有關(guān)動(dòng)點(diǎn)的等腰三角形存在性問(wèn)題解法探究

摘要：等腰三角形是特殊的三角形，因其角有底角和頂角之分，邊有腰和底之分，所以時(shí)常被命題者將之與分類(lèi)討論思想融合.對(duì)于這樣的綜合題，學(xué)生極難招架.有關(guān)動(dòng)點(diǎn)的等腰三角形存在性問(wèn)題亦如此，對(duì)學(xué)生解題能力有較高要求.為此，本文中首先呈現(xiàn)引例并探究解決思路，并在此基礎(chǔ)上嘗試總結(jié)等腰三角形存在性問(wèn)題的解決策略.

關(guān)鍵詞：動(dòng)點(diǎn)；等腰三角形；存在性；分類(lèi)討論思想

動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)幾何部分非常重要的問(wèn)題，時(shí)常以綜合題的形式出現(xiàn)，且只要這類(lèi)問(wèn)題出現(xiàn)，學(xué)生解題的準(zhǔn)確率就急劇下降[1].其實(shí)，解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是有方法的.本文中以有關(guān)動(dòng)點(diǎn)的等腰三角形存在性問(wèn)題解決策略探究為主，呈現(xiàn)筆者個(gè)人在這方面的看法，希望與廣大同仁形成有效交流.

1 引例及分析

引例""如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB是直角.已知AC=8 m，AB=10 m，在AB上有一個(gè)速度為2 m/s的點(diǎn)P，正從A出發(fā)向B運(yùn)動(dòng).當(dāng)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=（""）時(shí)，△APC正好是等腰三角形.

A.5 s""B.5 s或8 s

C.52s""D.4 s或52s

分析：由于點(diǎn)P在不斷運(yùn)動(dòng)，△APC的形狀也在不斷變化.要使它成為等腰三角形，應(yīng)抓住AC長(zhǎng)度不變這一特點(diǎn)，將線(xiàn)段AC分為底和腰兩種情況討論.

2 解決問(wèn)題

根據(jù)上述分析，本題的解決過(guò)程如下：

解：根據(jù)題意，AC可能為△APC的底或腰.

（1）當(dāng)AC為底，則AP和CP為腰，此時(shí)P是AC的垂直平分線(xiàn)與線(xiàn)段AB的交點(diǎn).如圖2，過(guò)點(diǎn)P作AC的垂直平分線(xiàn)，垂足為M.

在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理可得BC=6.

∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，且∠ACB=90°，PM⊥AC，

∴P是AB的中點(diǎn).

∵AB=10 m，

∴AP=5 m.

∵點(diǎn)P的速度為2 m/s，

∴t=2.5 s.

（2）當(dāng)AC為腰，則AP是腰，CP是底.如圖3，以A為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑作圓弧，與AB相交于點(diǎn)P.

∵△APC是等腰三角形，

∴AC=AP.

∵AC=8 m，

∴AP=8 m.

∵點(diǎn)P的速度為2 m/s，

∴t=4 s.

綜上所述，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=2.5 s或4 s時(shí)，△APC正好是等

腰三角形.

故選：D.

3 反思及方法總結(jié)

引例是非常典型的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，屬于單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，難度中等.解決這類(lèi)問(wèn)題，關(guān)鍵在于根據(jù)“△APC正好是等腰三角形”分析動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).動(dòng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)后AP和PC的長(zhǎng)度都發(fā)生了變化，而在這個(gè)過(guò)程中AC始終未變化，所以AC是解決本題的突破口.那么，AC此時(shí)在△APC中扮演怎樣的“角色”呢？這就需要根據(jù)等腰三角形展開(kāi)進(jìn)一步的分析.

等腰三角形的邊有兩種，一種是底，一種是腰.由于點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)AC的長(zhǎng)度和位置均不發(fā)生變化，所以根據(jù)“△APC正好是等腰三角形”可知，AC可能是△APC的底，也有可能是△APC的腰.于是，對(duì)此進(jìn)行分類(lèi)討論.

分類(lèi)討論法是初中數(shù)學(xué)中解決問(wèn)題時(shí)使用的一種非常重要的方法，這種方法的基本思路就是將原問(wèn)題根據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)分解（或分割）成若干個(gè)小問(wèn)題（或基礎(chǔ)性問(wèn)題），通過(guò)解決小問(wèn)題（或基礎(chǔ)性問(wèn)題）實(shí)現(xiàn)解決原問(wèn)題[2].例如，將引例分解為“當(dāng)AC為底”和“當(dāng)AC為腰”兩個(gè)小問(wèn)題，在分別解決這兩個(gè)小問(wèn)題后，最終解決了原問(wèn)題.

在利用分類(lèi)討論思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)遵循一定的原則：首先，每級(jí)分類(lèi)按統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行；其次，分類(lèi)應(yīng)逐級(jí)進(jìn)行；最后，同級(jí)互斥、不得越級(jí)[3].例如，在解決引例問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi)時(shí)，由于“△APC正好是等腰三角形”，所以應(yīng)思考是根據(jù)邊分類(lèi)，還是根據(jù)角分類(lèi).根據(jù)解題過(guò)程來(lái)看，本題應(yīng)根據(jù)AC這條邊的屬性進(jìn)行分類(lèi)，即AC為底或腰.分類(lèi)后，對(duì)每種情況分別討論，互不干涉，最后歸納綜合，得出“綜上所述……”的結(jié)論[4].例如，引例同樣進(jìn)行了歸納綜合，得出了“綜上所述，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=2.5 s或4 s時(shí)，△APC正好是等腰三角形”的結(jié)論.不過(guò)，此處需注意的是不能有遺漏.為此，解題者應(yīng)結(jié)合題意仔細(xì)分析.

4 鞏固升華

通過(guò)上述分析發(fā)現(xiàn)，在遇到動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)通常利用分類(lèi)討論思想來(lái)解決，而且討論時(shí)需先對(duì)等腰三角形的邊或角進(jìn)行分類(lèi).鑒于分類(lèi)討論思想既是初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的一部分，又是學(xué)生解題時(shí)不可或缺的一種方法，所以筆者建議教師可將下面這題作為一道鞏固練習(xí)讓學(xué)生完成.筆者將此題的解決過(guò)程附在本文最后，為教師講解本題提供參考.

練習(xí)""在△ABC中，AC⊥BC，AC=6，BC=8，D是AB的中點(diǎn).已知DE⊥AB，垂足為D.在射線(xiàn)AC上有一動(dòng)點(diǎn)P，在BC上有一動(dòng)點(diǎn)Q，且運(yùn)動(dòng)中PD始終與QD互相垂直.如圖4，連接P，Q，交DE于點(diǎn)F．如果△PDF是等腰三角形，試求AP的長(zhǎng)．

解析：根據(jù)題意易得△APD∽△EQD.因?yàn)镻D始終與QD互相垂直，所以∠PDQ是直角.進(jìn)一步通過(guò)tan∠QPD=tan B，可證得∠QPD=∠B.由于∠PDQ和∠BDE都是直角，因此∠PDF=∠BDQ，進(jìn)而證得△PDF∽△BDQ.這說(shuō)明，當(dāng)△PDF是等腰三角形時(shí)，△BDQ也是等腰三角形.于是，對(duì)△BDQ的邊進(jìn)行如下分類(lèi)討論.

（1）當(dāng)BQ=DQ時(shí)，如圖5，過(guò)點(diǎn)Q作AB的垂線(xiàn)，垂足為G.

設(shè)AP=x，分別在Rt△ACB和Rt△BGQ中，根據(jù)cos B得到關(guān)系式子

52234－34x=45.

解之得x=256，即AP=256.

（2）當(dāng)BQ=BD時(shí)，設(shè)AP=x，則

254－34x=5.

解之得x=53，即AP=53.

（3）當(dāng)DB=DQ，則∠DQB=∠B，此時(shí)點(diǎn)Q在點(diǎn)C處，點(diǎn)P在AC的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上，

不符題意，舍去.

綜上所述，如果△PDF是等腰三角形，那么AP的長(zhǎng)為256或53.

與引例不同的是，本題不僅利用了分類(lèi)討論思想解決問(wèn)題，而且還應(yīng)用了轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想.首先，將“△PDF是等腰三角形”轉(zhuǎn)化為“△BDQ是等腰三角形”，即通過(guò)分析△BDQ達(dá)到間接分析△PDF的目的；其次，本題與相似三角形聯(lián)系緊密，且根據(jù)對(duì)應(yīng)邊之比列出了方程，通過(guò)解方程求出AP的長(zhǎng)，這正是數(shù)形結(jié)合思想.

總之，在等腰三角形中利用分類(lèi)討論思想解決問(wèn)題經(jīng)常出現(xiàn)，教師一方面要利用數(shù)形結(jié)合思想讓學(xué)生看懂圖及理解清楚各線(xiàn)段、各圖形之間的關(guān)系，另一方面要利用分類(lèi)討論思想分析每種情況，不能出現(xiàn)遺漏[5].這樣一來(lái)，學(xué)生才會(huì)形成縝密的邏輯思維能力，才會(huì)不斷提高解決問(wèn)題的能力.

參考文獻(xiàn)：

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[2]圣慧晴，王龍.二次函數(shù)中動(dòng)點(diǎn)存在性問(wèn)題解題策略——以三角形存在性問(wèn)題為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2023（2）：77-78.

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