歸納類型，詮釋應用：基于復合函數的零點問題

復合函數的零點及其綜合應用問題，是基于函數與方程的基礎知識，結合函數的零點知識加以滲透，同時融合函數中的相關概念與綜合應用，充分體現了函數與方程思想、數形結合思想以及化歸與轉化思想等，能夠很好地考查化歸與轉化、數形結合、邏輯推理以及分析問題與解決問題的能力等，經常出現在選填壓軸試題當中，備受命題者親睞.本文中結合復合函數的零點問題的基本類型加以歸納，合理詮釋對應的解題技巧與方法，拋磚引玉.

1 af（x）型

點評：涉及“af（x）型”復合函數的零點問題，解題時往往基于函數y=f（x）的圖象與性質，結合換元t=f（x）加以合理變換，利用t的取值情況并結合函數y=f（x）的圖象與值域加以數形結合，通過直觀想象與分類討論思維來分析并解決有關問題，從而實現問題的突破與求解.

2 f［f（x=k或f［g（x=k型

點評：涉及“f［f（x=k或f［g（x=k型”復合函數的零點問題，解題時往往借助換元思維，令t=f（x）或t=g（x）進行變換，將問題轉化為f（t）=k的情況，利用函數y=f（x）的圖象與性質，并結合變量k的取值情況來分類討論與直觀想象，數形結合處理對應的復合函數零點問題.

3 f［f（x=x或f［g（x=x型

4 f［f（x+af（x）+b=0型

點評：涉及“f［f（x+af（x）+b=0型”復合函數的零點問題，經常借助換元思維，令t=f（x）進行變換，合理分拆，將此類涉及復合函數零點的方程問題轉化為y=f（t）與y=－at－b的圖象的交點問題，給問題的切入與應用創造更多的機會，借助數形結合、分類討論與直觀想象來分析與處理.

其實，解決復合函數的零點問題，無論問題類型如何變化，常常采用換元法來達到目的，通常將復合函數表達式中的某部分進行換元變換成t，從而將函數看成是由兩個簡單函數y=g（t）與函數t=f（x）復合而成，進而借助研究直線y=t與曲線y=f（x）的圖象解決相關問題.此類問題的解題思路較為固定，采用換元法，結合函數的圖象與性質加以直觀，利用研究直線與曲線的圖象的直觀性來靈活、形象地解決問題，以不變應萬變，掌握解題的模式化，實現解題的最優化.