以“四能”為指導，優化三角函數課堂教學

摘要：課堂教學踐行普通高中數學課程標準基本理念，提升學生數學學科核心素養的著力點要從育人的高度設計教學，教會學生學習.結合目前三角函數教學中存在的問題，探索以“四能”為指導的課堂教學，從注重知識的整體理解、注重知識的生成、注重辯證思想、注重知識的應用等幾個方面提出了基于學生發展的課堂教學策略.

關鍵詞：“四能”；三角函數；課堂教學

當前，我國普通高中正在實施新課程、新教材的“雙新”改革，其關鍵落腳點就是課堂教學改革.“雙新”背景下的課程教學需要遵循《普通高中數學課程標準》的基本理念“以學生發展為本，立德樹人，提升素養”，倡導優化課程結構，為學生發展提供共同基礎和多樣化選擇，突出數學主線，凸顯數學的內在邏輯和思想方法，并最終實現“通過高中數學課程的學習，學生能獲得進一步學習以及未來發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗（簡稱‘四基’）”．

目前，高中數學三角函數的課堂教學中存在著諸多問題.比如，對三角函數y=sin x，y=cos x，y=tan x缺乏整體性思考，孤立地研究某一類三角函數；重公式結果而不重視公式推導過程，對三角函數公式之間的聯系“視而不見”，導致對公式記憶不牢、理解不深，或生搬硬套；對三角函數內容蘊含的豐富數學思想挖掘不夠，沒有把課程思政元素融入到課堂教學當中；對三角函數知識特別是如何利用三角函數模型刻畫各種周期性變化現象缺少體驗

與應用.教學是教與學、知與行相統一的行為，以“四基”為指導，從注重知識的整體理解、注重知識的生成、注重辯證思想、注重知識的應用等幾個方面優化三角函數課堂教學是改變現狀、落實學科核心素養的有效路徑.

1 注重整體理解，幫助學生建構“基本知識”體系

數學是一個完整的系統，理解和掌握數學“基本知識”需要整體把握，即通常所說的系統思維.所謂系統思維就是要把認識的對象作為一個系統，綜合考察系統與其要素之間、要素與要素之間、以及系統與環境之間的相互關系和相互作用，來深入理解所研究的對象.系統思維能給我們帶來整體觀、全局觀，具備系統思維是邏輯抽象能力強的表現[1].

三角函數是刻畫周期性變化規律非常重要的一類特殊的函數，它置身于函數當中又自成體系，需要整體理解與結構性把握.因此，可以從“知識圖譜”和“結構性教學”兩個方面進行課堂教學優化.案例1和案例2呈現如下：

案例1 我們怎樣研究三角函數？試以三角函數在“函數”體系中的作用和地位繪制知識圖譜.

根據圖1列出的函數知識結構圖，我們不難得出三角函數在整個函數體系中的地位、和其他函數的關系以及研究它的思想方法等.

案例2 結構化研究三角函數，可以按照如下過程展開.

第一步，定義“三角函數”，明確它的構成要素，即任意角的終邊與單位圓交點的橫、縱坐標.

第二步，用符號表示三角函數及其構成要素，并以要素為標準對三角函數分類，即為正弦函數、余弦函數、正切函數.

第三步，研究基本性質，即研究要素之間的關系，得到“同角三角函數的基本關系”“誘導公式”“兩角和與差的正弦、余弦和正切公式”等.

第四步，研究特例，即三角函數的周期性，簡化三角函數的圖象與性質的研究過程，帶出基本性質，如周期性、奇偶性、單調性、最大值與最小值等.

第五步，三角恒等變換，化簡、求值或證明.

第六步，研究三角函數模塊與其他知識之間的相互關系，如三角函數與向量、正（余）弦定理、解三角形等.

以上過程概括起來就是：定義-表示-分類（以要素為標準）-性質（要素、相關要素的相互關系）-特例（性質和判定）-聯系（應用）.這個過程具有普適性，既適用于三角函數的研究，也適用于其他數學對象的研究，它體現了系統思維的結構性.緊緊抓住這一個結構，輔之以橫向和縱向聯系，就可以引導學生正確把握具體數學對象的要素和功能的關系，從而達到優化課堂教學，提升學生核心素養的目標.

2 注重知識生成，促進學生掌握“基本技能”

長期以來，高中學生普遍反映數學難、枯燥乏味，很重要的一部分原因是教師在教學中過分重視結論的應用而忽視結論的生成過程，造成學生學習能力的下降.數學教學是學生在教師的正確引導下通過動手實踐、自主探索、合作交流等方式獲得概念、性質、法則、公式、定理等基本知識，在這個過程中，逐步提升學生的技能，包括按照一定的程序與步驟進行邏輯運算、推理、數據處理、畫圖等.三角函數的定義基于角的概念的推廣，學生對任意角的認知尚處于萌芽狀態.因此，對三角函數概念的教學需要按照認知的邏輯先后順序，闡明其進階的路線.

案例3 三角函數的定義的生成過程是怎樣的？

初中銳角的三角函數的定義——直角坐標系中用單位圓上的點的坐標來定義銳角三角函數—利用單位圓定義任意角的三角函數—用角的終邊上的點的坐標定義任意角的三角函數.

四個環節，循序漸進，不斷深化，通過有效的鋪墊，使之符合學生的認知規律，體現了數學知識的產生、發展過程，從而激發學生主動探求事物“來龍去脈”的原始欲望，強化主動發展意識.

三角函數圖象及其變換，是三角函數學習的又一個重點和難點.如何突破這個重點和難點，關鍵還在于回到“母”函數y=sin x，y=cos x的圖象及其關系上，可以設計成案例4.

案例4 如何作出余弦函數y=cos x的圖象？

設問（1）：用描點法可以作出y=cos x的圖象嗎？

設問（2）：用類似于作y=sin x圖象的方法可以作出y=cos x的圖象嗎？

設問（3）：由公式六y=cos x=（sinπ/2+x），你能找到y=sin x和y=cos x的圖象之間的聯系嗎？

三個問題的設計，分別從兩個不角的視角進行，即從思維的角度出發沿著先易后難的方向，從自主探究的過程出發則是先難后易.在課堂教學當中，引導學生先獨立思考，后合作交流，這樣從正反兩個方面不僅讓學生得到了y=cos x的圖象，還讓他們知道了正弦函數與余弦函數圖象之間的區別和聯系，從而在圖象知識生成的過程當中，比較自然地獲得作三角函數圖象的技能.

3 注重辯證思維，幫助學生提煉“基本思想”

數學思想是對數學對象的本質認識，是認識具體數學概念、命題、規律與方法等過程中提煉概括出來的基本觀點和根本想法，對數學活動具有普遍的指導意義，是數學活動的指導思想.因此，幫助學生提煉“基本思想”理應成為優化課堂教學、提升課堂品質的常用手段與方法.

三角函數內部之間存在著唯物辨證的關系，例如常量與變量、運動與靜止、特殊與一般、具體與抽象.課堂觀察發現，很少有教師把這些納入教學視野，實際上也鮮有教師去思考這些問題.缺乏必要的數學思想的教學其實是“無根”的教學.課堂教學中注重挖掘三角函數的辯證關系，對培養學生的辯證思維，幫助學生理解和掌握三角函數的知識內容和相互聯系大有裨益；同時通過有意識地提煉三角函數中蘊含的唯物辯證思想，還可以讓學生了解現實世界中萬物皆有聯系，感受數學的美學價值.

把任意角的三角函數轉化為銳角三角函數，一般可按圖2的步驟進行：

上述步驟體現了由未知轉化為已知的化歸思想.用哲學的觀點來分析，化歸是一種運動，只有在不斷的運動中，矛盾才能解決.美國著名數學家波利亞在《怎樣解題》一書中指出：“解題過程就是不斷變更題目的過程.”

案例5 分別觀察、體驗三個參數A，ω，φ對函數y=Asin（ωx+φ）圖象變化的影響，歸納出三角函數圖象變換的規律.

這里遵循了從簡單到復雜、從特殊到一般的探索思路.此外，當這三個參數一定時，函數的值域、周期和相位隨之而定，一旦三個參數A，ω，φ改變，函數的值域、周期和相位也相應改變.這里充分體現了變量與常量之間相互依存、相伴而生、相互制約，常量是相對的，變量是絕對的.

4 [JP4]注重知識應用，促使學生獲得“基本活動體驗”

三角函數，就像一座橋梁，將抽象的數學世界與豐富多彩的現實世界緊密相連.它不僅是數學知識的瑰寶，更是我們探索未知、解決實際問題的有力工具.新人教版必修第一冊“5.7三角函數的應用”，通過勻速圓周運動、簡諧振動和交變電流等例子，引導學生體驗如何用三角函數模型準確描述它們的運動變化規律.在具體課堂教學中，目前的情況是“學生覺得抽象，教師覺得講不講一個樣，即使教師和學生在此花費的精力不少，但收效甚微”[2].導致學生對三角函數知識的應用缺乏“基本活動體驗”.那么，如何優化本節內容的課堂教學呢？筆者舉例說明.

案例6（舊人教版必修4第61頁例3，新人教版必修第一冊第256頁第27題有改編）[HTSS]如圖3，設地球表面某地正午太陽高度角為θ，δ為此時太陽直射緯度，φ為該地的緯度值，那么這三個量之間的關系是θ=90°－|φ－δ|.當地夏半年δ取正值，冬半年δ取負值.

如果在北京地區（緯度數約為北緯40°）的一幢高為h0的樓房北面蓋一新樓，要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋，兩樓的距離不應小于多少？

以上案例比較抽象，學生往往不知如何下手.導致學生認知障礙的原因有：問題背景比較復雜、不理解基本術語，提煉不出問題當中數量之間的關系，不知如何建構函數模型.針對以上情況，可以嘗試將問題進行有效分解，設計成具有一定梯度的問題，讓學生拾級而上，引起積極的體驗態度，從而建立起迎難而上的勇氣，達到解決問題的目的.

第一梯度是相關的地理知識，如基本術語經度、緯度.

第二梯度通過幾何畫板等技術畫出圖4，由實際問題直接抽象出與三角函數有關的簡單函數模型.

第三梯度運用模型解決問題.為了激發學生的興趣，學以致用，教學中教師可以在這道題的基礎上進行拓展.例如：“如果前面的樓房距你家要買的樓房15 m，兩幢樓的高都是21 m，每層樓高3 m，為了使正午的太陽全年不被遮擋，你應該挑選哪幾層的房子？”

通過這樣層層剖析，數形結合，輔之以適當的變式，促使學生感悟數學和生活緊密相連，在注重知識應用的同時，獲得“基本活動體驗”.

知識、能力與思想品質構成了一個三維空間.這個三維結構簡要地展示了一個人發展構成的核心要素.那么，要在數學課堂教學中建構這個三維空間，就需要我們切實注重知識的整體把握、知識的生成、辯證的思考等，在知識的運用中提高學生分析解決問題的能力，磨煉學生堅強的意志，有意識地以“四基”為指導，優化課堂教學，這樣可以讓學生在數學學習過程中逐步形成嚴謹的思維方式、分析解決問題的能力、創新精神、主動發展的個性品質，從而為可持續性發展奠定堅實的基礎.

參考文獻：

[1]章建躍.章建躍數學教育隨想錄（下卷）[M].杭州：浙江教育出版社，2017.

[2]陳名樹.化解函數認知障礙的教學策略[J].中學數學教學參考，2023（3）：1-3.