APOS理論下的初中數學幾何模型教學設計研究

【摘要】APOS理論是指針對數學認知研究的一種理論框架，它將數學學習拆解為活動（Action）、過程（Process）、對象（Object）、圖式（Schema）這四個階段.初中數學幾何模型作為數學學科中的重要內容之一，通過引入APOS理論進行教學設計研究能夠有效地促進學生對幾何模型的學習和理解.幾何模型可以幫助學生建立準確的幾何概念、增強空間想象能力，并培養分析與解決問題的能力.本文旨在探索初中數學幾何模型教學設計在APOS理論框架下的教學策略，以提升學生的數學認知能力和幾何思維水平.

【關鍵詞】APOS理論；初中數學；教學設計

初中數學幾何作為數學內容的重要組成部分，對學生的邏輯思維能力、空間想象能力和問題解決能力有著重要的培養作用.而APOS理論作為一種學習理論，對于引導學生深入理解和運用數學概念具有重要意義.因此，研究APOS理論在初中數學幾何模型教學設計中的應用，不僅可以促進學生培養數學學習興趣，還可以提高他們的數學學習成績和綜合能力，具有重要的理論與實踐意義.

1APOS理論下的幾何模型思維建構

在初中數學的教學過程中，APOS理論為教育者提供了一個重要的認知工具.該理論將學習者對數學概念的認知過程劃分為四個階段：活動（Action），過程（Process），對象（Object），圖式（Schema）[1].在這一認知框架下，教育者需要引導學生進行從感性認識到符號化認知的過渡，幫助他們建立數學幾何模型的思維結構.通過創設多元化的教學情境，激發學生的興趣和動機，促使其逐步提升認知層次，建構數學幾何的思維模型.這不僅有助于學生深入理解數學概念，還能培養其創造性思維和問題解決能力，促進數學學習的有效進行.

幾何模型思維建構是指學生通過構建具體的幾何模型理解和探索幾何概念.這種思維方式追求將抽象的數學概念轉化為可視化、觸覺化的形式，以幫助學生更好地理解和運用幾何知識[2].在APOS理論的指導下，幾何模型思維建構包括以下幾個階段.

活動（Action）：在這個階段，學生通過實際操縱物體或使用幾何工具構建幾何模型.通過觀察和感受，學生可以直觀地認識幾何形狀和其屬性.

例如在學習三角形的概念時，學生可以使用三條邊構造一個實際的三角形模型，感受其邊長、角度等特征.通過這樣的實際操作，學生可以建立起對幾何概念的初步印象.

過程（Process）：在這個階段，學生開始將物質模型轉化為圖象.他們可以使用幾何軟件或手繪圖形來表示幾何形狀.通過將實際模型轉化為平面圖象，學生可以更加方便地觀察和分析幾何屬性.

例如，在學習平行線和垂直線的性質時，學生可以通過繪制線段和直線，在平面上模擬出這些關系，并通過觀察圖象理解它們的特點.

對象（Object）：在這個階段，學生開始使用符號系統來表示幾何概念.他們可以使用幾何術語、符號和公式來描述幾何屬性和關系.通過將幾何概念轉化為符號形式，學生可以更深入地分析和推理幾何問題.

例如在學習三角形的相似性時，學生可以使用符號表示邊長比例和角度關系，用數值和代數表達式來描述這些幾何屬性.

圖式（Schema）：在這個階段，學生開始運用幾何概念進行推導和證明.他們可以使用已經建構好的幾何模型、圖象和符號來解決幾何問題.通過操作和推理幾何圖象，學生可以深入理解幾何概念的內在本質和邏輯關系.

例如在解決三角形相似性的問題時，學生可以運用角度相等和邊長比例的性質進行推導，從而得到正確的結論.

通過APOS理論下的幾何模型思維建構，學生可以逐漸建立豐富而深入的幾何知識體系.幾何模型思維建構為學生提供了一種直觀而深刻的幾何學習方式，通過具體的模型構建和符號運用，學生可以更好地理解和應用幾何概念.這種思維方式不僅有助于學生的幾何學習，而且培養了他們的空間想象力、分析能力和推理能力，為他們未來的數學學習打下堅實的基礎.

2初中數學幾何模型教學設計的重要因素

首先，定義和屬性的引入.在初中數學幾何模型教學設計中，引入幾何概念和定義是非常關鍵的一步.教師可以通過講解幾何概念和定義，并結合具體的實例幫助學生理解幾何模型的基本性質和特點.此外，教師還可以引導學生自己思考并提出問題，從而激發學生的學習興趣和思維能力.

其次，幾何模型的構建與觀察.初中數學幾何模型教學設計中，學生的主動參與十分重要.教師可以引導學生通過使用絲線、紙張等材料構建幾何模型，例如平面圖形、立體體積等，以培養學生的空間想象力和幾何思維能力[3].同時，學生需要通過觀察幾何模型的不同部分和結構，發現其中的規律和特點.通過幾何模型的教學，學生不僅能夠理解幾何概念和定理，還能夠應用它們解決實際問題.教師可以設計一系列基于幾何模型的問題，讓學生運用所學知識進行分析和推理，并找到解決問題的方法.這樣的教學設計可以培養學生的問題解決能力和推理能力，提高他們的數學思維能力.

最后，模型與實際情境的聯系.初中數學幾何模型教學設計應該注重將幾何模型與實際生活和實際問題聯系起來.教師可以引入實際情境，讓學生將幾何模型與實際問題相結合，從而加深學生對幾何模型的理解和運用能力.通過與實際情境的聯系，學生能夠更好地將所學的幾何知識應用到實際生活中，增強他們的學習動機和學習興趣[4].

3APOS理論下的初中平面幾何模型教學設計的一般原則

APOS理論下的初中平面幾何模型教學設計的一般原則是建立適當的具體物體模型.根據APOS理論，學生在數學思維發展的過程中，需要通過具體物體的觸感與操作建立抽象符號之間的聯系[5].因此，設計一個能夠切實體現幾何概念的具體物體模型，對學生的學習意義重大.

創建問題情境并激發學生的興趣.在教學中，教師應注重學生的思維習慣和創造力培養，引導他們在面對問題時保持冷靜、沉著，并勇于嘗試不同的解決方法.只有通過合理創建問題情境并激發學生的興趣，才能真正激發他們對知識的渴望和探求欲望.這種啟發式的教學方式不僅幫助學生更好地理解幾何概念，還培養他們的分析思維和解決問題的能力.因此，教育工作者們應當高度重視如何設計出富有啟發性和挑戰性的問題情境，從而激發學生的求知欲和學習興趣.

4基于APOS理論的“長方形模型”題組設計

第1階段活動（Action）

在第一階段的操作中，設計一些基于不同長方形的具體操作問題，以幫助學生熟悉長方形的特征和屬性，并培養他們進行尺寸計算和圖形變換的能力.題目可能包括：

（1）給定一個長方形的長為12cm，寬為8cm，請計算出它的周長和面積；

（2）如果我們把一個長方形的長度和寬度都乘以2，結果會發生什么變化？

（3）如果我們把一個長方形的長度增加30%，寬度減小20%，結果會發生什么變化？

通過這些操作問題，學生需要運用尺寸計算和圖形變換的知識，分析并解決問題.同時，強調學生觀察和記錄長方形的操作過程，如通過圖形繪制和數學公式的推導準確表達他們的思路和結果.這樣可以幫助他們更好地理解和掌握長方形的特性，為后續階段的學習打下堅實的基礎.

第2階段過程（Process）

本階段旨在通過一系列基于長方形的問題，培養學生的問題解決能力和幾何思維.以下是幾個設計的示例：

（1）問題1：一個長方形的周長是24厘米，它的寬度是3厘米，請計算其長度是多少？

學生需要將周長的概念應用于實際問題，并運用基本的運算方法進行計算.

學生可以觀察到長方形的邊長之間的關系并推導出結論.

（2）問題2：一個矩形的面積是20平方厘米，如果它的寬度是4厘米，其長度是多少？

學生需要理解面積的概念，并將其與長方形的屬性聯系起來.

學生可以觀察面積和邊長之間的關系，并運用基本的運算方法解決問題.

（3）問題3：將一個長方形沿其對角線分割成兩個小矩形，其中一個小矩形的面積是16平方厘米，求另一個小矩形的面積.

學生需要理解分割和面積之間的關系，并觀察長方形的結構特征.

學生可以根據已知條件推導出未知小矩形的面積，并驗證答案的合理性.

通過這些問題，學生將通過實際的操作和推理，發展他們的幾何思維和解決問題的能力.他們將學會應用基本概念和工具解決長方形相關的問題，并且培養出觀察、分析、推斷和驗證的能力.這將為進一步的學習奠定堅實的基礎.

第3階段對象（Object）

首先，提出由長方形組成的更復雜圖形，要求學生分析并描述它們的結構特征.

（1）設計一個問題，要求學生研究由多個長方形組成的大型圖案，觀察和描述不同長方形之間的連接關系；

（2）引導學生發現長方形組成圖形的規律，例如長方形邊長比例、角度關系等；

（3）鼓勵學生探討不同長方形排列方式對整體結構的影響，引發他們思考結構與排列的關聯.

其次，引導學生思考長方形的結構與其他幾何概念之間的關聯.

（1）提出問題，要求學生將長方形的結構與平行四邊形、正方形等幾何形狀進行比較，并總結它們之間的相似性和差異性；

（2）引導學生思考長方形與其他幾何形狀的關系，在討論中培養他們的抽象思維能力；

（3）鼓勵學生將長方形的結構特征與數學中的幾何定理相聯系，幫助他們建立更深入的數學概念認識.

第4階段圖式（Schema）

在這個階段，學生將面臨一個具有挑戰性的問題：如何利用長方形模型設計一個城市公園的布局？學生需要考慮公園各個區域的面積、功能以及周邊道路的規劃.通過這個問題，學生不僅可以運用所學的幾何知識，還可以培養空間想象力和規劃能力.他們可以通過創建長方形模型展示不同區域的尺寸比例，并通過圖形變換來調整布局.同時，學生還需要思考如何合理安排綠化帶、游樂設施等元素，使公園既美觀又實用.

5結語

本文設計將APOS理論與長方形模型相結合，旨在引導學生深入理解幾何概念和培養問題解決能力.通過活動（Action）、過程（Process）、對象（Object）、圖式（Schema）四個階段的設計，學生不僅能夠掌握長方形的基本特征和屬性，還能夠運用長方形模型解決各種復雜問題，并對幾何問題有更深入的理解.此外，本文也提供了豐富多樣的問題類型，讓學生在實踐中不斷探索、思考和創造.通過這樣的設計，學生不僅可以提高數學水平，還能培養邏輯思維能力和創造性思維，為未來的學習奠定堅實的基礎.希望學生能夠在數學學習中體會到長方形模型的魅力，進一步激發他們對數學的興趣與熱愛.

參考文獻：

[1]周偉萍.基于APOS理論的初中數學幾何模型教學的題組設計——以長方形模型為例[J].中學數學，2021（06）：17-18+21.

[2]徐春凌.分析模型教學對于初中幾何數學教學的意義[J].數理化解題研究，2021（02）：25-26.

[3]馬小飛.基于幾何模型的初中數學教學設計與反思——以一道中考題復習教學為例[J].中學數學研究（華南師范大學版），2020（16）：31-34.

[4]陳思宇.“基本模型”引領下的教學設計與思考——以初中幾何相似中A字、Z字模型為例[J].中小學教學研究，2019（10）：52-55.

[5]賈建成.模型教學在初中幾何數學教學中的應用分析[J].數學學習與研究，2018（14）：59.