基于UR16e 機械臂的運動軌跡規劃與仿真

摘要：為提高UR16e機械臂運動軌跡的平滑度和穩定性，探討七次多項式插值法的應用效果。基于UR16e的基本參數，在機械臂多個關節處建立局部坐標系，構建改進型Denavit-Hartenberg參數的機械臂運動學模型，并對機械臂的正運動和逆運動進行仿真分析。七次多項式插值法不僅能夠控制初始和終止位置、速度及加速度，還能控制加加速度，從而使軌跡在這些條件下更加平滑和穩定。因此，文章采用五次多項式插值法和七次多項式插值法分別對UR16e機械臂各關節的運動軌跡進行MATLAB仿真分析。通過對比發現，與五次多項式插值算法相比，七次多項式插值算法能夠顯著提高機械臂運行軌跡的平滑度和穩定性，更適用于需要精細控制速度和加速度變化的高精度任務。

關鍵詞：機械臂；MATLAB；五次多項式插值法；七次多項式插值法；UR16e

中圖分類號：TP181 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2025）02-0081-04 開放科學（資源服務） 標識碼（OSID） ：

0 引言

機械臂作為一種模擬人類手臂的機械裝置，能夠實現對物體的抓取和搬運功能，大幅提高工業生產效率、降低操作工人勞動強度和危險性，因此在制造業領域得到了廣泛應用。正確分析運動學特性是實現機械臂精確控制的關鍵。當前，關于運動學的分析和路徑規劃的研究已取得重要進展，其中包括多種控制方法和算法的優化，并通過仿真分析和實驗驗證等方法對機械臂運動控制與軌跡規劃的性能進行評估和驗證。

早期的機械臂運動軌跡研究多采用三次多項式插值法，近年來，五次多項式插值法、七次多項式插值法以及更高階多項式插值法成為研究熱點。2017年，羅天洪和馬力設計了一種可以在隧道空間靈活運動的18關節六足仿蜘蛛機器人，并運用D-H建模方法對仿蜘蛛機器人進行運動學建模。基于推導的逆運動學方程式，他們采用蒙特卡洛法和過路徑點的三次多項式插值算法分別對末端可達空間和避障軌跡進行了路徑規劃和仿真分析[1]。2018年，王君等人根據D-H參數建立了UR5機器人三維數學模型，對UR5機器人進行了正運動學和逆運動學分析，并通過MATLAB仿真驗證了機器人運動學三次多項式插值法模型的準確性[2]。2022年，任軍等人以ER5六自由度機械臂為研究對象，建立了ER5的D-H參數機械臂模型，并通過MATLAB仿真驗證了運動學分析的正確性[3]。同年，Fang等人首先建立了機器人的運動學模型，通過MATLAB仿真研究了七自由度機器人的軌跡規劃，研究發現七次多項式插值法比三次多項式插值法得到的運動加速度更具連續性，從而能夠提高各個關節的軌跡平滑性[4]。2024年，周揚等人通過建立DH參數仿真研究了六關節機器人運動特性，從而驗證了相關理論的正確性[5]。2024年，Liao以PUMA560機器人為研究對象，通過改進的D-H參數建立了每個關節的局部坐標系，采用五次多項式插值算法獲得了機器人關節角度、角速度和角加速度隨時間變化的特性曲線，有效驗證了D-H參數設計的合理性，并證明五次多項式插值法能夠使軌跡更加平滑[6]。

綜上所述，國內外現有研究主要集中于三次多項式插值法、五次多項式插值法或七次多項式插值法的軌跡規劃研究，但關于五次多項式插值法與七次多項式插值法差異性的比較研究較為鮮見。因此，本研究分別采用五次多項式插值法和七次多項式插值法對機械臂各關節進行軌跡規劃，利用MATLAB提供的機器人工具箱對機械臂進行建模以及軌跡規劃仿真。本研究對后續相關研究具有重要的理論意義，并為相關研究提供參考價值。

1 UR16e 結構參數

Denavit-Hartenberg模型（D-H模型） 是機器人運動學中用于描述機器人運動學的一種參數化方法。該方法通過設置四個參數來描述機器人或機械臂的連桿之間的相對位置和姿態，即連桿長度、連桿轉角、關節偏距和關節角。D-H模型主要應用于機器人運動學分析，通過這些參數可以計算出機器人末端執行器相對于機器人基座的位置和姿態。這種方法是一種通用且靈活的建模方法，可適用于簡單和復雜的機器人系統[7]。

D-H模型包含兩種建模方式：標準D-H模型和改進型D-H模型。由于標準D-H建模方式在處理復雜機器人運動學問題時可能會出現誤差，容易導致模型中多個軸重疊，并且在處理機器人奇異性問題時容易出現問題，而改進型D-H建模方式避免了這些缺點。改進型D-H模型在計算機數值解中使用更高精度的數值計算，使得計算結果更加準確且接近真實情況，以更好地適應不同的機器人系統和任務需求，具有更好的可擴展性。在實際應用中，可以根據機器人的關節數量和類型來設置參數，從而提高計算效率和精度[8]。

兩者的對比見表1，其中：a—連桿的長度，α—連桿的扭角，d—兩個相鄰連桿的長度，θ—兩個連桿之間的夾角。

本文采用改進型D-H模型對UR16e機械臂模型進行分析。改進型D-H模型的坐標系是根據右手定則確定的。首先，Z軸的確定規則是根據關節類型判斷：若關節是旋轉關節，Z軸按照右手定則，大拇指指向為正方向，關節轉角θ為關節變量；若關節是移動關節，Z軸沿直線運動方向的正方向，連桿偏移d為關節變量。

其次，X軸的確定規則如下：當兩關節的Z軸既不平行也不相交（即呈異面直線） 時，取兩Z軸的公垂線方向作為X軸方向；若兩關節的Z軸平行，則兩Z軸之間存在無數條公垂線，可選擇與前一關節的公垂線共線的一條公垂線作為X軸；若兩關節的Z軸相交，則取兩條Z軸的叉積方向作為X軸。

最后，Y軸的方向根據右手定則確定即可。

根據上述規則，可以創建UR16e的連桿坐標系，如圖1所示。

根據各個關節的坐標系，確定關節與關節之間的坐標系的變化規則。具體操作如下：

（1） 通過坐標系i - 1的Zi - 1軸旋轉θi角度；

（1） 通過坐標系i - 1的Zi - 1軸旋轉θi角度；

（3） 沿著新的Xi軸平移ai距離；

（4） 圍繞Xi軸旋轉αi的角度。

UR16e機械臂改進型D-H參數，如表2所示。

2 運動學分析

根據上述D-H坐標系變換規則，根據公式（1） 確定D-H參數的坐標變換的關系，從而確定齊次變換矩陣建立運動學方程數據模型（六自由度機械臂的運動模型） ，見公式（2） 。

式中：cθi—cos（θ ） i ；s （θ ） i —sin（θ ） i ；T i - 1 i —相鄰兩個連桿的齊次變換矩陣。

根據公式（2） 可以確定UR16e機器人末端姿態，即：末端的齊次變換矩陣，如式（3） 所示。

T60 = T10 ? T21 ? T32 ? T43 ? T54 ? T65 （3）

根據上述的齊次變換矩陣可以進行運動學分析，其中運動學分析包含正運動學分析和逆運動學分析。正運動學是已知θ1、θ2、θ3、θ4、θ5 和θ6 關節轉角參數，根據公式（2） 分別求出T1、0 T2、1 T3、2 T4、3 T5、4 T65，帶入公式（3） 中，求出T60即機械臂末端執行器在空間的位姿矩陣，如公式（4） 所示。

逆運動學分析是正運動學的逆過程，即通過末端執行器在空間的位姿矩陣，求解每個關節的轉角。逆運動學分析是一個復雜的過程，因為在根據位姿求解每個關節角時，通常會存在多解的問題。一般情況下，需要結合創建的D-H模型進行具體分析。求解逆運動學的主要方法包括代數解析法和幾何解法，本文采用的是代數解析法。

例如，求解某關節角θ1 時，將公式（4） 等號兩邊分別左乘T10 （θ1 ）-1和右乘T65 （θ6 ）-1，得到公式（5） 。利用公式（5） 中矩陣的第二行第四列的元素相等關系，可以得到公式（6） 。根據公式（6） ，即可求出關節角θ1 的值，如公式（7） 所示。其他關節角度的求解方法類似，通過逐步代入和矩陣運算即可完成逆運動學的分析。

3 運動學仿真

根據表2 的D-H 參數表，使用MATLAB 提供的Robotics Toolbox工具箱相關函數對UR16e機械臂進行建模。初始狀態如圖2（a） 所示，通過調節關節轉角參數，可以使機械臂運動到不同的位置。例如，當機械臂各關節變量設置為 [40°， 80°， 60°， 40°， 90°， 40°] 時，其對應的位置如圖2（b） 所示。

4 軌跡規劃與仿真

4.1 軌跡規劃

在機器人和自動化領域，軌跡規劃是一項關鍵任務，指的是從一個位置平滑、高效地移動到另一個位置。不穩定的運動不僅會加劇關節的磨損，還會引起各個機械臂的振動。多項式插值是一種廣泛應用的軌跡規劃方法，它可以根據給定的起點和終點條件，生成符合要求的曲線軌跡。多項式插值主要包括三次多項式軌跡規劃、五次多項式軌跡規劃和七次多項式軌跡規劃。其中，三次多項式插值法的方程中包含4個位置參數，雖然求解簡單，但由于只能設置軌跡和速度的約束條件，無法設置加速度的約束條件，其加速度曲線不是連續的，這會導致機械臂在運動過程中出現抖動現象。

五次多項式方程中有6個未知數。五次多項式常用于簡單任務，因為它能確保通過6個控制點。五次多項式軌跡規劃簡單且計算成本低，適合要求較少的軌跡規劃，特別是僅需確保初始和終止時的速度、加速度滿足一定條件的情況，但可能無法滿足更復雜的運動需求。由于只控制到加速度，因此在某些情況下，盡管位置和速度變化平滑，但加加速度（也稱為躍變） 可能會出現突變。這可能導致系統在執行過程中產生抖動，影響軌跡的穩定性。其中，五次多項式的表達式如公式（8） 所示。

公式（8） 包含5個未知變量，分別是a0、a1、a2、a4 和a5，其中：θ（t） 表示軌跡曲線函數，θ?（t） 表示速度曲線函數，θ?（t） 表示加速度曲線函數。假設從起始轉角運動到目標轉角時，起始速度和終點速度為0，起始加速度和終點加速度為0，因此五次插值法的約束條件如公式（9） 所示。公式（9） 代入公式（8） ，可以求出五次多項式的五個未知數，如公式（10） 所示。隨后，可以通過MATLAB 繪制運動軌跡、運動速度和加速度的曲線圖。

因此，本研究提出了七次多項式軌跡規劃。七次多項式能夠在保證初始和終止位置、速度、加速度的同時，還能控制加加速度，使得軌跡在這些條件下更加平滑和穩定。通過增加對加加速度的控制，軌跡的平滑度得到進一步提升，不僅位置和速度平滑，加速度的變化率也更加平滑。這種方法特別適合需要更高平滑度的軌跡規劃場景。

因此，七次多項式通常用于需要精細控制速度和加速度變化的高精度任務。例如，在一些要求高動態性能的場景中（如工業機器人和高速軌跡跟蹤任務） 尤為重要。

七次多項式的方程如公式（11） 所示。公式（11） 包含8個未知數，分別是a0、a1、a2、a3、a4、a5、a6 和a7，其中，θ（t） 表示軌跡曲線函數，θ?（t） 表示速度曲線函數，θ?（t）表示加速度曲線函數。假設從起始轉角運動到目標轉角時，起始速度和終點速度為0，起始加速度和終點加速度為0，因此七次插值法的約束條件如公式（12） 所示。將公式（12） 代入式（11） ，可以求出8個未知變量，如公式（13） 所示。隨后，可以通過MATLAB仿真出機械臂每個關節的運動軌跡、運動速度和加速度的曲線。

4.2 仿真分析

本文使用MATLAB提供的Robotics Toolbox工具箱對UR16e進行建模及軌跡規劃仿真。采用機械臂的初始狀態作為起點，即各個關節的起始轉角為[0°，0°， 0°， 0°， 0°， 0°]，各個關節的目標轉角為[40°， 80°，60°， 40°， 90°， 40°]。分別采用五次多項式插值法和七次多項式插值法實現機械臂從起點到終點的軌跡規劃。圖3展示了基于五次多項式插值法和七次多項式插值法得到的每個關節的位置、速度和加速度的曲線圖。

由于UR16e具有六個關節，圖3中每一行分別表示每個關節運行的位置、速度和加速度曲線。由于每個關節都是從起始轉角運行到目標轉角，因此無論是基于五次多項式插值法還是七次多項式插值法，位置曲線（圖中標注為：position） 都是相同的。其中，紅色曲線表示七次多項式插值法的速度（圖中標注為：ve?locity） 和加速度（圖中標注為：acceleration） 的MATLAB 仿真結果，藍色曲線表示五次多項式插值法的速度和加速度的MATLAB仿真結果。

從圖3的分析可知，基于同一段軌跡，五次多項式插值法由于僅控制位置、速度和加速度，其速度曲線在起點和終點的變化相對陡峭，可能會出現加速度的躍變，導致系統的速度變化不夠平滑。而七次多項式插值法通過額外控制加加速度，使得速度曲線更加平滑，尤其是在起點和終點處。七次多項式插值法的曲線不僅在位置和速度上平滑，在加速度和加加速度的變化上也更加平順。

5 結論

本文建立了UR16e的連桿坐標系以及改進型DH參數表，使用MATLAB提供的Robotics Toolbox工具箱對UR16e進行了建模，并對其六個關節的軌跡進行了研究。分別利用五次多項式插值法和七次多項式插值法對軌跡進行規劃，通過MATLAB仿真得到了每個關節的運動曲線、速度曲線和加速度曲線。通過仿真結果可知，七次多項式插值法得到的速度曲線和加速度曲線在開始運動和結束運動時比五次多項式插值法更加平滑。本文的研究為后續軌跡規劃的研究提供了參考價值，但由于本文僅進行了理論研究，后續可以將此理論研究成果應用于實際場景進行驗證。

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【通聯編輯：唐一東】