基于全場Gamma系數(shù)的相位誤差校正

摘要：面結(jié)構(gòu)光由于可無接觸對物體進(jìn)行高質(zhì)量的三維重建，目前已被廣泛地應(yīng)用在工業(yè)、醫(yī)療、文物保護(hù)等領(lǐng)域。工業(yè)領(lǐng)域中目前多以多頻外差和格雷碼+四步相移的編碼結(jié)構(gòu)光作為解決方案。采用單目多頻外差方法， DLP的Gamma效應(yīng)則會(huì)導(dǎo)致解算出的點(diǎn)云產(chǎn)生周期性誤差。提出了一種全場Gamma系數(shù)校正的方法，可有效去除點(diǎn)云的周期性誤差。通過搭建的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)對標(biāo)準(zhǔn)球進(jìn)行測量，本文提出的方法有效地降低點(diǎn)云的周期性誤差，球的標(biāo)準(zhǔn)偏差由0.0469mm降低至0.0183mm，球徑誤差均保持在0.02mm內(nèi)。

關(guān)鍵詞：面結(jié)構(gòu)光；多頻外差；Gamma；dlp；最小二乘

一、前言

面結(jié)構(gòu)光通過向被測物體投射一系列編碼光柵，并根據(jù)事先的標(biāo)定數(shù)據(jù)以及解碼信息，從而實(shí)現(xiàn)對被測物的三維重建。面結(jié)構(gòu)光由于其非接觸、高精度等特點(diǎn)目前廣泛地被應(yīng)用于汽車制造、口腔掃描、逆向工程等領(lǐng)域中[1-2]。

主流的面結(jié)構(gòu)光解決方案多以相移光柵為主，主要有三頻三相、三頻四相、格雷碼+四步相移等。若采用雙目結(jié)構(gòu)解算點(diǎn)云，最終的絕對相位信息只用來進(jìn)行匹配，無需考慮相位誤差；若采用單目結(jié)構(gòu)解算點(diǎn)云，相位信息則會(huì)參與點(diǎn)云解算，相位誤差則會(huì)造成最終的點(diǎn)云具有周期性誤差，呈波紋狀。本文主要對Gamma校正進(jìn)行研究，降低相位誤差，從而解決點(diǎn)云中的周期性誤差問題。

在單目結(jié)構(gòu)光中，DLP的Gamma值不為1的話，則會(huì)使投射灰度值與最終采集得到的灰度值呈一個(gè)非線性的關(guān)系，無法滿足光柵的正弦性要求，從而使得相位解包裹時(shí)產(chǎn)生誤差，并影響最終的絕對相位以及點(diǎn)云數(shù)據(jù)。

目前針對相位誤差的補(bǔ)償方法主要可以分為兩大類：主動(dòng)法與被動(dòng)法。主動(dòng)法是指通過計(jì)算出相應(yīng)的Gamma系數(shù)，并對投影圖案進(jìn)行校正來保證光柵的正弦性。Baker等人[3]利用前饋反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的泛化和插值能力，對強(qiáng)度響應(yīng)函數(shù)進(jìn)行建模，并繪制從畸變條紋到非畸變條紋的映射圖。Guo等人[4]使用邊緣圖像的歸一化累積直方圖來估計(jì)伽馬值。Liu等人[5]建立了一個(gè)預(yù)測伽馬畸變對標(biāo)準(zhǔn)相移

輪廓術(shù)（Phase Shifting Profilometry，PSP）影響的數(shù)學(xué)模型。利用PSP的諧波強(qiáng)度調(diào)制系數(shù)和大量相移模式估計(jì)Gamma值。Li等人[6]還將投影儀散焦并入Liu的模型[5]中，并通過使用兩個(gè)預(yù)設(shè)的伽馬值來確定散焦水平。Hoang等人[7]通過求解理想相位和畸變相位的非線性函數(shù)來確定伽馬值，通過大量步移相來確定理想相位。Lei和Zhang[8]通過散焦二元條紋圖生成準(zhǔn)正弦條紋圖來抑制相位誤差。

被動(dòng)法則不需要對投射圖案進(jìn)行校正，將采集到的圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行一些后處理的算法操作來進(jìn)行相位誤差補(bǔ)償。Zhang和Huang[9]提出了一種基于查找表（Look Up Table，LUT）的方法，在不使用任何數(shù)學(xué)Gamma模型的情況下直接補(bǔ)償相位誤差。LUT是根據(jù)投影儀的伽馬校準(zhǔn)計(jì)算出的相位誤差來建立。Zhang和Yau[10]提出了另一種基于LUT的相位補(bǔ)償算法，該算法的優(yōu)勢是適用于任何相移方法，無需標(biāo)定投影儀的Gamma系數(shù)，根據(jù)在光滑平板上采集的條紋圖像直接進(jìn)行分析建立誤差表。Pan等人[11]提出了一種基于非線性相位誤差周期等于捕獲條紋圖相移次數(shù)的迭代相位補(bǔ)償算法。

本文與其他方法的最大區(qū)別為本文中的Gamma系數(shù)并非為一個(gè)單一的固定值，而是每個(gè)圖像中的每一個(gè)像素對應(yīng)一個(gè)Gamma值。實(shí)際測量中，較難用一個(gè)Gamma值去描述整幅測量圖像，本文通過建立理論圖像與投射圖像之間的關(guān)系，建立了相應(yīng)的等式關(guān)系，并通過利用對數(shù)關(guān)系將指數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系，從而利用最小二乘精確求解出圖像中每個(gè)像素點(diǎn)所對應(yīng)的Gamma系數(shù)。在求解出相應(yīng)的Gamma系數(shù)后，根據(jù)相鄰像素Gamma系數(shù)變化較小的特性，采用固定閾值區(qū)間來去除異常的Gamma值。針對圖像邊緣處像素Gamma值缺失的情況，采用了二次曲線進(jìn)行插值，從而獲得全場的Gamma值。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，使用本文提出的方法可有效地計(jì)算出全場像素所對應(yīng)的Gamma系數(shù)，并用搭建的單目結(jié)構(gòu)光系統(tǒng)，對一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)球進(jìn)行了測量，進(jìn)行Gamma校正后球擬合的標(biāo)準(zhǔn)差由0.053mm降低至0.021mm，球徑誤差均保持在0.02mm內(nèi)，證明了本文方法的有效性。

二、原理及數(shù)學(xué)模型

（一）Gamma系數(shù)數(shù)學(xué)模型

在一個(gè)暗室情況下，即無環(huán)境光干擾，可得到以下的公式：

（1）

上式中，I_c表示相機(jī)采集的圖像，I_p表示理論投射灰度，α表示縮放系數(shù)，γ表示Gamma系數(shù)。

若有多組數(shù)據(jù)，則可以得到以下關(guān)系：

（2）

將上式中相鄰兩組數(shù)據(jù)做除法運(yùn)算，并取對數(shù)可得：

（3）

上式中只有γ為未知數(shù)，則可設(shè)：

（4）

故可得n-1個(gè)誤差方程式：

（5）

根據(jù)誤差方程使用最小二乘進(jìn)行求解γ，最終的解為：

（6）

（二）固定閾值區(qū)間去異常值

本文中針對單個(gè)像素計(jì)算每個(gè)像素所對應(yīng)的Gamma系數(shù)，如存在噪點(diǎn)，則會(huì)使計(jì)算出的Gamma值呈現(xiàn)異常，異常的Gamma值則會(huì)使校正像素值出現(xiàn)異常，從而影響最終的解算。

考慮鄰近區(qū)域的Gamma值較為接近，不存在Gamma值差異較大的情況，將中心點(diǎn)與閾值進(jìn)行比較，若不在閾值區(qū)間內(nèi)，則視為異常值，剔除，并用雙線性插值計(jì)算相應(yīng)的Gamma系數(shù)。因原理較為簡單，故不再贅述。

（三）二次曲線插值

當(dāng)dlp投射的圖案沒有占滿整個(gè)CCD采集的圖像時(shí)，則無法保證所有像素都含有相應(yīng)的Gamma系數(shù)。缺失相應(yīng)的Gamma系數(shù)則會(huì)無法保證在實(shí)際應(yīng)用中解算出的點(diǎn)云具有全場的精度一致性。故需要進(jìn)行相應(yīng)的插值操作，以保證所有像素都有對應(yīng)的Gamma系數(shù)。

本文采用二次曲線插值的方法對缺失Gamma系數(shù)的像素進(jìn)行插值。首先對行上的像素進(jìn)行Gamma系數(shù)計(jì)算，二次曲線的公式如下：

（7）

x表示像素的x方向坐標(biāo)值，f（x）則表示每個(gè)相應(yīng)坐標(biāo)的Gamma系數(shù)，a，b，c則表示二次曲線的系數(shù)，為待計(jì)算系數(shù)。

本文中認(rèn)為相鄰的Gamma系數(shù)變化較小，采用局部擬合的方式進(jìn)行二次曲線擬合。首先在行中進(jìn)行搜索，若五個(gè)相鄰像素點(diǎn)中有一個(gè)像素點(diǎn)缺失，則利用其余四個(gè)點(diǎn)進(jìn)行二次曲線擬合，求解相應(yīng)二次曲線系數(shù)，然后計(jì)算出缺失像素的Gamma系數(shù)。求出行方向二次曲線系數(shù)abc即可完成插值。行方向計(jì)算完成后再沿列方向進(jìn)行相應(yīng)的操作，即可完成Gamma系數(shù)的全場覆蓋。

三、實(shí)驗(yàn)及結(jié)果

（一）實(shí)驗(yàn)步驟

根據(jù)推導(dǎo)的最小二乘Gamma系數(shù)求解式（6），只需提供每張圖像中對應(yīng)像素點(diǎn)的灰度值，即可進(jìn)行求解。

本文的實(shí)施方案如下：

（1）在一個(gè)暗室環(huán)境下向一塊白板投射一系列純色灰度圖像，灰度值為0-255，采樣間距為5，投圖期間設(shè)備保持靜止；

（2）利用式（6）計(jì)算每個(gè)像素的Gamma系數(shù)；

（3）采用中值濾波去除異常Gamma值；

（4）邊緣部分無Gamma值則采用。

（二）實(shí)驗(yàn)

本文選取了海康MV-CA013-21UM型號(hào)的相機(jī)，鏡頭為浩藍(lán)的12mm鏡頭，騰聚DLP3000型號(hào)的光機(jī)，搭建了如圖1所示的單目結(jié)構(gòu)光系統(tǒng)。

在最佳工作距處向一白色平板分別投射灰度值為0，5，10，…，255的純色灰度圖，采集得到的圖像如圖2所示。

按式（6）計(jì)算出的Gamma系數(shù)，并經(jīng)過固定閾值區(qū)間去異常值后的結(jié)果如圖3所示，采用二次曲線插值后的全場Gamma系數(shù)如圖4所示。

向一光滑白板投射頻率為1的四步相移的正弦光柵。將采集的數(shù)據(jù)直接解包裹，在將采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行Gamma校正后進(jìn)行解包裹，取圖像中的第500行進(jìn)行比對，可以清晰地看出誤差降低有著明顯的降低。

四、實(shí)際應(yīng)用

采用本文所搭建的單目結(jié)構(gòu)光系統(tǒng)，采用三頻四相的正弦光柵對一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)球進(jìn)行了測量，標(biāo)準(zhǔn)球的直徑為25.4mm。測量結(jié)果如表1所示。

在進(jìn)行Gamma校正后，球的表面明顯變得更加光滑，這直接體現(xiàn)在表1中的擬合球的標(biāo)準(zhǔn)偏差上，由0.0469mm降低至0.0183mm，有了較為明顯的提升。相對比下，球的直徑誤差都保持在0.02mm內(nèi)，精度較高。同時(shí)驗(yàn)證了本文所提出方法的有效性。

五、結(jié)語

本文所提出的方法只需在測量前向一白板投射一系列純色灰度圖，采用最小二乘法即可計(jì)算出大部分像素對應(yīng)的Gamma值。再通過固定閾值區(qū)間去異常值及二項(xiàng)式插值即可得到全場像素對應(yīng)的Gamma值，從而可以對采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行Gamma校正。在球徑誤差基本不變的情況下，球的標(biāo)準(zhǔn)偏差由0.0469mm降低至0.0183mm，驗(yàn)證了本文所提出的方法的有效性。

本文所提出的方法未考慮環(huán)境光的影響，實(shí)驗(yàn)中環(huán)境光影響較弱，下一步需考慮環(huán)境光的影響，并進(jìn)行相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)，以提高該方法的實(shí)用性。

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作者單位：未來宇航（上海）航天科技有限公司

責(zé)任編輯：張津平 尚丹