念奴嬌·直觀想象與空間思維

摘要：幾何體由點、線、面構成，點線面就是空間幾何形式的DNA.立體幾何是建立在形象化、邏輯化的公理化體系基礎上的，四個公理就是立體幾何大廈的基石，學生對幾何的入門學習，學好公理就是為建造幾何大廈奠基.基于公理，抓住是否共點，可以演繹出各種位置關系，高考的高頻考點之線面角與二面角也包含其中.情境、概念、判定、性質、應用構成立體幾何直觀形象和空間思維的基本路線和方針.基于情境和點、線、面，注重直觀想象和空間邏輯思維，空間規律倩麗多嬌.

關鍵詞：點線面;公理;直觀想象;空間思維

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》凝練了包括直觀想象素養的六大核心素養.恩格斯說“數學是研究現實世界數量關系和空間形式的科學”，空間形式占據了數學科學的半壁江山，并且任何數及數量關系都直接或間接地來源于豐富多彩的空間形式.直觀想象，是人類形象思維賴以邏輯思考的思想武器，以形象思維和直觀想象為基礎的邏輯推理成為人類重要的空間思維形式.學習平面幾何和立體幾何，認識和強化代數與幾何的有機結合關系，是發展學生直觀想象素養和空間思維能力的重要途徑.為了彰顯幾何科學的基本內容、特征與內部關系及育人價值，筆者模仿宋朝詞人蘇軾的《念奴嬌·赤壁懷古》填寫《念奴嬌·直觀想象與空間思維》一詞，并對該詞進行意譯性、綜合性的分析來展現幾何學的基本內涵和育人價值.

念奴嬌·赤壁懷古

宋·蘇軾

大江東去，浪淘盡，千古風流人物.

故壘西邊，人道是，三國周郎赤壁.

亂石穿空，驚濤拍岸，卷起千堆雪.

江山如畫，一時多少豪杰.

遙想公瑾當年，小喬初嫁了，雄姿英發.

羽扇綸巾，談笑間，檣櫓灰飛煙滅.

故國神游，多情應笑我，早生華發.

人生如夢，一樽還酹江月.

念奴嬌·直觀想象與空間思維

大千世界，點線面，空間幾何燦爛.

平面性質，公理建，立幾源泉玩轉.

是否共點，位置分辨，演繹多少熳.

平面斜線，二面交角麗艷.

思考線線平行，得線面平行，結論珠串.

線線垂直，思辯論，線面垂直偉岸.

逆向尋找，性質真不少，應用輝燦.

直觀想象，空間規律多倩.

大千世界，燦爛芬芳.用數學的眼光來觀察，抽象概括，世間有形物體本質上就是空間幾何體.分析（拆開來探索、分析、梳理），從宏觀到中觀再到微觀，就是從空間幾何體到平面到直線再到點，打破砂鍋問到底，探個究竟，分清來龍去脈.綜合（組裝、整合、表達），從微觀到中觀再到宏觀，從點到線到面再到空間幾何體，條件搭配，有理有據善于推理，形成真命題，遷移演繹應用.

1 點線面基因決定平面基本性質（公理）

基于現實情境，點組成線（點集），點組成面（點集），線組成面（線集），線面都是描述性概念，或叫做不定義性概念.平面的基本性質就是三個公理，直線上有兩點在平面內導致整條直線都在平面內，兩個不同平面存在一個公共點時必然相交于過這點的一條直線（延展必至），不共線三點確定一個平面（存在且唯一）.同一平面內不相交的兩條直線叫做平行直線，反之，兩條平行直線確定一個平面.平面內平行于同一直線的兩條直線相互平行，空間也如此（傳遞性），這就是平行公理.四個公理奠定幾何大廈，好好玩轉四個公理，撬動玩轉空間思維.

2 直線與平面位置關系的源與流

問渠哪得清如許，為有源頭活水來.基于四個公理，抓住是否共點，就可以辨析推理得出各種位置情景，演繹幾何倩麗.直線與平面若存在兩個公共點，直線就在平面內，就是直線上所有點都在平面內.反過來瞧呢？一顆老鼠屎攪壞一鍋湯，只要直線上有一個點不在平面內，就會導致直線不在平面內（直線上的點不全在平面內，直線在平面外）.再分兩類，如果直線上的所有點都不在平面內，即直線與平面沒有公共點，它們就永遠不可能相會，這是一種多么稀奇的情境，取個名字，就叫“平行”吧（給概念下定義）.

如果平面外的直線與平面有公共點，想象看（空間直覺思維），那也就是唯一的公共點，直線與平面有唯一公共點就稱直線與平面相交.

細作分辨，交也有交的不同，直線與平面相交的前提下，若直線與平面內任意直線都垂直（交點叫垂足），就叫做直線與平面相互垂直（找好立足點，為人要站直，品格要端正，做幾何題可以嘗試找垂線），線面垂直的定義、判定、性質與應用又延續不斷.

直線與平面相交但不垂直，直線相對于平面就有傾斜，干脆就把直線叫做平面的斜線，交點可是直線與平面唯一駐足的地方呀，就取個名字叫做斜足吧.相對于平面，直線歪了斜了，傾斜的程度各有不同，怎樣刻畫這種傾斜程度呢？在斜線上取一點（異于斜足）作平面的垂線，想象平行于垂線的光線照射到平面，垂足與斜足的連線就是斜線在平面的魅力影線，就把這條影線取名叫做直線在平面上的射影（投影），斜線與射影所成的銳角就叫斜線與平面所成的角，這個角刻畫了斜線相對于平面的傾斜程度，就取個名字叫做直線的傾斜角（演繹出線面角概念）.

3 平面與平面位置關系的生發過程

兩個平面呢？如果存在不共線的三個公共點，它們就重合（公理應用），否則就不重合.看看現實，想想公理，兩個不同平面如果有公共點，兩平面就相交，相交就產生了交線和半平面，二面角及其平面角運應而生，再演繹得出平面與平面垂直的定義、判定、性質和應用.線面角與二面角，生發出位置判定與度量計算的空間思維精彩，高考百考不厭，命題專家年年創生直觀思維與邏輯計算的多彩題鏈.

4 空間位置的基本內涵

線線之間、線面之間、面面之間的平行和垂直，是立體幾何中兩種最基本最重要的位置關系，其他位置關系往往需要化歸轉化為平行和或垂直來處理，即使是球與多面體的切接問題也需化歸為垂直、相交與平行來處理.

以小見大說個例子.平面α外的一條直線a與平面α內的一條直線b相互平行（線線平行），直覺發現直a線與平面α是平行的.還須進行邏輯思辯，假設a與α有公共點A，就在平面α內過A作直線c與直線b平行，由平行公理推知a與c必平行，這與a和c有公共點A相矛盾，因此a與α沒有公共點，a與α平行就是必然.以線面平行為條件，探究可以發現命題一串串，證明正確后成為性質（二級結論），之后使用起來特別方便.

直線與直線的位置關系，直線與平面的平行、垂直與相交的定義、判定、性質和應用，平面與平面平行、垂直、相交的定義、判定、性質和應用，仔細探究可以獲得基本而豐實的結論.

旋轉體的問題經過分析轉化，最終也要化歸為點線面問題來處理.

從現實情境和問題情境中來，到實踐情境和問題情境中去.有了幾何概念的定義和判定，逆向思考有了幾何性質的發現和表征，從而一步步地豐富了幾何規律，成為寶貴的幾何資源，綜合起來，融會貫通，應用廣泛.

5 直觀想象與空間思維：幾何學習的過程與歸宿

學習立體幾何，形象與思辨相生相伴.需要直觀想象，可以想當然，直覺判斷，但必須思辨確認，思考嚴謹，避免誤判，可謂大膽猜想、小心求證.

華羅庚先生說“數缺形時少直觀，形少數時難入微”，數量關系與空間形式從來就不分家，數形結合是重要的數學思想，從圖形、空間形式中去發現數量關系，用數量、數量關系研究空間形式，使得對空間形式的研究更加準確和嚴謹.

立體幾何的學習和探究活動，通常需要看出來、想出來、證出來、用起來.還經常會遇到一些“高難”的問題，要大膽探究和思考，辨出來、推出來、驗出來.

直觀想象與空間思維，是立體幾何的命根和靈魂所在.我們學習并善于直觀想象，發現問題、提出問題、分析問題和解決問題.我們學習并善于空間思維，注重空間情境中的邏輯推理，分析問題和解決問題.一句話，直觀想象，空間思維，空間規律倩麗多嬌.這就可以使得我們的空間知識結構和空間認知結構越來越結構化、“可視化”、邏輯化、清晰化，使用起來也就越自由化、和諧化.