滲透“模型思想”的初中數學教學研究

[摘" 要] 課堂是學生學習新知、發展思維的主要場所. 教師應致力于課堂，發展學生的模型思想. 研究者從模型思想研究的目的與意義出發，以“將軍飲馬”模型的教學為例，具體從以下幾方面展開設計與思考：情境創設，感知模型;合作探究，建立模型;深化問題，應用模型;拓展延伸，總結模型;歸納提升，遷移模型.

[關鍵詞] 模型思想;課堂教學;將軍飲馬

作者簡介：耿敬之（1991—），本科學歷，中學一級教師，從事初中數學教學與研究工作.

模型思想是指學習者有意識地運用數學概念或原理等，來描述、理解并解決問題的思想. 掌握模型思想，就是在深刻理解客觀對象本質與規律的基礎上，用恰當的數學符號或語言將客觀事物的數學模型刻畫出來的過程. 實踐證明，數學模型思想并不是通過刻意練習或考試而獲得的，它是一種看不見、摸不著，卻又真實存在的思想方法，是促使“三會”能力形成的基礎.

研究的目的與意義

1. 研究的目的

初中階段研究數學模型思想的目的是探索怎樣將其應用到不同的課型中，以提升教學的實效性與深遠意義，確保學生能夠從中獲得持久的益處，為其終身學習奠定堅實的基礎. 隨著《義務教育數學課程標準（2022年版）》的落地，筆者認為模型思想的研究對象不再局限于引導學生如何學習，還要關注教師的教學設計與課堂的引導方向. 事實告訴我們，教師若持續拓寬視野，對模型思想有深入而透徹的理解，便能設計出促進學生終身可持續發展的教學方案. 他們通過不懈的探究、深刻的反思與持續的改進，能不斷提升自身的業務水平.

2. 研究的意義

日本數學家米山國藏認為：學生在學校習得的知識若干年后都會忘掉，在工作中也鮮少會應用到這些數學知識，但不論從事什么行業，刻在學生內心深處的數學思想方法、推理與看待問題的角度以及數學精神等會發揮長效作用.

本文研究的主要意義在于思考數學新課改歷程中模型思想的價值所在，分析怎樣滲透模型思想來幫助學生更好地解決實際問題，反思怎樣利用模型思想幫助學生獲得終身可持續發展的能力. 模型思想的建立，僅僅憑借解題是無法完成的，更多是在活動過程中，基于對知識的深入理解而形成. 下面，筆者以“將軍飲馬”模型的教學為例，探討如何幫助學生建立模型思想.

實踐探索

1. 情境創設，感知模型

數學模型具有高度的抽象性與概括性，如一些概念、公式、定理等的形成與發展都需經歷抽象、概括與歸納的過程. 因此，數學抽象是建立數學模型的基礎. 良好的情境通常能夠激發學生的自主抽象能力，促使他們積極主動地參與到多樣化的情境中，從而深刻感知和理解模型. 課堂伊始，筆者將學生帶入“將軍飲馬”的原始情境中，引導他們感受問題的生成過程，為數學抽象奠定基礎.

情境" 相傳，古羅馬的一位將軍上門拜訪精通數學與物理學的學者海倫，他提出了一個有趣的問題：“如果每天從軍營出來的第一件事就是到河邊飲馬，而后再到河岸同一側的其他軍營開會，在此過程中應該怎樣規劃行走路線，使得路程最短呢？”海倫聽完這個問題后，很快就給出了相應的解決方案.

師：各位同學，如果你是學者海倫，該如何從數學的角度理解并分析這個問題呢？

設計意圖 情境創設，能夠將學生深度融入真實的問題場景中，這對于激發他們的求知欲與學習興趣具有深遠的意義. 在筆者的追問下，學生迅速領悟了該情境的關鍵所在——探尋最短路徑問題. 這一初步的數學抽象過程為模型的構建奠定了堅實的基石.

2. 合作探究，建立模型

自主探究、合作學習與實踐探索是數學研究的重要途徑. 一般情況下，學生在合作學習中能具體化或簡單化一些數學問題. 本節課的實踐探索與合作學習階段，引導學生親歷實踐操作，促使學生通過對問題的觀察、作圖、交流與思考，體驗“將軍飲馬”模型的建立過程.

問題1" 在一個平面上，用直線l表示河流，點A表示將軍所住的軍營，點B代表開會的軍營. 結合題意可知點A，B位于直線l的同一側（見圖1），當點P位于直線l上的哪個位置時，AP+BP的值最小？

師生活動：學生分組合作作圖，各組派一名代表對組內所得的結果進行展示，分享作圖思路與過程，其他學生給予補充. 筆者根據學生呈現的成果，運用幾何畫板進行動態驗證.

學生展示畫圖思路與過程：如圖2，將直線l作為對稱軸，作點B的對稱點B′，連接AB′，與直線l相交的點P即待求的點，AB′的值就是AP+BP的最小值.

“將軍飲馬”模型的建立需遵循以下步驟：①確定直線與其同側的兩個點;②選取一點以直線為對稱軸作對稱點;③將另外一點與所作對稱點連接起來，與直線相交于點P.

設計意圖 帶領學生從故事原型出發抽象出基本圖形，同時自主思考、合作交流，在探索與反思中分析原理、獲得模型. 在學生展示成果時，筆者借助幾何畫板進行動態演示，使整個教學活動變得更加豐富、生動，學生從中也獲得了建模經驗與體驗. 此環節，學生通過合作探索發現問題背后的本質就是“根據對稱軸作圖”，由“兩點間的距離最短”的性質解題. 此過程有效提升了學生對這一類模型的認識.

3. 深化問題，應用模型

想將“將軍飲馬”問題常態化與系統化，最佳途徑便是借助變式拓展模型，引導學生深入探索其延伸內涵，從而更深刻地理解和把握相關知識. 同時，讓學生親身體驗從現實生活情境中提煉出數學模型的過程，這不僅有助于他們更牢固地掌握“將軍飲馬”模型，還能為日后解決更為復雜的實際問題奠定堅實的基礎. .

問題2" 某班舉辦元旦晚會時，將課桌擺成兩條直線l與l（如圖3），l桌面上擺滿了橘子，l桌面上擺滿了各種餅干，坐在P處的小明想先拿一個橘子，再拿一些餅干后回到自己的座位上，請為他設計一條路線，確保他行走的路程最短.

經探索，學生將這個問題轉化成數學問題：如圖3，如何在直線l，l上分別取點M，N，可使△NMP的周長最小？

生1：如圖4，分別將l，l作為對稱軸作點P的對稱點P′，P ″，連接P′P″，與l，l分別相交于點M，N. 根據“兩點之間線段最短”的原理，可知線段P′P ″的值即為待求的最小值.

設計意圖 設計與學生生活息息相關的數學活動，一方面，激發學生探尋基礎信息的能力;另一方面，促使學生掌握識別基本圖形的技巧，進而在圖形中洞察與現實生活緊密相關的數學規律. 在此基礎上，學生需類比問題1，運用對稱軸變換圖形，從而構建出“將軍飲馬”模型. 這一過程不僅深化了學生對“將軍飲馬”模型的理解，還推廣和強化了“將軍飲馬”模型的應用范圍.

4. 拓展延伸，總結模型

隨著探索的深入，師生共同研究，發現“將軍飲馬”模型還能應用在綜合難度較高的幾何圖形問題中，例如等邊三角形、等腰三角形、正方形、菱形以及拋物線等具有軸對稱性質的圖形，“將軍飲馬”問題屢見不鮮. 在問題難度一般的情況下，僅需借助模型本身所具備的軸對稱特性，即可輕松實現問題的轉化，并依托“兩點之間線段最短”的原理來解題;但面對難度系數較高的問題時，則需要靈活運用多次軸對稱的轉化或平移策略，雖然解題過程可能會稍顯復雜煩瑣，但仍是解決問題的有效途徑.

問題3" 如圖5，在l1，l2上作點M，N，使四邊形PQMN的周長最小.

作法：如圖6，①分別以l1，l2為對稱軸，作點Q，P的對稱點Q′，P′;②連接Q′P′，與l1，l2分別相交于點M，N.

線段Q′P′+QP的長為四邊形PQMN周長的最小值.

問題4" 如圖7，點A，B分別在l1，l2上固定不動，在l1，l2上分別取點N，M，使得AM+MN+NB有最小值.

作法：如圖8，①分別以l2，l1為對稱軸，作點A，B的對稱點A′，B′;②連接A′B′，與l2，l1分別相交于點M，N. 線段A′B′的長為AM+MN+NB的最小值.

5. 歸納提升，遷移模型

“將軍飲馬”模型的應用范圍頗為廣泛，它不僅在數學領域內占據一席之地，在物理學科中也頻繁亮相. 如數學史中記載，數學家費馬運用“將軍飲馬”模型成功地解釋了物理學科中的“光行最速原理”，即從點A射出來的光線，通過平面鏡反射后，經過點B，據此作出光線路徑.

問題5" 如圖9，以MN為對稱軸作點B的對稱點B′，連接AB′，與直線MN相交于點P，證明AP+BP的值就是光線行走的最短路程.

證明思路：直線MN上除點P以外的點P′恒有AP′+BP′gt;AB′=AP+BP，因此AP+BP的值就是光線行走的最短路程.

設計意圖 增強學科間的聯系是新課標對數學教學提出的要求. 此環節加強了物理學科與數學學科之間的聯系，為課堂增添了濃厚的趣味性和學術氛圍. 學生在此過程中深刻領悟了“將軍飲馬”模型的實用價值和廣泛適用性.

教學思考

1. 解讀課標要求是滲透模型

思想的基礎

當教師擁有一桶水時，才能為學生提供一杯水. 想要在課堂教學中滲透模型思想，教師首先要充分了解模型思想的價值、內涵與作用，掌握課標要求. 眾所周知，數學思想是數學的靈魂，雖然初中知識的難度系數不大，但也不能降低對學生的要求，會解題并非教學的終極目標，發展學生的數學品質與素養才是教學的主要目的.

因此，教師應全面細致地研讀課標要求，理解模型思想在學生生活與學習中的普適性，以更好地幫助學生建立解決問題的基本模型. “將軍飲馬”模型是初中階段的重要模型之一，筆者結合課標要求，從問題原型出發，引領學生深入探討該模型的形成脈絡與發展軌跡，同時在知識的拓展與延伸過程中，進一步加深學生對模型內涵的理解與把握.

2. 明確教學目標是建立數學

模型的關鍵

教學目標是教學活動設計與開展的導向，但在中考背景下，不少人依然以分數來衡量一個學生的能力. 殊不知，評判一個學生的優秀與否，不僅要看他知識與技能的掌握程度，還要觀察他對數學思想方法的理解情況，尤其是模型思想的建立與應用對發展學力具有重要意義. 調查發現，當前仍有部分教師將教學目標鎖定在知識與技能方面，忽略了生活與數學之間的聯系，導致學生對知識的掌握只是浮于表面.

本節課的教學設計，筆者緊密圍繞教學目標，引導學生從日常生活情境出發，深刻體驗“將軍飲馬”模型的實際應用，并巧妙地與物理學科中的“光行最速原理”相聯系，有效促進學生對于模型應用理解的深化與拓展.

總之，數學既是一門學科，也是一門科學，其中所蘊含的模型思想在各個板塊中均有體現. 教師應立足于學情和教情，結合教材和課標要求合理制定教學方案，將模型思想有機地滲透在實際教學中，這是發展學生數學核心素養的重要手段.