初中數學圓中最值問題解題技巧的探究

【摘要】在初中數學教學中，與圓有關的最值問題是重要的學習內容，不僅考驗學生對幾何形狀的理解，還鍛煉學生的解題技巧和邏輯推理能力.解決這類問題，需要掌握一些基本的幾何知識和求解方法，以便有效地分析和解決問題.本文探討初中數學中涉及圓中最值問題的解題技巧，通過分析構造輔助圓、利用軸對稱性和構建三角形的三邊不等關系這三種常見的解題方法，幫助學生更好地理解和應對圓形幾何問題中的最值求解過程.

【關鍵詞】圓；最值；構造輔助圓；解題技巧

1構造輔助圓轉化求最值

在解決初中數學圓中最值問題時，構造輔助圓是一種常用且有效的解題技巧.通過引入一個與原圓相關的輔助圓，可以簡化問題的復雜性，使得最值求解過程更加直觀和易于處理.

例1如圖1，△ABC中，AC=3，BC=42，∠ACB=45°，AM∥BC，點P在射線AM上運動，連接BP交△APC的外接圓于點D，則AD的最小值為（）

解析如圖2，連接CD.首先證明∠BDC=135°，由此推出點D在以O為圓心，OB為半徑的BC上運動，連接OA交BC于點D′，此時AD""′的值最小.

因為AM∥BC，所以∠MAC=∠ACB=45°，所以∠CDP=∠CAP=45°，∠BDC=135°.

所以點D在以O為圓心，OB為半徑的BC上運動（△BOC是等腰直角三角形，∠BOC=90°，OC=OB=4），連接OA交BC于點D′，此時AD""′的值最小.

因為∠ACB=45°，∠COB=45°，所以∠ACO=90°，由勾股定理得OA=5，AD′=OA-OD′=5-4=1，故AD""′的最小值為1.

點評本題屬于中考填空題中的壓軸題，考查三角形的外接圓與外心、平行線的性質、圓周角定理、勾股定理，點與圓的位置關系等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造輔助圓解決問題，學會用轉化的思想思考問題.

2利用軸對稱性轉化求最值

圓形具有軸對稱性，這種特性在解決圓的最值問題中尤為有用.通過利用圓心和軸對稱的特點，可以簡化問題的幾何分析過程，找到最值點或最值結果.

例2如圖3，已知圓O的半徑為R，C、D在直徑AB的同側半圓上，∠AOC=96°，∠BOD=36°，動點P在直徑AB上，則CP+PD的最小值是（）

（A）2R.（B）3R.（C）2R.（D）R.

解析首先要確定點P的位置，作點C關于直線AB的對稱點C′，連接C′D，交圓O于點P′，則點P即為所求作的點．且此CP+PD的最小值為C′D.

作點C關于直線AB的對稱點C′，連接C′D，OC′，根據題意以及垂徑定理，得C′D的度數是120°，則∠C′OD=120°.作OE⊥C′D于點E，則∠DOE=60°，則DE=3/2R，C′D=3R.故選（B）.

點評此類題只要能夠正確確定點P的位置．此題綜合運用了垂徑定理、勾股定理進行計算.

3構建三角形的三邊不等關系求最值

在復雜的圓形幾何問題中，可以利用三角形的三邊不等關系求解最值.通過分析構建的三角形和三邊，推導出最大或最小值的情況.

例3如圖4，點O為原點，圓O的半徑為1，點A的坐標為（2，0），動點B在圓O上，以AB為邊作等邊△ABC（順時針），則線段OC的最小值為（）

解析連接OB，以OB為邊作等邊△BOE，因為△ABC，△BOE都是等邊三角形，所以BC=AB，OB=BE，∠ABC=∠EBO=60°，∠CBO=∠EBA，所以△BCO≌△BAE（SAS），所以OC=AE，在△AOE中，AE≥OA-OE=1，所以當點E在線段AO上時，AE的最小值為1，所以OC的最小值為1.

點評本題考查了旋轉的性質、等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質、三角形三邊關系等知識，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵.

4結語

本文深入分析了初中數學中關于圓的最值問題的解題技巧.構造輔助圓、利用軸對稱性和利用三角形的三邊不等關系，這三種方法為學生解決圓形幾何問題提供了有效的工具和思路，不僅幫助學生理解和掌握數學概念，還培養了他們的邏輯推理能力和解決問題的能力.

參考文獻：

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