直線過定點問題的解法探究

摘要：以直線與圓錐曲線的位置關系為載體，通過三種方法由淺入深地探索直線過定點問題的解法，并給出一般性的求解策略.

關鍵詞：圓錐曲線；定點；直線系；分離參數法

長期以來，解析幾何是高考的必考點，常以運算量大、過程繁瑣讓人望而生畏，尤其是考查變化中的不變量，對學生的觀察能力、運算技能和數學素養都提出了極高的要求.本文中以直線與圓錐曲線的位置關系為載體，探求解決直線過定點問題的基本思路，希望大家能觸類旁通，感悟這類經典題型的破解之道.

1 特殊引路，一般證明［1］

評注：[對于動直線是否過定點問題，可以先假設定點存在，通過圖形的對稱性猜測定點的大概位置，再由動直線在某個特殊位置找出定點的具體位置，最后利用斜率相等，得三點共線，從而證明動直線在一般情況下也過該定點.

2 利用點斜式方程確定定點

評注：引入參數后，先聯立直線與曲線的方程消元，再根據韋達定理消參，最后在直線的點斜式方程中獲取定點，此解法屬通解通法.

3 利用分離參數法探求定點

4 利用齊次化獲取定點

5 總結

通過以上探究，我們容易發現，直線系可以統一寫成更一般的形式，即

利用分離參數法探求定點時，一般可按如下步驟進行：

（1）選定參變量，設出直線方程；

（2）從已知條件中尋找各變量間的等量關系；

（3）聯立所得關系式與所設直線方程，分離參數后探求定點.

由于該求解思路具有一般性，因此本文為圓錐曲線中直線過定點問題提供了有力的參考依據和實用價值［2］.

參考文獻：

[1]尹偉云.一道直線過定點問題的解法探究、推廣及證明[J].中學生數理化（高二數學），2020（12）：36-38，40.

[2]尹偉云.圓錐曲線中一類直線過定點問題的探究[J].中學數學，2014（1）：23-24.