案例驅動的高中數學建模教學實踐探索

1 真題再現及分析[KH-1]

某校興趣小組在如圖1所示的矩形區域ABCD內舉行機器人攔截挑戰賽，在E處按EP方向釋放機器人甲，同時在A處按AQ方向釋放機器人乙，設機器人乙在M處成功攔截機器人甲，兩機器人停止運動.若點M在矩形區域ABCD內（包含邊界），則挑戰成功，否則挑戰失敗.已知AB=8米，E為AB中點，比賽中兩機器人均以勻速直線運動方式行進，記EP與EB的夾角為θ（0lt;θlt;π），AQ與AB的夾角為α0lt;αlt;π/2.若兩機器人運動方向的夾角為π/3，AD足夠長，機器人乙挑戰成功，求兩機器人運動路程和的最大值.

1.1 高中數學建模教學元素分析

此案例包含幾何、函數、向量及運動學中的勻速直線運動等要素.在矩形區域ABCD中，兩機器人均以特定方向和速度行進，并通過幾何關系和向量計算確定攔截點M的位置與條件.該問題涉及角度、路徑和距離的最優化，體現了數學建模中的構建模型、建立數學表達式、優化求解和驗證模型的過程.

1.2 數學建模素養培養過程

（1）問題理解與建模背景分析

教師引導：教師首先通過圖形展示，并解釋題目的背景，讓學生了解實際問題中的情境.接著提出：“在這個機器人攔截問題中，如何根據給定條件建立一個數學模型？我們需要解決哪些核心問題？”

學生討論：學生通過分析問題，初步提出方向，比如尋找兩機器人的運動路徑、計算夾角、路徑長度等.學生可能會提出“攔截點的條件是什么？怎樣通過角度關系和速度找到最大路徑和？”這樣的疑問.

（2）構建數學模型

教師引導：教師繼續指導學生運用向量知識建立數學模型，根據運動路徑建立方程，利用幾何、三角關系設定夾角和距離約束條件.引導學生使用向量運算來描述兩機器人的運動路徑，進而求解其路徑交點和兩點的總路程.

學生實踐：學生通過幾何圖形和向量公式，逐步建立兩機器人的運動方程，并分析夾角和路徑的關系.學生嘗試使用正、余弦定理處理角度與距離的關系.

（3）模型求解與優化

教師啟發：教師鼓勵學生探討如何在給定條件下找到兩機器人路程和的最大值.引導學生從極值的角度分析，如何通過調整參數（如θ和α）求得最大值.教師反問在哪種情況下“兩機器人路程和出現最大值？角度和路徑之間存在怎樣的最優關系？”

學生計算：學生通過求導等方法，計算機器人運動的極值，并嘗試找到在幾何約束條件下的最優解.

（4）結果驗證與反思

教師總結：教師總結學生的解題過程，幫助學生檢驗模型的合理性，并引導學生反思整個過程的步驟、選擇及可能的改進點.問題的實際意義和模型的簡化假設也應進行討論，比如均速、邊界問題等.

學生反饋：學生對建模的過程提出反饋，討論其他可能的模型改進或算法優化，如路徑選擇的變換等.

1.3 "培養目標

通過此案例，培養學生從實際問題出發，抽象出數學問題，并建立合理模型的能力；學生學會通過數學表達式與方程推導出最大值或最優解，能夠在復雜情境下進行優化；培養學生利用數學工具解決實際問題的意識，提高綜合運用幾何與函數等多種知識解決問題的能力.

解析：如圖2，在△AME中，有AM²+EM²－2AM·EM5cos∠AME=AE²，即AM²+EM²－AM·EM=（AM+EM）²－3AM·EM=16，由此可得（AM+EM）²－3AM·EM=16≥（AM+EM）²/4，當且僅當AM=EM=4時等號成立，故AM+EM≤8，即兩機器人運動路程和的最大值為8.

2 立足新教材的案例分析

2.1 案例背景

選擇一個與“最優路徑問題”相關的案例：假設一名學生需要從家到學校，途中有多個可能的路徑.通過數學建模，學生需要找出最短的行走路徑，并考慮交通狀況和時間因素.此案例結合高中數學新教材中的函數、幾何和不等式等內容，適合培養學生的建模思維.

2.2 教學過程

（1）問題導入

教師：[JP3]同學們，今天我們來探討一個生活中的問題.假設你們每天上學，從家到學校，有很多條不同的路徑可供選擇.怎樣才能找到最優路徑，既省時又省力呢？

學生：可以通過地圖查看每條路徑的長度，然后選擇最短的那條.

（2）建立模型

教師：很好！我們可以利用數學知識來建立一個模型.首先，請大家繪制出家和學校的地圖，并標出所有可行的路徑.接下來，如何表示每條路徑的長度呢？

學生：我們可以用直線段表示每條路徑，計算每段的長度，然后相加.

教師：那么請討論一下，如果考慮到交通情況，比如某條路徑在高峰期經常堵車，你們會怎么處理？

學生：我們可以在路徑長度的基礎上增加一個交通系數，表示這條路的擁堵情況.

（3）模型求解

教師：非常好！現在，請大家利用繪制的地圖和增加的交通系數，列出每條路徑的函數關系，并計算出相應的實際“時間成本”.這樣，我們就可以找出最短路徑了.（學生開始計算路徑，討論交通系數的影響.）

學生：我們發現，盡管路徑A比路徑B短，但是由于交通情況，路徑B的時間成本實際上更低.

（4）結果分析

教師：很好，大家都找到了最優路徑.那么，請各組分享你們的結果和分析.

學生1：我們發現選擇路徑C在早高峰期間雖然更長，但因為沒有交通堵塞，總時間更短.

學生2：我們團隊通過比較，得出選擇路徑D的成本最低，盡管它不是最短路徑.

教師：非常好！這反映了“最短路徑”并不一定是“最佳路徑”.我們在建模時不僅要考慮距離，還要綜合考慮其他影響因素.

（5）反思與總結

教師：通過這個案例，大家有沒有體會到數學建模的價值？

學生：我覺得建模幫助我們更系統地分析問題，考慮到多種因素，做出更合理的選擇.

教師：沒錯！這正是新教材中強調的“數學應用意識”.在實際生活中，面對復雜問題時，我們需要將數學知識與現實結合，進行有效的分析和判斷.

2.3 案例驅動建模的成效分析

通過這個案例驅動的教學過程，學生不僅學習了如何建立和求解數學模型，還提高了綜合運用數學知識解決實際問題的能力.案例的設計讓學生從生活中提取問題，建立模型，并進行深入分析，使數學學習不再抽象，而是與現實緊密相連.整個過程中，學生通過互動交流，培養了團隊合作和溝通能力，也增強了他們對數學建模的興趣和信心.

3 高中數學建模素養培育策略

3.1 基于真實情境的案例設計

在高中數學建模教學中，案例的設計應緊密圍繞學生的生活經驗和社會實際，以增強學生的參與感和興趣.選擇與校園生活密切相關的案例，如校車調度、校園資源分配或學生社團活動安排，能夠激發學生的學習動機.這些情境不僅讓學生認識到數學在實際生活中的應用，還能提高他們解決現實問題的能力.

3.2 多元化的建模工具與方法

在數學建模教學中，教師應鼓勵學生使用多種工具和方法進行建模與求解，以培養他們靈活運用知識的能力.教師可以在課堂上介紹常見的數學建模工具和基本操作演示.通過這種方式，學生能夠在建模過程中自由選擇適合的工具，增強他們的實踐能力.

3.3 注重過程性評價與反饋

過程性評價在數學建模教學中占據重要地位，有助于促進學生的學習和反思.教師應在建模的各個階段給予學生及時的反饋，以幫助他們識別問題、調整思路.與傳統的結果導向不同，過程性評價更注重學生在建模過程中的表現和思考，鼓勵他們在每個階段進行反思和總結.

通過這種過程性評價與反饋機制，學生能夠不斷調整自己的策略和思路，在實踐中不斷成長，進而提升其數學建模素養.