一道二模試卷中代數式最值試題的探究

摘要：涉及平面解析幾何場景下的代數式的最值（或取值范圍）問題，是高考試卷中的一個創新點與難點所在，常考常新，變化多樣.結合一道代數式最值問題的求解，挖掘代數式的結構，從不同思維視角切入，借助不同技巧方法解決，開拓學生的解題思路，指導數學教學與解題研究.

關鍵詞：解幾；最值；圓；余弦定理；柯西不等式

平面解析幾何場景下的代數式的最值（或取值范圍）問題，通常是模擬考試、高考、自主招生以及競賽等考試數學命題中的一個熱點與難點，各類題型都可以創新設置，命題角度廣，內涵豐富，備受命題者青睞.同時，平面解析幾何場景下的代數式的最值（或取值范圍）問題，形式多變，創新新穎，花樣翻新，難度較高，但其基本解題思路與技巧方法仍然有章可循，有法可依.

1 問題呈現

此題以圓的方程為問題背景，利用圓上的一動點P（x，y）所滿足的代數式（一次式與根式的復合）來創設，進而求解對應代數式的最大值.問題簡單明了，但內涵豐富，如何合理切入成為解決問題的關鍵.

合理挖掘根式的結構特征，可以從根式的幾何意義入手，利用平面解析幾何中的兩點間的距離公式來轉化與應用；也可以從根式的特征入手，轉化為不等式的形式，利用重要不等式的性質來合理放縮與轉化.而在實際解決問題時，要合理深入挖掘與優化拓展，從而實現巧妙解題與應用.

2 問題破解

2.1 解三角形思維

點評：通過所求代數式的結構特征，由根式聯想到平面解析幾何中的兩點間的距離公式，借助圓的方程進行常數代數處理，巧妙配方，分別將兩個根式構建為定圓上的動點到兩相應定點間的距離問題，給問題的解決奠定基礎.而求解平面解析幾何中的兩線段長度之和的最值問題，可以借助解三角形思維，通過直觀的圖形，利用余弦定理或正弦定理這兩種的視角切入加以應用，進而求解對應的最值問題.通過合理的數形結合與巧妙的直觀想象，從而實現問題的突破與求解.

2.2 不等式思維

點評：根據所求代數式的結構特征，吻合柯西不等式的變形式a+b≤（1+1）（a+b），進而借助柯西不等式來合理放縮處理，同時進一步結合圓x²+y²=25上動點所對應的變量的取值限制－5≤x≤5來放縮，達到求解與應用的目的.多次利用不等式的基本性質來放縮處理時，一定要注意多次放縮時等號成立的一致性，才能保證最值求解的正確性與嚴謹性.

2.3 對稱思維

點評：通過所求代數式的結構特征，合理變形轉化為圓上的一個動點到兩相應定點間的距離問題時，利用動點到兩定點的對稱性思維，數形結合，直觀想象確定動點位于兩定點構成的線段的中垂線上時，其取得最值，進而數形直觀來確定相應的最值問題.對稱思維是結合以上解三角形思維的特點，并結合特殊思維來直接確定，雖然缺乏一定的嚴謹性，但解題目標更加明確，效果更加良好.

3 教學啟示

涉及平面解析幾何場景下的代數式的最值（或取值范圍等）的綜合應用問題，借助“動”與“靜”的場景創設，具有一定的探索性與綜合性，是平面解析幾何與平面幾何、函數或方程、不等式、三角函數、平面向量等模塊知識合理交匯與融合的一個重要場所，成為全面落實“四基”與考查“四能”的一個基本考點.

特別，對于此類平面解析幾何場景下的代數式的最值（或取值范圍等）問題，合理抓住一些常見的典型問題，從題設條件入手，挖掘問題的內涵與實質，合理構建與之相關的參數或代數式所對應的不等式、代數式或幾何直觀模型等，巧妙變形與轉化，利用相應的技巧方法與策略來分析與處理，有時單種技巧策略分析，有時多種技巧策略綜合，實現綜合應用問題的巧妙解決.