有關勾股定理的常見考點

【摘要】勾股定理作為初中數學的必考知識點，常以綜合題的形式出現在中考的壓軸板塊中，給學生帶來一定困難.本文總結初中階段有關勾股定理的常見考點，并結合具體題目給出對應的解題思路，以期給學生帶來啟示.

【關鍵詞】勾股定理；初中數學；解題技巧

勾股定理是初中幾何板塊的重要考點，其內容是：在一個直角三角形中兩直角邊的平方的和等于斜邊的平方.轉化成數學語言解釋即為：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別是a、b、c，則有a2+b2=c2.要想解決勾股定理的相關問題，首先就得明確勾股定理的常見考點及出題形式.本文就以初中階段勾股定理的常見考點和具體習題為例，談談應如何備考有關勾股定理的相關內容，希望能給學生帶來啟示.

考點1勾股定理的直接應用

勾股定理的直接應用有三種出題形式：第一種，利用勾股定理的定義求解直角三角形的第三邊；第二種，判斷線段所在的三角形為直角三角形，并根據勾股定理求出對應的兩邊長；第三種，勾股定理在實際生活中的應用.在解決此類問題時，需要把握勾股定理的數量關系，利用a2+b2=c2這一公式直接求解即可.這種題型難度不高，主要是對勾股定理的基本定義的考查.

例1如圖1，一棵大樹在一次強臺風中折斷倒下，大樹折斷前高度估計為18m，倒下后樹頂落在距樹根部大約12m處.這棵大樹離地面約（）m處折斷.

（A）3m.（B）4m.（C）5m.（D）6m.

解析設這棵大樹離地面約xm處折斷，則根據勾股定理列方程即可出到結論.

設這棵大樹離地面約xm處折斷，

根據題意得，x2+122=（18－x）2，

解得x=5.

答：這棵大樹離地面約5m處折斷.故本題正確答案為（C）項.

考點2勾股定理與特殊三角形

通常在含30°角的直角三角形中有：由勾股定理可得30°角所在的直角三角形三邊（從小到大）的比值為：1∶3∶2.勾股定理與等腰直角三角形：由勾股定理可得，等腰直角三角形三邊（從小到大）的比值為：1∶1∶2.勾股定理與等邊三角形：若等邊三角形的邊長為a，則結合勾股定理與30°角所在的直角三角形可得，等邊三角形的面積為：S等邊=34a2.所以，在解決特殊三角形的問題時，只需牢牢把握三角形的特點即可.

例2如圖2，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12cm，點D在邊AC上，以BD為邊在BD左上方作等邊△BDE.若∠CBD=45°，則點E到AB邊的距離為（）

（A）5cm.（B）52cm.

（C）6cm.（D）62cm.

解析過點E作EF⊥AB，先求出∠EBF=45°，EB=DB，根據勾股定理求出BD的長即可解答.

過點E作EF⊥AB，如圖3.

因為△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，

AB=12cm，

所以BC=6cm，∠ABC=60°，

因為∠CBD=45°，△BDE是等邊三角形，

所以BD=62cm=BE，

∠EBF=45°，

所以EF=BF=6cm，

所以點E到AB邊的距離為6cm.故本題的正確答案為（C）項.

考點3勾股定理的逆定理

所謂勾股定理的逆定理，就是指在△ABC中，若三角形的三邊分別是a、b、c，且滿足a2+b2=c2，則△ABC為直角三角形，且∠C=90°.若題目中給出的是角的關系，則根據已知條件以及三角形的內角和判斷是否有90°的角；若題目中給的是邊的關系則判斷三邊是否滿足勾股定理.

例3下列條件中，a、b、c分別為三角形的三邊，不能判斷△ABC為直角三角形的是（）

（A）a2+b2=c2.（B）∠A+∠B=∠C.

（C）a∶b∶c=1∶2∶3. （D）a=3，b=4，c=5.

解析根據勾股定理的逆定理，三角形內角和定理進行計算，逐一判斷即可解答.

（A）因為a2+b2=c2，

所以△ABC是直角三角形，不符合題意.

（B）∠A+∠B=∠C，

∠A+∠B+∠C=180°，

所以∠C=90°，

所以△ABC是直角三角形，不符合題意.

（C）a∶b∶c=1∶2∶3.，

12+22≠32，

所以△ABC不是直角三角形，符合題意.

（D）a=3，b=4，c=5，32+42=52，

所以△ABC是直角三角形，不符合題意.

即本題正確答案為（C）項.

考點4兩點間的距離公式

一般地，若平面直角坐標系中點A（x1，y1）與點B（x2，y2），利用勾股定理可得兩點間的距離公式為：AB=（x1－x2）2+（y1-y2）2（注意公式中坐標前后對應）.

例4已知平面直角坐標系內兩點A（3，1）和B（1，－2），那么A、B兩點間的距離等于.

解析直接根據兩點間的距離公式求解即可.

AB=（3－1）2+（1+2）2=13，即A、B兩點間的距離為13.故本題的正確答案為13.

結語

總的來說，勾股定理作為初中幾何板塊中的重要知識點，學生要引起重視.要能把握勾股定理的相關考點，并掌握對應的解題方法.當然，在日常的訓練和學習過程中，學生也要注意總結，保證在解題時不慌不亂，有理有據.