一道新穎的向量數量積試題求解

作為平面向量模塊知識中最為重要的基本知識之一，平面向量數量積成為近年高考試卷中常見常新的基本考點之一.在實際求解平面向量數量積的綜合問題時，借助平面向量“數”與“形”的雙重屬性，抓住數量積自身或“數”的應用，或“形”的特征，并結合不同的應用場景，選擇相應的方法與解題策略來處理對應的問題，使得問題的解決更加合理、有效、可行、正確、快捷，達到“數”與“形”的緊密結合，以及知識與能力的有效融合.

1 問題呈現

此題以正三角形為問題場景，利用大正三角形內“套”小正三角形來構建平面幾何圖形，結合線段的比例關系來設置條件，進而確定對應平面向量的數量積.

在解題時，回歸平面向量“數”與“形”的雙重屬性，從“數”的視角切入，基底法；從“形”的視角切入，幾何法；從雙重屬性視角切入，坐標法主導.這些都是破解平面向量及其綜合應用問題中最為常用的基本技巧與方法.

2 問題破解

點評：合理選取平面向量的一組基底，借助平面向量的數量積公式及其應用來分析與求解，往往是解決此類問題的“通性通法”.選取基底時，關鍵在于確定對應基底向量的模以及基底間的夾角，合理通過平面向量的線性運算并結合數量積運算來分析與應用.在實際解題與應用過程中，平面向量中往往不同的基底組合的選取，對應不同的技巧方法.

點評：合理借助平面幾何圖形的直觀形象，結合平面幾何中的圖形直觀與幾何性質來綜合與應用，也是解決此類問題的一種基本技巧方法.回歸平面向量中“形”的結構特征，合理抓住平面幾何圖形的直觀，應用平面幾何的基本性質，綜合平面向量及其數量積的應用來分析與突破.平面向量中幾何法的應用，往往離不開平面幾何圖形的直觀，以及平面幾何中輔助線的構建與應用等.

點評：合理借助平面向量“數”與“形”的雙重屬性，以“形”的幾何特征，構建坐標系，引入坐標，通過“數”的運算來達到目的.坐標法的關鍵在于合理構建相應的平面直角坐標系，確定相應的坐標，為進一步的數學運算與邏輯推理創造條件.

3 變式拓展

3.1 一般拓展

對原問題進行一般拓展，也是問題的變式與應用的一個基本升華過程，可以將原問題進行合理的改編與變式，實現問題的多樣化與變式.

3.2 應用拓展

4 教學啟示

在實際解答平面向量數量積的求值與最值等綜合問題時，借助代數思維或幾何思維的應用，通過不同思維下的代數法與幾何法的應用，合理構建成一幅完美和諧統一的“畫卷”，成為新高考數學試卷命題中的一個創新點與熱點.

解決此類問題時，往往借助平面向量“數”與“形”的雙重屬性，抓住數量積自身或“數”的屬性，或“形”的幾何特征，結合不同的應用場景，選擇相應的方法與解題策略來處理對應的平面向量數量積問題.

“數”與“形”的不同視角，使得數量積綜合問題的求解與應用更加合理、有效、可行、正確、快捷，或從“數”來代數運算，或從“形”來直觀想象，也可以實現“數”與“形”的緊密結合，有效實現知識與能力的融合.