例析數形結合直觀突破向量模長最值問題

摘要：數形結合思想非常契合于解決平面向量這一同時兼備“數”與“形”的數學問題.通過平面向量的模長最值（或取值范圍等）問題的不同類型，結合實例剖析，就數形結合思想的應用加以分析，總結解題規律與技巧策略，幫助考生進行復習備考.

關鍵詞：數形結合；平面向量；模；最值

數形結合思想是實現數學對象中“數”與“形”兩者巧妙結合與轉化的一種基本數學思想方法，而平面向量自身同時兼備“數”與“形”的基本屬性，因而數形結合思想在平面向量問題中的應用顯得非常自然.數形結合思想成為解決平面向量問題中一種非常巧妙的思維方式.

1 單一向量的模長最值問題

點評：借助題設中的平面向量的概念、線性運算、數量積以及模長等信息，合理構建幾何模型，在幾何直觀下確定動點的軌跡，為進一步數形結合確定向量的模長最值（或取值范圍等）問題提供條件.數形結合可以有效挖掘題中平面向量的代數與幾何等方面的信息內涵，為問題的直觀處理奠定基礎.

2 多個向量線性關系的模長最值問題

點評：從平面向量的幾何特征入手，通過數形結合加以直觀想象，從平面幾何特征層面來研究與平面向量模長最值的相關問題.這里結合平面向量的數量積的幾何意義，從射影、垂直等幾何視角來直觀處理，利用幾何圖形直觀，結合“動”態變化規律來解決“靜”態的最值問題.

3 多個向量模長的線性關系最值問題

點評：此題是一道平面向量的綜合問題，借助有關平面向量的模恒成立的不等式來巧妙創新設置，從平面幾何視角隱蔽創設平面向量之間的位置關系，為進一步的分析與破解提供條件.借助平面向量的“形”的幾何特征，數形結合，直觀形象來分析與確定，從而破解起來更加直觀.

4 創新定義下的模長最值問題

點評：此題是以平面向量為背景，結合平面向量的位置關系、模、數量積以及投影等相關知識，交匯函數的最值問題，借助創新定義來巧妙設置，探討多元函數的最值問題.抓住創新定義的實質，數形結合建立平面幾何模型，圖形直觀分析，更加具體，更加直接，易懂易操作.

基于此，借助數形結合思想來處理平面向量中的一些相關問題，特別是解決與平面向量的模長范圍（或最值）問題，成為培養數學直觀想象素養的一種重要場所.依托平面向量中“數”與“形”的有機結合與巧妙轉化，給問題的解決開拓一個更加巧妙的視角，對問題的解決、能力的提升以及素養的培養等都是十分有益的.