二次函數(shù)中的線段最值問題轉(zhuǎn)化法的探究

[摘" 要] 對(duì)于二次函數(shù)中的線段最值問題，突破的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化線段，可采用相似轉(zhuǎn)化、三角函數(shù)轉(zhuǎn)化、特殊圖形三邊關(guān)系轉(zhuǎn)化、平行線比例特性轉(zhuǎn)化四種方法.文章結(jié)合實(shí)例深度探索轉(zhuǎn)化方法，并總結(jié)方法策略，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐提出幾點(diǎn)建議.

[關(guān)鍵詞] 二次函數(shù);線段的最值;轉(zhuǎn)化法

作者簡(jiǎn)介：趙雯君（1980—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作.

二次函數(shù)中的線段最值問題較為特殊，常以二次函數(shù)為背景，構(gòu)建幾何圖形，探求其中的線段最值，問題具有“數(shù)”與“形”的雙重屬性. 求解時(shí)需要充分利用二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合幾何知識(shí)轉(zhuǎn)化分析. 該類問題常用的破解方法較多，下面具體探究.

關(guān)于線段最值轉(zhuǎn)化法的探究

探究1：利用幾何相似轉(zhuǎn)化線段求最值

求線段最值可采用相似轉(zhuǎn)化法，利用相似轉(zhuǎn)化構(gòu)建待求線段與已知線段或特殊線段之間的關(guān)系，再利用點(diǎn)坐標(biāo)求線段長(zhǎng)，將線段最值問題轉(zhuǎn)化為與坐標(biāo)參數(shù)相關(guān)的函數(shù)問題，進(jìn)而利用函數(shù)性質(zhì)求最值.

例1 如圖1所示，已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)為A（-1，0）和B（3，0），與y軸的交點(diǎn)為N. 以AB為邊在x軸的上方作正方形ABCD，設(shè)點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)連接CP，過點(diǎn)P作CP的垂線，與y軸的交點(diǎn)設(shè)為E.

（1）試求拋物線的函數(shù)解析式;

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB（點(diǎn)P不與O，B重合）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試分析運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)，線段OE的長(zhǎng)有最大值？并求出該最大值.

解析：（1）該問求二次函數(shù)的解析式，采用待定系數(shù)法即可. 拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A和B，分別將其點(diǎn)坐標(biāo)代入其中，可得1-b+c=0，

9+3b+c=0，可解得b=-2，c=-3，所以拋物線的函數(shù)解析式為y=x2-2x-3.

（2）該問求線段OE的最大值，其中點(diǎn)E是CP的垂線與y軸的交點(diǎn). 可采用相似轉(zhuǎn)化的方法，構(gòu)建線段比值關(guān)系，再整理為坐標(biāo)參數(shù)的函數(shù)，后續(xù)利用函數(shù)性質(zhì)求解.

由題意可知，AB=OA+OB=1+3=4. 在正方形ABCD中，已知∠ABC=90°，PC⊥PE，可推知∠OPE+∠CPB=90°，∠CPB+∠PCB=90°，所以∠OPE=∠PCB. 又知∠EOP=∠PBC=90°，可證△POE∽△CBP，由相似性質(zhì)可得=.

設(shè)OP=x，則PB=3-x，所以=，整理可得OE=-

x-2+，由于0lt;xlt;3，分析可知，當(dāng)x=時(shí)，線段OE長(zhǎng)有最大值，且最大值為.

方法總結(jié)：利用相似轉(zhuǎn)化求線段最值，其方法核心是利用相似圖形的對(duì)應(yīng)線段成比例將所求線段最值轉(zhuǎn)化為關(guān)聯(lián)線段的關(guān)系，可按如下步驟構(gòu)建思路.

第一步，把握?qǐng)D象中的幾何性質(zhì)，證明三角形相似;

第二步，利用三角形相似性質(zhì)構(gòu)建待求線段與已知或特殊線段之間的比例關(guān)系;

第三步，結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)、點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo)，將線段比例轉(zhuǎn)化為與坐標(biāo)參數(shù)相關(guān)的函數(shù);

第四步，分析坐標(biāo)參數(shù)取值，利用函數(shù)性質(zhì)求線段最值.

探究2：利用三角函數(shù)轉(zhuǎn)化線段求最值

利用三角函數(shù)來轉(zhuǎn)化求線段最值，其核心內(nèi)容是：在直角三角形中，利用三角函數(shù)所構(gòu)建的線段比值，將線段最值轉(zhuǎn)化為特殊線段的最值，再結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)來分析最值求解. 因此解題時(shí)要關(guān)注圖象中的特殊三角形，提取或構(gòu)造直角三角形.

例2" 如圖2所示，拋物線y=ax2+bx+4交x軸于A（-3，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC. 點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.

（1）求此拋物線的表達(dá)式.

（2）過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，PM交BC于點(diǎn)Q. 試探究點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形. 若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由;

（3）過點(diǎn)P作PN⊥BC，垂足為N. 請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示線段PN的長(zhǎng)，并求出當(dāng)m為何值時(shí)PN有最大值，最大值是多少？

解析：（1）該問求拋物線的解析式，采用待定系數(shù)法，可求得a=-，b=，拋物線的解析式為y=-x2+x+4.

（2）該問為等腰三角形存在性問題，探求點(diǎn)的坐標(biāo)，需要分類討論.

簡(jiǎn)答，當(dāng)AC=AQ=5時(shí)，可求得點(diǎn)Q（1，3）;當(dāng)AC=CQ=5時(shí)，可求得點(diǎn)Q

，

4-;當(dāng)CQ=AQ時(shí)，所求不滿足題意.

綜上可知，滿足條件的點(diǎn)Q有兩個(gè)：（1，3）和

，

4-.

（3）該問求PN的最大值，可采用三角函數(shù)轉(zhuǎn)化法，將其轉(zhuǎn)化為求關(guān)聯(lián)線段的最值.

設(shè)點(diǎn)Pm，

-m2

+m+4，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，-m+4）. 因?yàn)镺B=OC，則∠ABC=∠OCB=45°=∠PQN，可推知PN=PQsin∠PQN，代入點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)可得PN=·

-m2

+m+4+m-4=-（m-2）2+. 由于-lt;0，分析可知當(dāng)m=2時(shí)，PN可取得最大值，且最大值為.

方法總結(jié)：利用三角函數(shù)轉(zhuǎn)化求線段最值，其核心是構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)對(duì)三角形三邊關(guān)系的轉(zhuǎn)化來求解. 具體求解時(shí)可分四步進(jìn)行：

第一步，提取或構(gòu)造直角三角形;

第二步，利用三角函數(shù)構(gòu)造線段比例關(guān)系，轉(zhuǎn)化所求線段;

第三步，代入點(diǎn)坐標(biāo)，將線段問題轉(zhuǎn)化為與坐標(biāo)參數(shù)相關(guān)的函數(shù)問題;

第四步，利用函數(shù)性質(zhì)求解最值.

探究3：利用特殊圖形三邊關(guān)系轉(zhuǎn)化線段求最值

利用特殊圖形的三邊關(guān)系求線段最值，如等邊三角形的三邊長(zhǎng)相等，等腰三角形的腰長(zhǎng)相等，直角三角形的三邊滿足勾股定理. 具體求解時(shí)需關(guān)注問題中的特殊圖形，有兩種思路：思路1，利用特殊圖形與邊長(zhǎng)相關(guān)的性質(zhì)定理來轉(zhuǎn)化求線段最值;思路2，利用特殊圖形的性質(zhì)定理來構(gòu)建代數(shù)方程，進(jìn)而轉(zhuǎn)化求最值.

例3" 如圖3所示，拋物線y=ax2+bx+2與直線y=-x交第二象限于點(diǎn)E，與x軸交于A（-3，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，EC∥x軸.

（1）求拋物線的解析式.

（2）點(diǎn)P是直線y=-x上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線于點(diǎn)G，作PH⊥EO，垂足為H. 設(shè)PH的長(zhǎng)為l，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，求l與m的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出m的取值范圍），并求出l的最大值.

解析：（1）利用待定系數(shù)法求拋物線解析式，將點(diǎn)A和E的坐標(biāo)分別代入拋物線的解析式中，可求得a= -，b=-，則所求拋物線的解析式為y=-x2-x+2.

（2）由題意可知PG⊥x軸，PH⊥EO，點(diǎn)G在y=-x上，可推知△PHG為等腰直角三角形，則該三角形中的邊長(zhǎng)存在如下關(guān)系：PH=l=PG.

點(diǎn)G的坐標(biāo)為（m，-m），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為m，

-m2

-m+2，則PG= -m2-m+2，所以l=PG=

-m2

-m+2=-·

m+2+，分析可知，當(dāng)m=-時(shí)，l取得最大值，且最大值為.

方法總結(jié)：利用特殊圖形的三邊關(guān)系轉(zhuǎn)化線段求最值，其思路清晰明了，就是直接利用其三邊關(guān)系來轉(zhuǎn)化線段. 常見的特殊圖形包括等邊三角形、等腰三角形、直角三角形，以及等腰直角三角形. 具體求解時(shí)可分為如下三步：

第一步，分析圖象，提取或構(gòu)造特殊三角形;

第二步，利用特殊三角形的三邊關(guān)系轉(zhuǎn)化線段;

第三步，結(jié)合條件求解，轉(zhuǎn)化線段的長(zhǎng)，并分析其最值.

探究4：利用平行線的比例特性轉(zhuǎn)化線段求最值

利用平行線的比例特性轉(zhuǎn)化線段求最值，其核心內(nèi)容為平行線所產(chǎn)生的對(duì)應(yīng)線段成比例，即平行線的比例線段特性. 求解時(shí)可提取圖象中的平行線段，根據(jù)定理構(gòu)建比例線段關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化線段，再求最值.

例4" 如圖4所示，拋物線y=-x2+x+4與坐標(biāo)軸分別交于A，B，C三點(diǎn)，P是第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為m.

（1）A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為______，______，______.

（2）連接AP，交線段BC于點(diǎn)D，

①當(dāng)CP與x軸平行時(shí)，求的值;

②當(dāng)CP與x軸不平行時(shí)，求的最大值.

解析：（1）該問求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，根據(jù)拋物線的解析式可直接求得A（-2，0），B（3，0），C（0，4）.

（2）該問為線段相關(guān)的求值題，利用平行線比例線段轉(zhuǎn)化求解.

①因?yàn)镃P∥x軸，C（0，4），可推得P（1，4），所以CP=1，AB=5. CP∥x軸，利用平行線的比例線段關(guān)系可得==，即的值為;

②過點(diǎn)P作PQ∥AB交BC于點(diǎn)Q，如圖5所示. 可求得直線BC的解析式為y=-x+4. 則點(diǎn)P的坐標(biāo)為m，

-m2

+m+4，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

m2

-m，

-m2+

m+4. 所以PQ=m-

m2-

m=-m2+m.

因?yàn)镻Q∥AB，利用平行線比例線段可得==-

m-2+. 分析可知，當(dāng)m=時(shí)，可取得最大值，且最大值為.

方法總結(jié)：利用平行線比例特性轉(zhuǎn)化線段，其核心是構(gòu)成對(duì)頂角的三角形相似，是相似性質(zhì)的簡(jiǎn)化構(gòu)造，學(xué)習(xí)時(shí)需要深刻理解其本質(zhì)內(nèi)涵. 具體求解時(shí)可分如下三步：

第一步，分析圖象中的兩線關(guān)系，提取其中的平行線;

第二步，根據(jù)平行線的比例特性進(jìn)行線段轉(zhuǎn)化;

第三步，結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)，將線段問題轉(zhuǎn)化為與坐標(biāo)參數(shù)相關(guān)的函數(shù)問題，再利用函數(shù)性質(zhì)求最值.

關(guān)于轉(zhuǎn)化法的探究思考

上述基于線段最值轉(zhuǎn)化的方法展開深入探究，涉及相似轉(zhuǎn)化、三角函數(shù)轉(zhuǎn)化、特殊圖形三邊關(guān)系轉(zhuǎn)化、平行線比例特性轉(zhuǎn)化四種方法. 探究學(xué)習(xí)中需理解方法內(nèi)涵，掌握構(gòu)建思路，靈活運(yùn)用方法解題. 下面提出三點(diǎn)建議.

建議1：挖掘方法定理，理解方法本質(zhì)

上述探究了四種線段最值的轉(zhuǎn)化方法，利用幾何的性質(zhì)定理轉(zhuǎn)化線段關(guān)系是解題的關(guān)鍵. 探究學(xué)習(xí)中要挖掘方法背后的性質(zhì)定理，從根本上理解方法. 可從以下兩個(gè)視角開展探究學(xué)習(xí)：視角一，探索線段轉(zhuǎn)化法所涉及的定理，如相似轉(zhuǎn)化中的相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比例性質(zhì)，三角函數(shù)轉(zhuǎn)化中的三角函數(shù)相關(guān)知識(shí);視角二，探索定理的變式思路，拓展思維，如聯(lián)想相似轉(zhuǎn)化與平行線比例線段的關(guān)聯(lián)性.

建議2：總結(jié)轉(zhuǎn)化方法，構(gòu)建解題思路

利用轉(zhuǎn)化法解題的過程中，需要立足問題條件，推理分析思路，利用轉(zhuǎn)化法來轉(zhuǎn)化線段最值，再結(jié)合條件求解. 解題時(shí)涉及多個(gè)思維過程，要注意總結(jié)歸納，明晰過程，構(gòu)建思路. 因此探究轉(zhuǎn)化法時(shí)要理解方法，明確適用的題型，基于方法分步構(gòu)建. 思路構(gòu)建要關(guān)注兩點(diǎn)：一是關(guān)注轉(zhuǎn)化法的核心，即問題條件、圖象特征等重點(diǎn)內(nèi)容;二是關(guān)注轉(zhuǎn)化的方向，即構(gòu)建未知與已知的關(guān)系，將一般條件轉(zhuǎn)化為特殊條件.

建議3：變式強(qiáng)化應(yīng)用，靈活運(yùn)用方法

上述探究了二次函數(shù)背景下線段最值問題的轉(zhuǎn)化方法，并總結(jié)構(gòu)建策略，探究學(xué)習(xí)時(shí)結(jié)合實(shí)例變式強(qiáng)化，靈活應(yīng)用加深記憶. 應(yīng)用強(qiáng)化可從以下三個(gè)方向進(jìn)行：一是由易到難，從探究簡(jiǎn)單問題展開，總結(jié)思路，再提升問題難度;二是針對(duì)性訓(xùn)練，即針對(duì)同一方法、同一問題進(jìn)行訓(xùn)練，總結(jié)問題類型，構(gòu)建解題策略;三是合理變式，拓展思路，即探究學(xué)習(xí)中要合理變通，靈活選用解法，可開展一題多解探究.