證明了平面上的凸四邊形是不穩定的.

4.2 邊數大于等于四的多邊形穩定性的證明

對于平面內邊數大于等于四的多邊形，我們發現它和四邊形一樣具有不穩定性.

定理3nbsp;"平面上的n邊形（n≥4）是不穩定的.

證明：用數學歸納法證明這個定理.

當n=4時，由定理2知定理3成立.

假設當n=k≥4時平面上的n邊形是不穩定的，下面證明該結論對n=k+1也成立.

我們斷言：存在n邊形（n≥4）的相鄰兩條邊，連接這兩條邊的非公共頂點得到一個三角形和一個n－1邊形，且它們以這兩個非公共頂點的連線為公共邊.

其中，圖10是凸多邊形的情形，圖11是凹多邊形的情形，圖12是復雜多邊形的情形.

這樣，連接k+1邊形（k≥4）的上述相鄰兩條邊的非公共頂點，得到一個三角形和一個k邊形.而由歸納假設，k邊形是不穩定的，從而k+1邊形也是不穩定的.

由數學歸納法，定理3得證.

5 結論

筆者通過對多個版本教材和文獻的研究，首先對多邊形的穩定性給出嚴謹的定義，然后證明三角形具有穩定性，最后證明邊數大于等于四的多邊形不具有穩定性.本文中對多邊形穩定性的研究涵蓋了平面上所有的多邊形，包括簡單多邊形（凸多邊形，凹多邊形）和復雜多邊形.我們的創新性在于：第一，給出了平面上多邊形穩定和不穩定的嚴謹定義；第二，對平面上邊數大于等于四的多邊形不穩定性的研究課題和證明方法，未在其他文獻中查到.本論文是對教材中多邊形穩定性學習的進一步探究和有益補充.

參考文獻：

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[5]楊裕前，董林偉.義務教育教科書·數學（八年級上冊）[M].南京：江蘇鳳凰科學技術出版社，2013：24.

[6]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書·數學（選擇性必修第二冊A版）[M].北京：人民教育出版社，2020：42.

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