點的合成運動中加速度的理論計算方法及適用性討論

摘"要：“理論力學”作為工科大學生的必修專業基礎課，其運動學部分的教學案例主要與機械工程相關，對于土木工程專業的本科生而言非常抽象，學生學習與教師教學難度很大。為克服此問題，本文以點的合成運動中加速度合成定理的運用為基礎，結合哈爾濱工業大學理論力學研究室編寫的《理論力學》教材中的經典案例，歸納提出了三種不同的加速度理論計算方法：平行四邊形法、直接求解法與間接求解法，并且從加速度矢量個數、計算量與存在不足等多方面討論了三種方法的適用性。此理論方法不需要借助軟件進行輔助教學與經費支持，其計算過程表述清晰，結論高度精練，適用性清楚明了，能為之后的課堂教學與學習提供參考。

關鍵詞：點的合成運動；加速度的合成定理；平行四邊形法；直接求解法；間接求解法

1"概述

力學以其技術學科的屬性在工科大學生培養體系有著舉足輕重的地位，以土木工程專業為例，“理論力學”作為第一門專業基礎課，與后續課程關聯性大，學好“理論力學”至關重要。

一般而言，“理論力學”由靜力學、運動學與動力學組成，各部分所占的比例隨著專業不同而不同，對于土木工程專業而言，靜力學占比50%，而運動學與動力學各占比25%［1］。靜力學部分相對來說是最重要的，其中理想約束類型、力矩、理想桁架、重心等概念是后續材料力學與結構力學的基礎，直接影響結構設計中內力計算、截面選取等重要環節。對于動力學而言，主題是圍繞力與運動的相互影響，這也與工程中結構的抗風抗震息息相關。總而言之，靜力學與動力學的教學可與土木工程專業較好地結合［13］。相比而言，運動學的教學一直以來難度更大，因為教學中運動學部分的案例幾乎全部與機械工程相關，而且生活中土木工程相關案例很難與運動學結合［45］，這個問題直接造成了運動學的內容更加抽象，久而久之學生接受程度偏低的現象普遍。

盡管如此，運動學是“理論力學”課程框架內的重要組成，更關鍵的是運動學中提到的理念實際上對動力學部分以及后續的學習影響重大。例如，剛體的平面運動可看成是隨著基點的平動與繞著基點的轉動，實際上在工程中大多數物體的運動，包括外運動與內運動皆可這么分解，在結構動力學中利用能量法列出細長梁橫向振動的控制方程，其動能也由平動與轉動兩部分組成。因此，運動學部分不能簡單地一帶而過。

有學者提出利用通用軟件Abaqus、Adam、MATLAB、Python［69］等去模擬運動學中各系統運動的全過程，此方法可以通過程序編寫與建模的方式使學生獲得系統中任意點或物體在任意時刻的運動狀況，形成的動圖可以使抽象問題直觀化，但由于程序編寫與模型建立需要一定的數學功底，這對于大一下學期的學生來說有較大難度。近年來，虛擬仿真技術［1011］廣泛運用于基礎力學教學中，但此技術推廣需要相應的資金支撐，對于經費有限的地方本科院校來說壓力很大。

鑒于以上所述的通用軟件與虛擬仿真技術的局限性，本文提出更簡單方便的理論計算方法，以運動學的難點之一——第七章《點的合成運動》中第三節《加速度的合成定理》為例［4］，結合哈爾濱工業大學理論力學研究室編制的《理論力學》教材中的經典案例，對加速度合成定理的具體應用進行討論，歸納提出了三種不同類型的理論解法，并對相應解法的適用性進行分析，為教師與同學們提供參考。此方法既不需要軟件配合，也不需要經費支持，思路清晰，優、缺點明了，易于推廣。

2"一點二系三運動的選擇

點的合成運動分析的第一個難點即動點與動坐標系（動系）所處位置的選擇，進而可以確定牽連運動、相對運動與絕對運動。有學者提到一些經驗之談，對于帶滑塊與滑槽的機構，動點為滑塊，動系固結于帶有滑槽的構件上；對于帶有套筒的機構，動點為套筒，動系固結于套筒所套的機構上。另外，也有以相對運動清晰與否為動點動系選擇的衡量標準。

事實上，以上方法在運動學的分析中是存在不足的。以圖1為例，凸輪偏心轉動帶動桿AB在滑槽內平動，當只計算AB桿運動的速度時，可隨意選擇動點在凸輪上或在AB桿上，如圖1中左右兩側的速度分解圖所示，分別計算出ve和va，兩種選擇計算量沒有區別。但如果計算AB桿運動的加速度時，就有較大不同，眾所周知，當牽連運動為定軸轉動時（左側），需要考慮科氏加速度的影響，相比于牽連運動為平行移動時（右側），會帶來更大的計算量。

綜上所述，在一點二系三運動的選擇時，即要遵循經驗（套筒、滑槽與滑塊的問題），同時要保證相對運動比較清晰簡單，還要考慮牽連運動的方式，這是因為在運動學問題中速度與加速度的求解往往是密不可分、缺一不可的。

3"點的加速度合成定理

教學中所面對的案例，對于土木工程背景的學生而言非常陌生，即使教材中自帶了部分動圖，也只能直觀地判斷出點的合成運動中速度方向，而不能判斷加速度的方向，尤其是牽連運動為定軸轉動時，方向未定造成求解過程更加抽象，學習難度加大。本文歸納提出了三種方法：平行四邊形法、直接求解法與間接求解法，并對三種方法適用性進行討論。

3.1"平行四邊形法

速度合成定理本質上是矢量合成，由于三運動中每個運動只對應了一個速度方向，所以可根據平行四邊形法則——絕對運動速度在對角線的位置，輕易地定出ve和vr的方向。對于加速度的計算，平行四邊形法不一定能適用，因為只要三運動中存在定軸轉動或圓周運動，這類運動往往對應著的是兩個加速度——法向和切向加速度，所以在加速度矢量合成中可能存在多于三個矢量，接下來一起來討論平行四邊形法的適用性。

圖2（a）中，三運動中只有絕對運動是勻角速度的圓周運動，其余為平行移動，因此不存在科氏加速度，絕對加速度aa只存在法向分量指向圓心O，為滿足aa在平行四邊形的對角線位置，牽連加速度ae與相對加速度ar的方向只能向左和向下。圖2（b）中，同樣不存在科氏加速度，且牽連加速度為0，又由于相對加速度的法向分量anr指向圓心，為了滿足絕對加速度aa處于對角線位置，并沿著AB桿件方向，相對加速度的切向分量atr只能指向右下方并相切。綜上所述，點的加速度合成定理只有三個矢量合成時，只要圍繞絕對加速度處于平行四邊形的對角線位置就可以準確判斷出各矢量方向，并利用計算合矢量與分矢量的方法求解，牽連運動是定軸轉動（圓周運動）時，平行四邊形法不適用。

3.2"直接求解法

當使用加速度合成定理，各運動的加速度矢量超過三個時，并不是所有的加速度矢量方向都是確定的，如圖3中的牽連加速度的切向分量ate和相對加速度ar的方向未知，常用做法是假設其為某一方向，計算出相應結果為正，則真實與假設方向一致，反之則不一致，這種方法稱為直接求解法。但是此方法有一定的局限性，在理論力學中很多例題都是利用字母表示結果，直接求解法計算出的結果難以判斷正負號，如圖4（a）中絕對加速度aa的方向難以用其表達式直接確定，這時候就需要利用間接求解法。

3.3"間接求解法

由于在點的合成運動分析中，速度與加速度是兩個最基本的未知量，所以在加速度合成定理中，第一步可利用速度合成定理去計算出另外幾個未知速度，如圖4（a）中速度表達式；第二步是根據速度的大小變化去確定加速度的方向，由于凸輪勻角速度轉動中OA的距離l逐漸變大，夾角θ也變大，根據速度表達式可知，絕對va與相對速度vr逐漸增大，因此絕對加速度aa與相對運動加速度的切向分量atr如圖4所示；第三步是計算出未知加速度的表達式。這種方法由于先確定加速度的方向，再計算其表達式，稱為間接求解法。

在間接求解法中，由于需要計算至少兩個不同時刻的速度值進行比較，計算量相比于其他方法更大，邏輯性也較復雜，因此這種方法在使用中容易出現錯誤。如圖4（b），在t1時刻，桿件OA處于水平位置，得出的速度表達式與角度φ有關，因此很多人會直接判斷在套筒A繞著O作勻角速度轉動過程中，牽連速度ve會隨著角度φ變小而逐漸變小，進而得出牽連加速度的切向分量ate與牽連速度ve方向相反。事實上如圖3（b）所知，它們的方向應該相同，這是因為在絕對速度大小va不變時，其與相對速度的夾角θ逐漸變大。此外，間接求解法可用于圖2與圖3中的例題，但計算過程同樣更煩瑣。

3.4"三種方法的適用性比較

結語

結合哈爾濱工業大學理論力學研究室編寫的《理論力學》教材中的經典運動學案例，歸納了點的合成運動中三種計算加速度的理論方法：平行四邊形法、直接求解法與間接求解法，并從加速度矢量個數、計算量、存在不足等多方面討論了三種方法的適用性。所提方法不需要軟件配合教學，不需要經費支持，過程表述清晰，易于教學與學習。

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*通信作者：徐英乾（1988—"），男，漢族，江西撫州人，講師，研究方向：從事土木工程與力學的教學與科研工作。