一種求解控制系統信號流圖傳遞函數的新方法

摘"要：采用梅森增益公式求取系統信號流圖的傳遞函數時，為了確保不會遺漏任何回路或前向通路，利用支路起、終節點構成的方陣來簡化梅森公式：將信號流圖中所有參與回路形成的節點依次標上序號，然后引入特征方陣，它將系統的復雜結構轉化為一個更簡潔的形式，有效地避免了傳統方法中容易出現的遺漏或重復計算的問題。這種矩陣表示法清晰地展現了節點間的連接關系，便于識別回路和前向通路。通過實例驗證，新方法與傳統的計算方法相比，在準確性和效率上都有了顯著的提升，尤其在處理節點眾多、結構復雜的信號流圖時，優勢更加明顯，極大地減少了計算的復雜度和出錯率。

關鍵詞：連續控制系統；信號流圖；傳遞函數；梅森增益公式

中圖分類號：TP13""文獻標識碼：A

分析和設計控制系統的首要工作是建立控制系統的數學模型［1］。自動控制理論中，數學模型有多種形式［2］。其中，傳遞函數是最基本和最重要的數學模型［3］。

連續控制系統的傳遞函數定義為零初始條件下，系統的輸出響應和輸入信號的拉氏變換之比［4］。求取傳遞函數已有了科學規范的方法：梅森增益公式。但當信號流圖較為復雜時，利用梅森公式往往會遺漏個別回路或前向通路。鑒于此，本文利用支路起、終節點的方陣形式來輔助梅森公式。

1"梅森增益公式簡介

1.1"信號流圖中的常用術語

《自動控制原理》教材中，給出了信號流圖中常使用的一些術語：

（1）輸入節點（源節點）：僅有輸出支路的節點；（2）輸出節點（阱節點）：僅有輸入支路的節點；（3）前向通路：起始于輸入節點，沿支路箭頭方向，終止于輸出節點的途徑［2］；（4）回路（閉通路）：起始及終止于同一節點，并與其他節點相遇不多于一次的通路。

1.2"求解傳遞函數的梅森公式

梅森公式如下：

P=1Δ∑nk=1pkΔk（1）

式中：

Δ=1-∑Lm1+∑Lm2-∑Lm3+…（2）

Lm1為各個回路的增益之和，……，Lmn為每n個互不接觸回路的增益乘積之和；P為從源節點到阱節點的傳遞函數；n為從源節點到阱節點的前向通路的數目；pk為從源節點到阱節點的第k條前向通路的增益；Δk為去除第k條前向通路后的Δ值［1］。

2"應用實例

在本節中將用一個實例來講述如何利用支路起、終節點的方陣形式輔助梅森公式。

利用梅森公式，求解圖1中閉環傳遞函數的步驟如下：

2.1"將節點依次標上序號

先需要確認是否存在兩類不參與形成回路的特殊節點：

第一類特殊節點：若某源節點僅有一條輸出支路（設該輸出支路的終點為節點Ⅰ，且該源節點到節點Ⅰ的增益為α）時，則該源節點不參與形成回路，且其到阱節點的前向通路增益等價于節點Ⅰ到阱節點的前向通路增益乘以α。

第二類特殊節點：若某阱節點僅有一條輸入支路（設該輸出支路的起點為節點Ⅱ，且該阱節點到節點Ⅱ的增益為β）時，則該阱節點不參與形成回路，且源節點到該阱節點的前向通路增益等價于源節點到節點Ⅱ的前向通路增益乘以β。

由梅森公式求傳遞函數僅涉及回路和前向通路，且前向通路增益位于傳遞函數的分子上。以上兩類特殊節點均不參與回路的形成，若舍去后，則形成新系統，求出新系統的傳遞函數φ，則原系統的傳遞函數φ即為αφ（僅存在第一類特殊節點）或βφ（僅存在第二類特殊節點）或αβφ（第一類、第二類特殊節點均存在）。因此，以上兩類特殊節點均不需要標注序號，以此來簡化后續運算，只需要在排除這兩類特殊節點后，將其余所有節點依次標上序號1、2、3、……即可，如圖2所示。

2.2"構建系統信號流圖的特征方陣A

該系統中的節點數為7個，因此構建一個7階方陣A，若存在一條起點為i、終點為j的支路（其中，i、j為節點的序號），則Aij=1；否則Aij=0。即方陣元素的行、列號分別為可能存在的支路的起、終點。

注意：當i=j時，形成的是一條起、終點均為同一點，且除該點外不經過其他任意節點的自回路。如該系統中增益為G9的回路，只經過節點3，其為自回路，A33=1，即方陣A中不為0的主對角線元素對應的即為信號流圖中的自回路。自回路不參與本文2.3節中回路的尋找過程，只在23節的最后重新計入回路數即可。所以，該系統的特征方陣A為：

2.3"尋找構成回路的連續支路

回路的起、終點為同一點，依次假設在2.1節中標注序號的各節點為回路的起、終點。而回路是由多條連續支路共同構成，當節點i同時為回路的起、終點時，認為構成這條回路的第1條支路的起點為i，第1條支路的終點為方陣A的第i行中不為0元素的列數。而第1條支路的終點為構成這條回路的第2條支路的起點，以此為依據，繼續尋找構成回路的連續支路，直至某條支路的終點為i，結束尋找。

在尋找過程中還需遵循以下5個原則：（1）除了起、終點為同一節點，回路經過2次之外，回路經過其他節點的次數均不多于一次；（2）依次假設節點1、2、3……為回路的起、終點，為避免回路的重復計數，若在以節點i為起、終點的回路的尋找過程中，出現了序號數小于i的節點，則認為不可能構成回路；（3）不存在以序號最大的節點為起、終點的回路；（4）若第k列元素均為0，則無支路以節點k為終點，即該節點僅有輸出支路，無輸入支路，為源節點，所以不存在以該源節點k為起、終點的回路；（5）同理，若第s行元素均為0，則不存在以節點s為起、終點的回路。

以尋找起、終點為節點4的回路的過程為例，如圖3所示：方陣A中第4行只有第5列的元素不為0，而第5行中第4列、第6列元素不為0，分4、6兩種情況尋找。

（1）4是起、終點的節點序號，從節點4出發，經過節點5后又回到節點4，即找到以節點4為起、終點的第一個回路。

（2）第6行中第3列、第7列元素不為0：3小于4，所以劃去第3列，留下第7列。而第7行中第1列、第6列元素不為0，再分以下兩種情況分別尋找：（Ⅰ）因1小于4，劃去第1列；（Ⅱ）節點6在當前的這條連續支路鏈中已出現過1次，也需劃去第6列。

至此，找到1條以節點4為起、終點的回路4→5→4。

圖3中，回路的尋找過程中共出現兩類無法構成回路的錯誤節點：第一類錯誤（×）：回路經過除起終點外的其他節點的次數多于一次；第二類錯誤（F）：回路經過序號數小于起終點序號的節點。

根據以上分析，回路的尋找過程應依次以節點1、2、3、4、5、6為起、終點，尋找到9個回路：①1→2→3→4→5→6→7→1、②1→2→6→7→1、③1→3→2→6→7→1、④1→3→4→5→6→7→1、⑤2→3→2、⑥2→6→3→2、⑦3→4→5→6→3、⑧4→5→4、⑨6→7→6。此外，還有自回路：⑩3→3。

對照信號流圖中形成回路的支路上的增益，可得：

2.4"尋找互不接觸回路

互不接觸回路是指不存在相同節點的回路，該系統中的每2個互不接觸回路分別為：

每3個互不接觸回路中任取2個也必定是互不接觸回路，尋找思路如下：

首先，統計在以上所有的每2個互不接觸回路，即式（5）中出現過的回路，有回路②、③、⑤、⑥、⑧、⑨、⑩。

其次，式（5）中③、⑥都僅出現一次，所以排除③、⑥后剩下的每2個互不接觸回路為②⑧、②⑩、⑤⑧、⑤⑨、⑧⑨、⑧⑩、⑨⑩這7個。

再次，在以上剩下的7個每2個互不接觸回路中，⑧的頻率出現最高，分別出現在⑧②、⑧⑤、⑧⑨、⑧⑩中，則在⑧與②、⑤、⑨、⑩之間分別連線，畫出下圖4（a）。

最后，還有互不接觸回路②⑩、⑤⑨、⑨⑩，則分別在②與⑩、⑤與⑨、⑨與⑩之間連線，以任意3個回路在圖中的位置作為頂點，若能構成三角形，則這3個回路就是每3個互不接觸回路，如圖4（b），共構成3個三角形，各自的頂點分別為②⑧⑩、⑤⑧⑨和⑧⑨⑩，即為該系統的每3個互不接觸回路。

2.5"前向通路

根據前向通路的定義，即輸入R→輸出C，同時依據簡化節點個數的原則，舍去R、C，將節點1、7當作新的輸入、輸出，即為新前向通路的起點、終點。

在尋找新前向通路的過程中需要遵循回路經過任意節點的次數不多于一次的原則，如圖5，（×）表示尋找過程出現錯誤節點，即回路經過某個節點的次數多于一次。

綜上，尋找到4個新前向通路，分別是1→2→3→4→5→6→7、1→2→6→7、1→3→2→6→7、1→3→4→5→6→7。

2.6"余子式

前向通路包含所有節點，去除所有節點后Δ1=1；前向通路包含節點1、2、6、7，去除節點1、2、6、7后，信號流圖中的回路還剩回路⑧4→5→4和⑩3→3，Δ2=1回路⑧的增益回路⑩的增益；同理，Δ3=1回路⑧的增益；Δ4=1。

2.7"利用梅森公式求得傳遞函數

根據梅森公式的定義，將以上回路和前向通路轉化為增益形式，可得新系統的閉環傳遞函數為：

結語

通過以上實例，可以看出該方法的核心在于將復雜的信號流圖轉化為結構清晰的矩陣形式，從而避免了傳統方法中容易出現的回路遺漏或重復計數等問題，顯著提高了計算效率和準確性。這種方法為復雜系統的分析和設計提供了更便捷有效的手段，降低了學習和應用的門檻。因此，該方法具有重要的工程實踐價值。

參考文獻：

［1］胡壽松.自動控制原理［M］.6版.北京：科學出版社，2013.

［2］李應雄.超磁致伸縮爬行電機的設計與仿真［D］.天津：河北工業大學，2004.

［3］原寶太.磁流變阻尼減振器及其控制方法研究［D］.廣州：廣東工業大學，2012.

［4］左韜.移動平臺ATP系統的捕獲跟蹤與控制［D］.武漢：武漢大學，2011.

基金項目：合肥職業技術學院校級產學研項目“RobotStudio虛擬仿真平臺在工業噴涂中的應用”（項目編號：2022Acxy03）；合肥職業技術學院校級質量工程“‘OBE+BOPPPS’模式下的高職實踐類課程活頁式‘適配教材’的建設研究——以《工業機器人操作與編程》為例”（項目編號：2023JYXM15）；安徽省職業與成人教育學會教育教學研究規劃課題“基于‘崗課賽證’評價體系下《工業機器人操作與編程》課程OMO混合式教學模式的探索和實踐”（課題編號：AZCJ2023061）；合肥職業技術學院校級教學研究項目“工業機器人編程與操作課程團隊”（項目編號：2024hzkctd05）；安徽省教育廳高校自然科學研究重點項目“基于圖像處理算法的畫圖機器人路徑規劃優化方法的研究”（項目編號：2023AH052543）

作者簡介：戴斐（1992—"），女，回族，安徽滁州人，碩士，講師，研究方向：智能控制。