例析反比例函數(shù)與幾何圖形的結(jié)合

【摘要】在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，反比例函數(shù)與幾何圖形這兩個領(lǐng)域，看似是毫不相關(guān)、各自獨(dú)立的，實(shí)則卻密不可分.反比例函數(shù)是函數(shù)中一種特殊的類型，幾何圖形則是研究學(xué)習(xí)空間結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)內(nèi)容，當(dāng)這二者相互結(jié)合在一起，就會產(chǎn)生一系列有趣且又飽含深度的數(shù)學(xué)問題.本文具體討論幾種反比例函數(shù)與幾何圖形相互結(jié)合的實(shí)例與運(yùn)用.

【關(guān)鍵詞】反比例函數(shù)；初中數(shù)學(xué)；解題技巧

反比例函數(shù)是一種形似y=kx（其中k為常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)，它描述的是兩個變量之間的反比例關(guān)系，幾何圖形則是通過點(diǎn)、線、面等元素構(gòu)成的二維或三維形狀.

在數(shù)學(xué)這一領(lǐng)域中，經(jīng)常需要利用反比例函數(shù)的某些性質(zhì)描述幾何圖形的部分屬性，或者是通過形象直觀的幾何圖形表述反比例函數(shù)的變化規(guī)律.

1反比例函數(shù)與三角形的結(jié)合

三角形是幾何圖形中的一種基本圖形.在反比例函數(shù)的圖象上可構(gòu)建出三角形，以此研究三角形的性質(zhì).

例1如圖1所示，在一次函數(shù)y=13x（x≥0）圖象上有一A點(diǎn)，現(xiàn)過A點(diǎn)作出x軸的垂線l，點(diǎn)B是垂線l上的一點(diǎn)，連接A，B兩點(diǎn)，以線段AB作為斜邊，在其右側(cè)作出一個等腰直角三角形ABC.（注：B點(diǎn)在A點(diǎn)的上方）

假設(shè)某一反比例函數(shù)y=kx（xgt;0）的圖象恰好過點(diǎn)B、點(diǎn)C，此刻三角形OAB的面積是8，試求這個時候等腰直角三角形ABC的面積是多少.

解題思路分析點(diǎn)B與點(diǎn)C的位置，作輔助線.又已知三角形ABC是等腰直角三角形，可利用“斜邊上的中線等于斜邊長的一半”這一性質(zhì)，列出各邊之間的關(guān)系式.假設(shè)各點(diǎn)的坐標(biāo)，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)，列出計(jì)算方程式.代入三角形OAB的面積求解公式.最后便可算出三角形ABC的面積.

解析過點(diǎn)C作CD⊥y軸，交于點(diǎn)D，交線段AB于點(diǎn)E，如圖2所示.

由題意可知，△ABC是等腰直角三角形，斜邊上的中線等于斜邊長的一半，設(shè)AB=2a，則AE=BE=CE=a.

假設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為x，13x，

那么點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別是x，13x+2a，

x+a，13x+a.

因?yàn)辄c(diǎn)B，C在反比例函數(shù)的圖象上，

所以x13x+2a=x+a13x+a，可解得x=32a.

已知S△OAB=12AB·DE=12·2a·x=8，可解得a·x=8.

由以上所述可知，32a2=8，即a2=163，

最后可得出S△ABC=12AB·CE=12·2a·a=a2=163.

2反比例函數(shù)與平行四邊形的結(jié)合

平行四邊形是一種常見的幾何圖形，當(dāng)反比例函數(shù)的圖象與平行四邊形相結(jié)合時，可反過來利用平行四邊形的特有性質(zhì)，求解出反比例函數(shù)的某些未知量.

例2如圖3所示，平行四邊形OACB的兩條對角線相交于點(diǎn)E，此時雙曲線y=kxkgt;0經(jīng)過點(diǎn)A與點(diǎn)E.倘若平行四邊形OACB的面積是18，那么k=.

解題思路熟讀題目，作輔助線，分別過點(diǎn)A、點(diǎn)E作AM，EN垂直于x軸，并交x軸于點(diǎn)M與點(diǎn)N.根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，可知三角形AOM與三角形EON的面積相等.利用平行四邊形的性質(zhì)，以及三角形中位線的性質(zhì)，可得出OM=MN=BN.假設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入平行四邊形OACB的面積公式，可求出最后結(jié)果.

解析分別過點(diǎn)A、點(diǎn)E作AM，EN垂直于x軸，并交x軸于點(diǎn)M與點(diǎn)N，如圖4所示.

由圖4可知，AM∥EN，因?yàn)辄c(diǎn)A與點(diǎn)E在雙曲線上，可得出S△AOM=S△EON.

在平行四邊形OACB中，兩條對角線交于點(diǎn)E，由平行四邊形的性質(zhì)可知，AE=BE.

又因?yàn)锳M∥EN，故此可得出MN=BN=12AM，OM=12ON.

根據(jù)三角形中有關(guān)于中位線的性質(zhì)，可得出MN=BN.

故此可得出OM=MN=BN.

假設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為x，y，

S平行四邊形OACB=OB×AM=18，

可得出3x·y=18，即xy=6.

由雙曲線的解析式y(tǒng)=kx（kgt;0），可知k=xy=6.

綜上所述，k=6.

3結(jié)語

通過本文中對于例題的探討，不難看出反比例函數(shù)與幾何圖形這二者之間存在著緊密聯(lián)系.在求解此類問題時，可根據(jù)題目中給出的已知條件，聯(lián)系與之相關(guān)的定義與性質(zhì)，同時不要忘記運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，仔細(xì)觀察給出的圖象，以此來求出未知量.