初中函數“一題多變”的設計與訓練

【摘" 要】 隨著新課程改革的持續推進，中學數學教學愈發重視培養學生的思維能力和解題技巧。其中，“一題多變”作為一種高效的教學方法，對加深學生對知識點的理解具有顯著作用。文章以二次函數為例，深入探討了初中函數教學中“一題多變”的設計與訓練。首先，詳細闡述了“一題多變”的概念及其在教學中的重要意義；其次，分析了二次函數“一題多變”的具體設計策略；最后，討論了如何在課堂教學、課后作業以及測試中有效運用“一題多變”的方法。

【關鍵詞】 初中函數；一題多變；二次函數

一、“一題多變”的概念和意義

（一）“一題多變”的概念

“一題多變”的教學理念源自對學生認知過程的深入洞察。它通過對一個基本題目進行多樣化的變換，衍生出一系列新的問題，旨在激發學生的多維度思考。這種教學方法在二次函數的教學中，能夠引導學生從多個角度和層面去分析和解決問題。

（二）“一題多變”的意義

1. 思維拓展的價值

“一題多變”對培養學生的思維能力具有顯著價值，尤其是靈活性和深刻性。以二次函數為例，通過調整系數a、b、c的值，學生可以觀察到函數圖像的變化，進而鍛煉其觀察力和分析能力。同時，通過改變函數的定義域、值域等條件，引導學生思考如何求解函數的最值，這有助于培養他們的創新思維和問題解決能力。

2. 知識鞏固的作用

“一題多變”有助于加深學生對二次函數知識的理解與掌握。在二次函數的教學中，學生需要掌握函數的解析式、圖像特征、性質等核心知識。通過“一題多變”，學生可以在不同的情境下應用這些知識，從而加深對它們的理解和記憶。例如，在學習二次函數y=ax2+bx+c時，通過調整a、b、c的值，讓學生求解函數的頂點坐標、對稱軸、最值等問題，這要求學生熟練運用二次函數的頂點公式、對稱軸公式等知識，進而鞏固這些知識點。

二、二次函數“一題多變”的設計策略

（一）基于知識點的變化

以二次函數的性質、圖像等知識點進行題目變化，能讓學生更深入地理解二次函數的本質特征，提高學生的思維能力和解題技巧。

1. 性質變化的案例分析

二次函數的性質包括對稱軸、頂點坐標、最值等。通過改變這些性質，可以設計出一系列新的題目。例如，已知二次函數y=ax2+bx+c的對稱軸為x=2，經過點（1，3），求函數解析式。將對稱軸變為x=-1，其他條件不變，讓學生重新求解函數解析式。這樣的變化可以讓學生更加深入地理解對稱軸對二次函數的影響。再如，二次函數y=x2-2x+3，已知其最小值為2。將函數變為y=x2-2x+k，且最小值為4，求k的值。通過這樣的變化，學生可以進一步掌握二次函數最值的求法，以及函數系數與最值之間的關系。

2. 圖像變化的具體方法

首先，二次函數的圖像變化可以通過改變開口方向、平移、軸對稱、旋轉等方式來實現。例如，將二次函數y=x2的圖像開口方向變為向下，得到y=-x2。讓學生比較兩個函數的圖像特征，如對稱軸、頂點坐標、最值等有何不同。又如，函數y=（x-1）2+2，可以進行平移變化。向右平移2個單位，得到y=（x-3）2+2；向上平移3個單位，得到y=（x-1）2+5。通過這樣的變化，讓學生掌握函數圖像平移的規律，即“左加右減，上加下減”。

其次，二次函數的軸對稱變化也很常見。例如，函數y=x2關于y軸對稱的函數為y=（-x）2=x2；關于x軸對稱的函數為y=-x2。通過這樣的變化，讓學生理解軸對稱對函數圖像的影響，以及如何根據軸對稱的性質求解函數解析式。

此外，二次函數的旋轉變化也可以作為題目設計的一種方法。例如，將函數y=x2繞原點旋轉180°，得到y=-x2。通過這樣的變化，讓學生掌握旋轉對函數圖像的影響，以及如何根據旋轉的性質求解函數解析式。

（二）結合實際問題的變化

二次函數在實際生活中有著廣泛的應用，將其與實際情境結合進行題目設計，能夠讓學生更好地理解二次函數的實際意義，提高學生運用數學知識解決實際問題的能力。

1. 生活場景中的二次函數問題

（1）在購物場景中，可以設計這樣的問題：某商店銷售一種進價為每件40元的商品，售價為每件60元時，每天可賣出80件。若售價每提高1元，銷售量就減少2件。設售價為x元，利潤為y元。

變化一：求利潤y與售價x之間的函數關系式。

根據利潤=（售價-進價）×銷售量，可得y=（x-40）［80-2（x-60）］，化簡后為y=-2x2+280x-8000。

變化二：當售價為多少元時，利潤最大？最大利潤是多少？

二次函數y=-2x2+280x-8000，其對稱軸為x=-280÷（-4）=70。當售價為70元時，利潤最大。將x=70代入函數可得最大利潤為y=-2×702+280×70-8000=1800元。

（2）在工程問題中，比如某工程隊要修建一個矩形場地，場地的一邊靠墻，另外三邊用長為60米的籬笆圍成。設垂直于墻的一邊長為x米，場地面積為y平方米。

變化一：求面積y與邊長x之間的函數關系式。

可得y=x（60-2x）=-2x2+60x。

變化二：當邊長為多少時，矩形場地的面積最大？其最大面積又是多少？

函數y=-2x2+60x，對稱軸為x=-60÷（-4）=15。當邊長為15米時，場地面積最大。將x=15代入函數可得最大面積為y=-2×152+60×15=450平方米。

2. 幾何圖形與二次函數結合

（1）二次函數與三角形結合，可以設計這樣的問題：已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且△ABC是直角三角形。

變化一：求拋物線的解析式。

設A（x1，0），B（x2，0），C（0，c）。根據直角三角形的性質，利用勾股定理可得AB2=AC2+BC2。根據韋達定理求出x1+x2和x1x2的值，再結合點C的坐標，求出a、b、c的值，從而確定拋物線的解析式。

變化二：若點P是拋物線上的一點，且△PAB的面積為12，求點P的坐標。

根據三角形面積公式，設點P的坐標為（m，n），可得S△PAB=|AB|×|n|=12。再結合拋物線的解析式，求出點P的坐標。

（2）二次函數與四邊形結合，可以這樣設計：拋物線y=x2-4x+3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C。以A、B、C、D四點為頂點的四邊形是平行四邊形。

變化一：求點D的坐標。

設D（x，y）。根據平行四邊形的性質，對邊平行且相等。分情況討論當AB為邊和當AB為對角線時，利用中點坐標公式求出點D的坐標。

變化二：若點P是拋物線上的一點，且四邊形PABC的面積為15，求點P的坐標。

先求出△ABC的面積，再根據四邊形PABC的面積為15，求出△PAB的面積。設點P的坐標為（m，n），利用三角形面積公式求出點P的坐標。

三、二次函數“一題多變”的訓練實踐

（一）在課堂教學中的應用

1. 教師引導

在課堂教學中，教師可以通過多種方式引導學生進行題目變化和思考。首先，教師可以從一個簡單的二次函數問題入手，如已知二次函數y=x2+2x-3，求其頂點坐標和對稱軸。然后，教師可以逐步引導學生進行變化，如改變函數的系數、增加或減少項數等。可以將函數變為y=2x2+4x-6，讓學生觀察函數圖像的變化，并思考頂點坐標和對稱軸的變化規律。

其次，教師還可以通過提問的方式引導學生進行思考。教師可以問：“如果函數的定義域發生變化，函數的圖像會怎樣變化？”“如果函數與直線相交，會產生哪些新的問題？”通過這樣的提問，激發學生的思考，引導學生進行題目變化。

最后，教師可以利用多媒體教學工具，如幾何畫板等，動態展示二次函數的圖像變化，幫助學生更好地理解題目變化的過程和結果。例如，教師可以通過幾何畫板展示函數的平移、軸對稱、旋轉等變化，讓學生直觀地感受函數圖像的變化規律。

2. 學生參與

在課堂上，學生可以通過多種方式參與“一題多變”的教學活動。首先，學生可以在教師的引導下，自己動手進行題目變化。例如，學生可以將一個已知的二次函數問題進行條件變化，如改變函數的系數、定義域、值域等，然后嘗試求解新的問題。

其次，學生還可以通過小組合作的方式參與“一題多變”的教學活動。例如，教師可以將學生分成小組，每個小組選擇一個二次函數問題進行變化，并在小組內進行討論和求解。然后，每個小組可以派代表向全班同學展示他們的變化過程和解題方法，其他小組的同學可以進行提問和評價。

最后，學生還可以通過課堂討論的方式參與“一題多變”的教學活動。例如，教師可以提出一個二次函數問題，讓學生進行思考和討論，然后邀請學生發表自己的觀點和解題方法。在討論過程中，學生可以互相啟發，共同探索不同的解題方法和變化方式。

（二）在課后作業與測試中的體現

二次函數“一題多變”在課后作業和測試中具有重要的應用價值，可以幫助學生更好地鞏固知識、提高思維能力和解題技巧。

1. 作業設計的多樣性

在課后作業設計中，可以采用多種類型的“一題多變”方式，以滿足不同學生的學習需求和能力水平。可以設計基礎型的“一題多變”作業，如已知二次函數y=ax2+bx+c的頂點坐標為（1，2），且經過點（2，3），求函數解析式。然后進行變化，將頂點坐標變為（2，3），其他條件不變，讓學生再次求解函數解析式。這種基礎型的作業可以幫助學生鞏固二次函數的基本知識點，如頂點坐標公式、待定系數法等。

2. 測試中的題目變化策略

在測試中，可以運用“一題多變”的策略來考查學生的知識掌握程度和思維能力。

首先，可以通過改變問題的條件來考查學生的應變能力。例如，在測試中給出一個二次函數的問題，如已知二次函數y=ax2+bx+c的對稱軸為x=2，且經過點（1，3），求函數解析式。然后在同一道題中改變條件，如將對稱軸變為x=-1，讓學生繼續求解函數解析式。這樣可以考查學生對二次函數對稱軸性質的理解和運用能力。

其次，可以通過改變問題的題型來考查學生的綜合能力。例如，在測試中先給出一個二次函數的應用題，如某商店銷售一種進價為每件40元的商品，售價為每件60元時，每天可賣出80件。若售價每提高1元，銷售量就減少2件。設售價為x元，利潤為y元，求利潤y與售價x之間的函數關系式。然后在同一道題中改變題型，如要求學生求出當售價為多少元時，利潤最大？最大利潤是多少？這樣可以考查學生對二次函數實際應用問題的分析和解決能力。

四、結語

本文以二次函數為范例的初中函數“一題多變”教學方法，充分展現了其在初中數學教學中的重要地位和深遠影響。這種方法不僅極大地豐富了教學手段，還有效激發了學生的學習興趣和創新思維，顯著提升了學生的數學思維能力和解題技巧。展望未來，在初中函數的教學中，教師應進一步深化“一題多變”的應用與研究，不斷探索并實踐更為高效的教學方法和策略，以期全面提升數學教學的質量。

參考文獻：

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