巧借導(dǎo)數(shù)工具，妙解函數(shù)零點(diǎn)

摘要：借助導(dǎo)數(shù)這一基本工具分析與解決一些函數(shù)中的零點(diǎn)以及相應(yīng)的問題，是新高考數(shù)學(xué)試卷中比較常見的一類綜合應(yīng)用問題.結(jié)合常見考查類型，以函數(shù)零點(diǎn)為場景，導(dǎo)數(shù)為工具，從函數(shù)零點(diǎn)存在定理入手，合理構(gòu)建新函數(shù)，綜合極限思維等方式加以綜合分析與處理，形成思維習(xí)慣，養(yǎng)成良好品質(zhì)，有效指導(dǎo)解題研究與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；函數(shù)；零點(diǎn)；不等式

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，可以用來分析與解決高中階段的很多綜合問題，成為解決數(shù)學(xué)問題的一個(gè)基本工具.而在解決一些復(fù)雜的函數(shù)零點(diǎn)及其綜合性問題時(shí)，經(jīng)常也離不開函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，巧妙借助導(dǎo)數(shù)法來轉(zhuǎn)化分析與合理解決，是突破考生學(xué)習(xí)難點(diǎn)與瓶頸的一個(gè)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn).

1 判斷（證明）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題

點(diǎn)評：利用導(dǎo)數(shù)法分析與判斷（或證明）相關(guān)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題時(shí)，經(jīng)常采用以下兩種方法.（1）構(gòu)造函數(shù)g（x）（其中g(shù)′（x）易求，且g′（x）=0可解），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的基本性質(zhì)（主要是單調(diào)性），結(jié)合函數(shù)g（x）的圖象，得以直觀判斷相應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，先確定函數(shù)在給定區(qū)間上有零點(diǎn)的條件，再結(jié)合圖象與性質(zhì)確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

2 根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)問題

點(diǎn)評：根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況確定相關(guān)參數(shù)的取值范圍問題的常見技巧方法——（1）將函數(shù)中的參數(shù)λ與變量x分離，得λ=g（x），轉(zhuǎn)化為研究方程λ=g（x）根的個(gè)數(shù)問題，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的最值或值域，結(jié)合圖象，根據(jù)直線y=λ與函數(shù)g（x）的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定參數(shù)λ的取值范圍；（2）直接研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性與極值情況，必要時(shí)分類討論，同時(shí)結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理以及其他條件合理建立相應(yīng)的不等式（組）求解；（3）化“數(shù)”為“形”，借助兩個(gè)基本初等函數(shù)圖象的位置關(guān)系與特征，再根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)一步構(gòu)建不等式求解.

3 與函數(shù)的零點(diǎn)有關(guān)的不等式證明問題

在利用導(dǎo)數(shù)工具解決函數(shù)的零點(diǎn)問題時(shí)，場景復(fù)雜，變化多端，結(jié)合具體問題，采取適當(dāng)措施，抓住“一個(gè)定理（函數(shù)零點(diǎn)存在定理）”加以試探，構(gòu)造“一個(gè)函數(shù)（結(jié)合恒等變形后對應(yīng)的一個(gè)新函數(shù)）”加以轉(zhuǎn)化，借助“一個(gè)性質(zhì)（函數(shù)的單調(diào)性）”加以應(yīng)用，從而巧妙實(shí)現(xiàn)函數(shù)中相關(guān)零點(diǎn)的場景創(chuàng)設(shè)及其綜合應(yīng)用問題，得以化歸與轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)問題的突破與解決.