函數與方程視角，推理與直觀結合

涉及高次函數的零點及其綜合應用問題，是高考數學試卷中比較常見的一類常見題型.此類綜合應用問題，設問新穎創新，形式變化多端，可以合理融入函數與方程思想、函數與導數應用等，交匯函數模塊、導數模塊中的基礎知識，考查考生的邏輯推理、直觀想象、數學運算等數學核心素養，具有較好的選拔性與區分度.本文中結合2023年高考數學全國乙卷文科第8題的多角度破解，合理發散學生思維，總結常規方法，提升學生解決問題的能力.

1 真題呈現

該題問題簡捷明了，具體破解時，可以從函數思維視角切入，以“數”應用，結合求導處理，利用函數的單調性來分析與處理；也可以從方程思維視角切入，結合方程的變形，轉化為直線與曲線的圖象問題，以“形”直觀，利用圖象交點來直觀分析與處理.

2 真題破解

2.1 函數思維

解后反思：根據函數存在零點，通過函數的整體思維，合理求導，利用參數的分類討論，并結合函數的單調性與極值的判斷，巧妙化歸與轉化，合理構建含參不等式組來分析與求解.保留函數的整體性，整體法思維也是解決此類問題最為直接、最為常用的方法，只是有時數學運算量較大.

2.2 方程思維

解后反思：根據含參函數零點的個數，轉化為對應的方程問題，合理進行參變分離，巧妙“一分為二”，將問題轉化為直線與函數圖象的交點問題，結合函數圖象的單調性以及極值的判斷，合理數形結合與處理.參變分離，直接研究相關函數的圖象問題，可以使得問題的解決更加直觀形象.

解后反思：根據含參函數存在零點，化歸為對應的方程問題，合理進行半參變分離，同樣加以“一分為二”，將問題轉化為直線與相應簡單函數的圖象的交點問題，結合參數的分類討論，并從直線與曲線相切的情形入手來確定相切時的參數值，數形結合，根據直線的斜率確定參數的取值范圍.半參變分離，借助函數的圖象與數形結合，有時也可以很好地解決相應的含參函數的取值范圍問題.

3 變式拓展

借助原高考真題的場景與解析過程，從參數的取值情況以及函數零點的個數之間的關系，從另一個視角來設計變式問題.

以上兩個變式問題，是基于原高考真題的場景，通過改變函數的零點個數，從不同視角來確定參數的取值范圍.具體的解題過程，可參照以上高考真題的解析過程，這里不多加以敘述.

4 教學啟示

4.1 總結常規方法，歸納常見思維

解答一些相關函數的零點及其綜合應用問題時，最常用的常規方法就是函數思維與方程思維，或直接利用函數本質，結合函數的求導處理，利用函數的單調性與極值等來數學運算與邏輯推理；或利用方程內涵的恒等變形，采取分離參數，主元分離等方法，做到一“靜”一“動”，一“變”一“常”或一“直”一“曲”，“動”直線，“靜”曲線，巧平移，妙變換，借助函數圖象的直觀性來處理.

通過函數思維或方程思維，借助邏輯推理或數形結合解決問題.函數思維重邏輯推理，合理數學運算；方程思維重“直”“曲”分離，“動”“靜”配合，直觀想象.

4.2 倡導“一題多解”，實現“一題多得”

借助典型高考真題的“一題多解”，合理發散數學思維，巧妙融合數學基礎知識與數學思想方法，進一步結合“一題多思”“一題多變”等探究，可以使得我們的解題思維更加開闊，解題思路更加活躍，數學知識的掌握更加熟練，問題的破解更加快速有效，從而全面提高我們的知識水平和思維能力，養成良好的數學品質，培養數學核心素養.