與平行線相關的三大模型探究

【摘要】初中幾何中存在三類與平行線相關的模型，即“豬蹄模型”“鉛筆模型”和“鋸齒模型”.教學中建議結合圖示歸納模型特征，總結模型結論，并結合實例指導應用思路.教師引導過程中注意傳統解法與模型方法的對比講解，讓學生充分感悟，并學會理解應用.

【關鍵詞】平行線；豬蹄模型；鉛筆模型；鋸齒模型

平行線是幾何中的重要概念，是對兩線位置關系的一種特殊定義，以平行線為背景構建的幾何模型在中考或模考試題中十分常見.教材雖未設置專題重點講解與平行線相關的模型，但在復習備考中有必要引導學生梳理相關模型，總結規律.

模型一豬蹄模型

“豬蹄模型”基本特征為：一組平行線，中間有一點，分別與平行線上的點構成“豬蹄”，如右圖1所示，AB∥CD，該模型中存在一組角度關系，即∠E=∠B+∠D.

該角度關系的證明，只需過點E作AB或CD的平行線即可，后續利用平行性質可推等角關系，進而完成代換證明.

例1如圖2所示，已知MN//PQ，點C，B分別在直線MN，PQ上，點A在直線MN，PQ之間，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，∠GCA+∠FAC=180°，∠CAB=60°，則∠AFB的度數為_____.

模型分析教學中引導學生明確模型，即圖中MN//PQ，點A在兩平行線之間，互相連接，顯然構成了“豬蹄模型”，根據模型結論可推得∠CAB=∠MCA+∠ABD，后續解題可以充分利用該結論.

解題構建作圖，延長CA交PQ于點D，如圖2的虛線所示.根據平行線的性質和角平分線的定義可得∠ABD=2∠ABF，∠ACN=2∠ACG.

結合“豬蹄模型”的結論可得∠CAB=∠MCA+∠ABD，由三角形的外角性質可得∠CAB=∠ADB+∠ABD，通過等角代換可得∠ABF=∠ACG－60°，進一步分析可得∠FAB=120°－∠ACG.最后根據三角形的內角和定理計算，可得∠AFB=180°－∠ABF－∠FAB=180°－（∠ACG－60°）－（120°－∠ACG）=120°.

解題評析上述復合圖形中隱含了“豬蹄模型”，合理利用模型的結論可以簡化推導角度關系.教學的關鍵有三點：一是引導學生掌握模型特征；二是引導學生理解模型結論及證明思路；三是確保學生能夠準確提取復合圖形中的模型，靈活運用.

模型二鉛筆模型

“鉛筆模型”，顧名思義外形類似于鉛筆頭，如圖3所示，一組平行線AB∥CD，中間有一點E，與“豬蹄模型”的不同的地方是，點E是凸出來，位于平行線的外側.在該模型中，同樣存在一組角度關系，即∠E+∠B+∠D=360°.

該角度關系的證明思路有兩種：一是過點E作與AB或CD的平行線，等角代換組合求解；二是連接BD，構建三角形，利用三角形的內角和定理證明.

例2如圖4所示，l1//l2，∠1=105°，∠2=140°，則∠3的度數為______.

模型分析教學中同樣引導學生關注圖形.該圖形的結構簡單，可以直接確定為“鉛筆模型”，并直接利用模型結論，即∠1+∠2+∠4=360°.

教學的關鍵點先讓學生思考常規解法，顯然需要作過凸點作于l1和l2相平行的直線，利用平行線的性質來進行角度推導.建議讓學生思考模型結論法與常規平行法的優劣.

解題構建分析可知，圖形符合“鉛筆模型”的結構特征，則可推得∠1+∠2+∠4=360°，再由平角定理可得∠4=180°－∠3，等角代換可得∠1+∠2－∠3=180°，從而可求得∠3=∠1+∠2－180°=65°.

解題評析上述圖形背景為特殊的“鉛筆模型”，直接利用模型結論顯然更為簡潔.教學該模型時建議與“豬蹄模型”對比分析，引導學生關注兩模型的關聯：將兩平行線分別延長，則圖形中的一側與凹點構成“豬蹄模型”，另一側與凸點構成“鉛筆模型”.

模型三鋸齒模型

平行線的另一重要模型為“鋸齒模型”，其基本特征為在兩平行線之間含有多個凸出拐點，其結構形式不唯一.以圖5為例，5-（a）中，含有三個凸出拐點，則對應結論為∠B+∠M+∠E=∠C+∠N；而5-（b）中，則含有多個凸出拐點，則對應結論為：所有朝左角之和等于所有朝右角的和.

例3如圖6所示，已知∠ABE+∠CEB=180°，∠1=∠2，求證：∠M=∠N.

模型分析上述圖形中沒有給定AB與CD平行，但結合已知條件∠ABE+∠CEB=180°可推得AB//CD.提取模型特征，可知其中隱含了“鋸齒模型”，根據模型的結論可知∠1+∠M=∠2+∠N，結合條件∠1=∠2即可證明.

解題構建已知∠ABE+∠CEB=180°，則可得AB∥CD，滿足“鋸齒模型”的條件，則可得∠1+∠N=∠2+∠M.又知∠1=∠2，從而可證∠M=∠N.

解題評析上述利用“鋸齒模型”的結論可以直接推導出角度關系，結合已知很容易完成證明.教學“鋸齒模型”的關鍵為引導學生理解其結論“所有朝左角之和等于所有朝右角的和”，即針對其中的凸角，根據其朝向進行歸類，再根據“左右方向”來構建角度關系.

總之，對與平行線相關的模型豬蹄模型、鉛筆模型和鋸齒模型等三類模型進行探討，歸納模型特征，總結模型結論，指導學生對其進行靈活運用，可以顯著提升解題效率.需要注意的是，模型應用是分析與平行線相關問題的輔助工具，教學中建議按照“傳統解法→模型結論法→方法對比分析”的流程來指導學生學習，防止學生過分依賴模型方法，造成對傳統解法思路的生疏，不便于后續深入學習.