壓軸題之相似三角形的相關討論

【摘要】初中數學的壓軸大題通常會涉及多個知識點，包括但不限于角、線段、圖形位置、動態幾何、方程與函數等.其中相似三角形是壓軸題常涉及的知識點，旨在考查學生綜合應用相似三角形相關知識點的能力.在解決相似三角形的壓軸題時，要把握“一大關鍵和兩條思路”.本文以實際習題為例，談應如何利用“一大關鍵和兩條思路”求解相似三角形的壓軸題.

【關鍵詞】相似三角形；初中數學；解題技巧

在解決有關相似三角形的壓軸題時，學生首先需要掌握一定的解題技巧和思路，把握常見的數學思想和方法.一般地，解答相似三角形的壓軸題的重點是把握好“一大關鍵和兩條思路”.所謂“一大關鍵”，是指務必找出那對“永恒不變的等角”，如果題目當中沒有等角，就必須抓住三角形的特殊性，找到特殊角.而“兩條思路”指的是：思路①，動點相似模型；思路②，分類討論（條件特殊化）.具體來說，在解決相似三角形的壓軸題型時，首先要找出永恒不變的等角，然后根據題意選擇使用思路①還是思路②.如果題目當中四條夾邊能夠輕松地用1個字符表達，則優先選擇思路①，否則選擇思路②本文以具體習題為例，討論應如何解決壓軸題中的相似三角形問題.

例1如圖1，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，點E是邊BC上的一點，AE⊥EF交CD于點F，點G在射線CD上且滿足EC2=CF·CG.連接AC，如果△AEC與以點E、F、G為頂點所組成的三角形相似，求BE的長.

解答連接AC，

因為∠AEC=∠AEF+∠FEC=90°+∠FEC，

∠EFG=∠FCE+∠FEC=90°+∠FEC，

所以∠AEC=∠EFG.

當△AEC與以點E、F、G為頂點所組成的三角形相似時，

①∠ACE=∠EGF，如圖1.1.

由△ABE∽△CBA得ABBC=BEAB，

即68=BE6，

所以BE=92.

②∠CAE=∠EGF，如圖1.2.

因為∠BAE=∠EGC，

所以∠BAE=∠CAE.

過點E作EH⊥AC于點H，

因為∠ABC=90°，

所以BE=EH.

因為∠EHC=∠B=90°，

∠ACB=∠HCE，

所以△EHC∽△ABC，

所以EHAB=CEAC，BEAB=CEAC.

因為四邊形ABCD為矩形，AB=6，AD=8，

所以AC=AB2+BC2=10，

所以BECE=ABAC=610=35，

所以BEBC=38，

所以BE=38BC=38×8=3.

綜上，BE=92或3.

題后分析根據解題技巧，先找題目中有沒有等角，觀察題目發現題目中有∠AEC=∠EFG這組等角關系，所以抓住這組等角分析.分析題意可知，圖形不屬于動點相似模型，所以采用第二種解題思路：分類討論.討論∠ACE=∠EGF和∠CAE=∠EGF兩種情況.

例2如圖2，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，點D為邊BC上一動點（與點B、C不重合），點E為AB上一點，∠EDB=∠ADC，過點E作EF⊥AD，垂足為點G，交射線AC于點F．

（1）如果點D為邊BC的中點，求∠DAB的正切值；

（2）當點F在邊AC上時，設CD＝x，CF＝y，求y關于x的函數解析式及x的取值范圍；

（3）聯結DF，如果△CDF與△AGE相似，求線段CD的長．

解答（1）（2）略.

（3）如圖3中，連接DF，作DH⊥AB于H．

因為∠GAE＝∠DAH，

∠AGE＝∠AHD，

所以△AGE∽△AHD，

因為△CDF與△AGE相似，

所以△CFD與△ADH相似，

所以CFDH=CDAH或CFAH=CDDH，

AH=AB-BH，BH=DH，DH=BD2=22（4-x），

所以4-2x22（4－x）=x42－22（4－x）或

x22（4－x）=4－2x42－22（4－x），

整理得x2+8x-16＝0，

或x2-16x+16＝0，

解得x＝42-4，

或x＝-42-4（舍棄），

或8-43，

或8+43（舍棄），

所以CD＝42-4或8-43.

當點F在直線BC下方時，同法可得CD=433.

綜上所述，滿足條件的CD的值為42－4或8-43或433.

題后分析根據解題技巧，先找題目中有沒有等角，觀察題目發現題目中有等角關系∠GAE＝∠DAH，∠AGE＝∠AHD，所以△AHD和△AGE相似.抓住這組等角分析.根據動點相似模型，直接得到CFDH=CDAH或CFAH=CDDH，以此構建等量關系，即可求得CD的值.

結語

當然，沒有永恒不變的題目，所謂的解題思路只是一個指引，具體應該怎么解答還需要學生靈活應用各項技巧.這就要求學生在日常的習題訓練中加強總結，豐富自己的知識儲備和“彈藥庫”，保證在考場上能充分發揮出自己的水平.