巧思維展開，妙視角變式：一道解三角形題的探究

在新教材、新課程、新高考的“三新”背景中，解三角形是基于平面向量的一類基本應用問題，平面幾何的“形”與三角函數的“數”二者巧融合的一類數學綜合問題，可以巧妙融合初中、高中階段的數學基礎知識，交匯高中階段中的不同知識模塊之間的聯系，成為充分落實新課標中“在知識交匯點處命題”的命題指導思想的一個重要考點，備受各方關注.

1 問題呈現

此題以三角形為問題場景，借助三角形的角平分線所對應的長度，以及角平分線分對應邊所成的兩部分長度的關系來創設，由此確定三角形的幾何特征與性質，進而確定三角形的三內角的正弦值所對應的三角關系式的值.

在實際解決問題時，回歸解三角形問題的本質與內涵，可以從解三角形思維切入來分析與求解，是解決問題的一種“通性通法”；而借助所求三角函數關系式的值，可以從三角函數思維切入來解決，結合三角恒等變換公式來轉化與應用；結合三角形這一平面幾何圖形的直觀性，以及所求結果的定值這一性質特征，可以從特殊思維切入來巧妙突破，實現問題的“巧技妙解”.

2 問題破解

2.1 解三角形思維

點評：借助三角形的斯庫頓定理，利用邊長之間的關系來確定兩邊的乘積關系，為三角形的面積公式、余弦定理與正弦定理等的進一步應用創造條件.三角形的斯庫頓定理，是課外的一個拓展與提升，初中平面幾何教材中并沒有涉及，是一個非常特殊且用處較大的平面幾何基本定理.

2.2 三角函數思維

點評：借助三角函數關系式的求解結果，從解三角形中的正弦定理切入，利用積化和差公式、二倍角公式、誘導公式等對應的三角恒等變換來轉化與應用，實現三角函數關系式的求值與應用.利用三角恒等變換公式法來分析與處理時，邏輯推理比較復雜，思維方式比較難以把握.

2.3 特殊思維

點評：借助所求結果的確定性以及平面幾何圖形的特殊性，合理構建特殊平面幾何圖形，通過特殊法思維來分析與處理，給問題的分析與求解創造更加簡捷的方式，為快速處理此類問題奠定基礎.用特殊思維法解題時，要注重問題的基本特征，不能盲目特殊化處理，同時還要注意條件與結論之間的聯系與轉化.

3 變式拓展

3.1 一般化變式

3.2 類比性變式

合理借助解三角形中的三角形面積關系與面積公式加以巧妙轉化，綜合余弦定理的應用，實現線段長度的分析與求解.

4 教學啟示

4.1 “數”“形”融合，化歸轉化

解三角形綜合問題中，合理通過情境，巧妙創設初中、高中階段不同數學基礎知識之間的聯系，從而自然地融入數學思想方法與技巧策略等.

而在具體破解此類問題時，“數”與“形”的融合與應用都可以達到目的.實際解題時，經常可以借助解三角形中“數”的本質與內涵，有序進行數學運算；也可以借助解三角形中“形”的實質與回歸，巧妙直觀想象，合理化歸轉化.

4.2 回歸本質，拓展思維

在解三角形綜合問題中，借助解三角形、平面幾何等知識中相應的定理、公式等，有機實現三角形中對應邊與對應角的轉化與應用.同時合理回歸平面幾何圖形的直觀形象，數形結合來直觀處理與應用.

從問題中合理挖掘內涵，回歸問題的本質，借助解三角形問題的數學運算或直觀想象，實現初中、高中知識間的交匯與融合，特別是巧妙將相關的解三角形、三角函數、函數與方程等知識巧妙地滲透與融合進去，拓展數學思維方式與解題策略，實現解題過程的優化與創新應用.