APOS理論指導下的初中數學概念課教學實踐與反思

摘要：結合APOS理論，分析初中數學概念課的四個階段，通過“二次根式”課堂教學實踐，重視概念形成過程中的思維發展，幫助學生自覺探究、自主建構，準確把握概念本質.

關鍵詞：APOS；概念課；二次根式；思維聯結

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：核心素養具有整體性、一致性和階段性，在不同階段具有不同的表現，在初中階段，學生開始理解并掌握更抽象的概念和原理[1].如何幫助學生正確理解數學基本概念的發生發展，梳理數學概念學習的共通之處？APOS理論對初中概念課的教學提供了理論支撐，對教師改進教學方法起到指導作用.本文中以“二次根式”教學為例，基于APOS理論實踐概念課教學.

1 APOS理論概述

APOS理論是杜賓斯基的建構主義學說，其過程包括活動階段、過程階段、對象階段、圖示階段[2].活動階段是通過實際問題抽象出數學問題，是概念形成之初的特例研究階段，在實例中感受概念的一部分特點；過程階段是學生對特殊實例的歸納，闡述研究對象的主要特點，建立新概念的形象；對象階段是用數學的符號表示出來或者用數學的語言表達出來；圖示階段是學生進一步理解新概念的內在和外延，探索其性質，形成體系.這四個階段，給出了數學概念的發生和發展：具體實例—探索共同特征—類比歸納、符號表達—建構圖示關聯.

2 基于APOS理論的“二次根式”概念的教學實踐

2.1 教學內容分析

二次根式是學習了平方根、立方根等內容后，對非負數a的算術平方根的再認識和研究；也是學習了整式、分式后對“式”內容的進一步延伸和完善.二次根式的化簡是對勾股定理應用的補充，是后續學習解直角三角形、解一元二次方程的知識儲備.

2.2 學生學情分析

學生雖然掌握了實數的加、減、乘、除與乘方運算，已經學習了多項式的因式分解，但二次根式性質的逆用仍然是本節課的難點.在授課前，教師要充分研讀教材，關注學生思維，使新舊知識結構化.

2.3 課堂教學實踐

筆者結合APOS理論的階段特點、二次根式的課程內容要求以及授課班級學生的學情特點（無錫鳳翔實驗學校借班上課），將整節課分為四部分：初識新概念—探究概念特征—辨析概念性質—應用概念性質，實現了APOS理論與課堂實踐的有效融合.

2.3.1 活動階段：回顧舊知，“話”生長點

問題1""（1）4的平方根是多少？4的算術平方根呢？

（2）非負數a的平方根呢？算術平方根呢？

（3）負數有平方根嗎？

設計說明：從小題入手，為新概念作鋪墊，同時滲透用字母來表示一般規律的數學思維.

問題2""用帶根號的式子表示下列問題中的數量：

（1）邊長為1的正方形的對角線的長；

（2）面積為S的圓的半徑；

（3）直角邊長分別為a，b的直角三角形斜邊長；

（4）物體從靜止狀態自由下落的高度h（單位：m）與所需

時間t（單位：s）滿足關系式h=12gt2，試用h表示t （g=10 m/s2）.

設計說明：學生列出相應的代數式，但這些代數式不屬于整式，也不是分式，是一種新的代數式，初步感受學習二次根式的必要性.

2.3.2 過程階段：觀察歸納，“探”共同點

問題3""觀察式子2，Sπ，a2+b2，h5，它們表示什么意義？它們有什么共同特征？

追問：2hg（hgt;0，ggt;0）是這一類型特征的式子嗎？

問題4""請同學們說出一個具有相同特征的式子.

設計說明：從意義出發，探究式子的共同特點是含有二次根號（形），且被開方數大于或等于零（質）.學生經歷猜想、質疑、交流、釋疑.若有學生提出被開方數是整式，只因所給出的例子中被開方數沒有出現分式.在從特殊到一般的歸納中，我們只是寫出了一部分共同特征的代數式，所以就會有以上困惑.回歸概念，a中的a是數，是式，是一個整體，只要滿足非負即可，故2hg（hgt;0，ggt;0）具有相同的特征，這就是概念的形成過程.

2.3.3 對象階段：剖析概念，“辨”內涵與外延

問題5""你能用一個式子來表示嗎？你能給它起個名字，下個定義嗎？

追問：（1）當alt;0時，a有意義嗎？為什么？

追問：（2）當a≥0時，a可能是負數嗎？為什么？

問題6""下列式子哪些是二次根式？

（1）35；"（2）32；"（3）xy；"（4）－12；

（5）9 ；"（6）a2+1；""（7）m2+2m+3.

設計說明：抓住“形”和“質”，實現了從具體到抽象的過程.利用概念進行分析比對，觀察其“形”，驗證其“質”.

問題7""知識拓展：

（1）已知x，y都是實數，且滿足y=8－2x+2x－8－3，求（x+y）2 023的平方根.

（2）若無論x取任何實數，代數式x2－6x+m都有意義，求m的取值范圍.

設計說明：概念的鞏固需循序漸進，利用有梯度的練習使學生明晰性質，深化對 “質”的理解.

2.3.4 圖示階段：正反逆用，“悟”性質應用

問題8""（1）2的意義是什么？（2）2等于多少？

（2）（4）2=_____；（6）2=_____；122=_____；（0）2=_____.

（3）能用一個式子來表達你發現的規律嗎？

設計說明：回歸算術平方根的意義，探究其性質，滲透從特殊到一般的數學思想，提升學生的數學抽象、直觀想象等學科素養.

問題9""（1）計算：①（12）2;②232;③（a+b）2（a+bgt;0）;④（－35）2.

（2）在實數范圍內分解因式：①a3－2a;②x2－23x+3;③5a2－3b2;④9y4－1.

設計說明：因式分解看似是舊問題，卻有新發現.以前不能分解的因式，如今在實數范圍內可以繼續分解，這就是新概念的應用.

3 概念課教學的幾點思考

3.1 [ZK（]經歷概念的生成過程，探尋概念的內涵與外延

概念的形成是自然而然、合情合理的，教師應深入研究新概念的形成、描述、表達和辨別，應避免硬性規定，機械記憶[3].學生通過合作探究、深度學習后會對概念產生深刻的認識.通過充分認識代數式的特點，說出相同特征的式子，是模仿，但有超越，有升華，被開方數從數到式，從無條件到有條件再到無條件，都是思維的聯結和思維的升級.

3.2 構建概念的前后聯系，深化概念的性質理解

課標建議整體把握教學內容，強化對數學本質的理解，引導學生從數學概念、原理和法則之間的聯系出發，建立起有意義的知識結構.類比分式的學習路徑是概念—性質—運算—應用，所以對于二次根式就可以模仿學習，逐一展開，從而建立起有意義的關聯.對于二次根式的雙重非負性以及性質的逆用，則是抓住概念的本質展開，通過數學活動，感悟數學方法，遷移學習方法，認識數學概念的本質.

3.3 優化概念的抽象理解，升華概念的應用價值

概念教學過程中，一定要“讓學生經歷從具體實例抽象出數學概念的過程”，找準概念的切入口，找尋新舊知識的異同點，把具體問題抽象化[4].概念的理解不是一次完成的，需要反復錘煉，反復辨別.在概念建立之后，通過練習加深對概念的認識、理解、記憶和應用.在設置習題時要由易到難，對相近的、易混淆的部分及時進行對比辨析，本節課中設置了二次根式性質的正用、逆用、變用，多角度、多層次、多類型展開，學以致用，促使學生感受概念的應用價值.數學教育的意義不僅在于解題，更重要的是能用“數學的眼光”去觀察世界，能用“數學的思維”去思考生活.要重視概念教學，核心概念的教學更要不惜時、不惜力.這是因為數學概念高度凝結著數學家的思維，是數學地認識事物的思想精華.在概念教學中要循序漸進，讓學生知其然，知其所以然[5].

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]王悅，馬旭.APOS理論指導下的初中數學概念課教學——以“直線、射線和線段”為例［J］.數學教學通訊，2023（14）：10-13.

[3]許中煜 .“小”概念，“大”智慧——以“二次根式”為例［J］.中學數學，2023（8）：（41-43）.

[4]徐德同.關于概念教學的幾點思考［J］.數學通報，2015（3）：23-26，29.

[5]章建躍，陶維林.概念教學必須體現概念的形成過程——“平面向量的概念”的教學與反思［J］.數學通報，2010（1）：25-29，33.