一道九省聯(lián)考離心率試題的探究

圓錐曲線（橢圓或雙曲線）離心率的求值或最值（或取值范圍）問題，往往可以很好融合平面幾何、解三角形以及平面向量等內(nèi)容，交匯函數(shù)、方程、不等式以及三角函數(shù)等代數(shù)變量，契合“在知識交匯點處命題”的理念；同時又是多種數(shù)學(xué)思維方式與技巧方法應(yīng)用的重要場景，是各類模擬考試與高考試卷中的熱點問題，備受各方關(guān)注.

1 考題呈現(xiàn)

本題主要考查雙曲線的方程與幾何性質(zhì)，涉及離心率的求解，需要從雙曲線的定義出發(fā)進行分析，綜合平面幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征，以及平面向量的數(shù)量積等相關(guān)知識，對直觀想象能力與數(shù)學(xué)運算能力等方面有一定的要求.

2 試題破解

2.1 解三角形思維

解后反思：解決此類涉及平面解析幾何中的平面幾何圖形的關(guān)系特征問題時，往往離不開解三角形思維的應(yīng)用，綜合正弦定理、余弦定理以及三角形的其他相關(guān)知識來分析與處理，建立對應(yīng)參數(shù)之間的關(guān)系，為進一步求解平面解析幾何問題提供條件.在具體的平面幾何圖形中，不同思維視角的切入，往往有不同的技巧方法，解題的關(guān)鍵就是在一個具體的三角形中來構(gòu)建相應(yīng)邊與角之間的關(guān)系.

2.2 焦點三角形思維

解后反思：在解決與圓錐曲線的焦點三角形相關(guān)的綜合問題時，合理運用焦點三角形面積公式，會使得一些看似與面積無關(guān)的問題迎刃而解，大大降低數(shù)學(xué)運算成本，優(yōu)化解題過程，起到事半功倍之效.焦點三角形的面積公式作為一個“二級結(jié)論”，綜合運用了解三角形中相關(guān)定理與公式，以及圓錐曲線的定義等知識，在解決一些與之相關(guān)的綜合問題時，可以使得問題的突破更加巧妙，處理起來更加快捷.

2.3 焦半徑思維

解后反思：根據(jù)圓錐曲線的焦半徑公式，可以建立相應(yīng)的焦半徑與圓錐曲線上的點的坐標之間的關(guān)系式，進而利用代數(shù)思維加以合理數(shù)學(xué)運算，實現(xiàn)問題的分析與求解.利用圓錐曲線的焦半徑公式解題時，要注意對應(yīng)圓錐曲線上的點的位置與對應(yīng)的焦點之間的關(guān)系，正確應(yīng)用對應(yīng)的公式，不能混淆.在實際解題過程中，我們可經(jīng)常借助圓錐曲線上的點的坐標的巧妙設(shè)置，進行“設(shè)而不求”轉(zhuǎn)化處理.

2.4 估算思維

解后反思：回歸平面向量的數(shù)量積條件與線段長度的關(guān)系，經(jīng)常采用平面向量中的極化恒等式來巧妙轉(zhuǎn)化與合理變形，是解決與數(shù)量積有關(guān)的綜合問題中比較常用的一種技巧方法.這里采用估計思維，結(jié)合選項中的數(shù)值信息加以正確分析與判斷，給問題的分析與解決提供一種全新的巧妙思維.

3 變式拓展

解題之余，反復(fù)研究，必有所得.保留題設(shè)場景，合理改變原來題中對應(yīng)的條件來進一步巧妙設(shè)置，得以創(chuàng)設(shè)相應(yīng)的變式問題.

4 教學(xué)啟示

在解決圓錐曲線的綜合應(yīng)用問題時，特別是涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及其綜合應(yīng)用問題時，基本的解題技巧與方法如下：

（1）依托平面幾何思維，數(shù)形結(jié)合，直觀分析處理.立足圓錐曲線的應(yīng)用場景，結(jié)合平面幾何、平面向量以及解三角形等相關(guān)知識加以數(shù)形結(jié)合與直觀應(yīng)用，實現(xiàn)問題的直觀求解與應(yīng)用.

（2）依托函數(shù)與方程思維，代數(shù)應(yīng)用，數(shù)學(xué)運算處理.利用點的坐標、直線與圓錐曲線方程等的關(guān)系，建立方程或方程組，構(gòu)建公式并加以代數(shù)轉(zhuǎn)化，通過數(shù)學(xué)運算來分析與求解.

（3）依托基本性質(zhì)思維，性質(zhì)應(yīng)用，“巧技妙解”處理.此數(shù)學(xué)思維方式主要適用于一些小題（選擇題或填空題），利用一些圓錐曲線的基本性質(zhì)所對應(yīng)的“二級結(jié)論”，簡單快捷地處理一些基本應(yīng)用問題.

其實，在實際解答圓錐曲線的綜合應(yīng)用問題中，可以綜合該模塊知識的特點與內(nèi)涵，從多個思維視角層面切入與應(yīng)用，全面提升“四基”“四能”的落實與培養(yǎng)，養(yǎng)成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).