當代大學生娛樂中高等數學問題在教學中的應用

經典教材因其內容的穩定性和權威性，在知識傳授中扮演著基石的角色。然而，它們所包含的案例往往缺乏時效性，難以與當代大學生的生活體驗產生共鳴，這可能會在一定程度上造成學生對高等數學產生距離感。為了打破這一壁壘，將高等數學的教學與大學生熱衷的娛樂項目相結合，是一個極具吸引力的策略。通過巧妙融入電影、動畫、漫畫、小說、電視劇中的數學元素，不僅能為學生呈現一個更加鮮活、有趣的數學世界，還能極大地激發學生的學習熱情。本文通過高等數學與大學生熱衷的娛樂項目相結合的教學策略，用電影《星際穿越》中的巨浪問題、動畫和漫畫《JOJO的奇妙冒險》中的追擊問題以及電視劇和小說《天龍八部》中的最優路徑問題等具體案例，展示如何將高等數學的概念和公式融入娛樂情境中，以激發學生的學習興趣和熱情。這些案例不僅為學生呈現了一個更加鮮活、有趣的數學世界，還極大地提升了他們的學習動力和自我效能感。這種教學策略在心理學和教育學上的雙重意義，對于促進學生學習高等數學、提高教學效果和培養問題解決能力將起到重要作用。

1 電影《星際穿越》中的巨浪問題

《星際穿越》諾蘭執導的科幻片，2014年底在中國大陸上映，很多90、00后大學生看過該片。在教學時，素材可取電影中飛船降落目標星球到離開的片段，該片段敘述了男女主人公一行來到了一顆陌生的星球，回收星球數據并未留意到遠處的巨浪，而巨浪接近時其高度遠超眾人的估計，巨浪遠超估計是由于一大段巨浪被地平線遮住了。如圖1，假設浪的距離為d，設被遮住的浪高為h，該星球半徑等于R。

以當代大學生常用的同濟大學出版社出版的《高等數學（第七版）》為例，該案例適合用于第三章泰勒公式這堂課的例題，具體知識點是泰勒公式在近似計算中的應用。例題可以幫助學生體會尤其是函數一階導數為0時微分的近似公式Δy≈dy不再適用，而泰勒公式依舊適用，用途更廣泛。

2 動畫和漫畫《JOJO的奇妙冒險》中的追擊問題

《JOJO的奇妙冒險》漫畫由嗶哩嗶哩漫畫、騰訊動漫、漫番漫畫發布。動畫由david production負責制作，于2012年10月5日開始播出。其獨樹一幟的畫風以及出色的劇情使其在年輕人中大受歡迎。在教學時，素材可取自動畫《JOJO的奇妙冒險——石之?！罚蛉∽酝嫷膯涡斜?，該內容敘述了男女主人公在追趕“綠色嬰兒”時發現他的特殊能力是使接近自己的物體變小，并且變小的尺寸和嬰兒的距離成正比，男女主人公隨后討論到底能不能追上“綠色嬰兒”。為了簡化問題，合理假設主角的速度與自身大小成正比，有以下四個問題值得思考。

（1）嬰兒不動，主角是否能追上？

（2）嬰兒動，主角是否能追上？

（3）嬰兒不動，主角何時能夠達到初始距離的一半？

（4）嬰兒與主角之間的距離關于時間的函數是什么？

問題（1）：主角無法追上，假設問題（3）的答案為T，那么主角從到的情況和從d走到類似，只是距離和速度都相應減半，用時也為T，同理到用時也為T，所以總用時為無窮大，無法追上。

問題（2）：主角也無法追上，當主角的速度下降到嬰兒的速度，他們的距離就無法縮短。事實上，主角的速度會趨向于而永遠無法達到嬰兒的速度，具體看問題（4）。

問題（3）：設主角的初速度為v1、速度為v，主角與嬰兒的距離為x，由于主角的速度與自身大小成正比，則不難得出主角的速度v與x呈線性關系，又因為速度可以表示為x，關于時間t的導數即，因此可得

同樣以同濟大學出版社出版的《高等數學（第七版）》 為例，該案例的問題（1）（2）可以作為第一章第一節高數課的內容，帶學生領略高等數學與高中數學的最大區別：極限與無窮。問題（3）（4）可以在講第五章定積分的時候作為例題再次讓大學生學習，學生體會到自己數學能力的進步，可以解決曾經無法量化的問題，從而積累學習高等數學的信心。

3 電視劇和小說《天龍八部》中的最優路徑問題

《天龍八部》是著名作家金庸的代表作之一，當代許多大學生都看過2003年版的電視劇《天龍八部》。在教學時，素材可選自電視劇《天龍八部》或是同名小說，該內容講述了木婉清和段譽被關在石屋中、兩個人因男人是否可以三妻四妾產生了爭執、木婉清追打段譽的故事。為了簡化問題，合理假設石屋為圓形，兩個人的初始位置如圖2所示，木婉清的初始位置在石屋的中心，段譽的初始位置在石屋的邊界上，當開始運動后段譽沿著圓的邊界（石屋邊界）開始勻速運動，速度為v1，木婉清的速度為v2，其中v2速度可變。要幫助木婉清規劃一個好的路徑來追擊段譽，設木婉清的路徑的極坐標方程為ρ（t），假設木婉清在θ度處與段譽相遇且兩個人走過的路徑長相等，由弧長公式可得，等式兩邊同時對θ求導可得微分方程。

對等式兩邊同時積分可得，代入初值條件可得（3.4），則木婉清的追擊路徑如下圖所示。當（3.2）式根號外取負號時，得到的路徑與圖3相同。

不難發現當θ= 時木婉清和段譽相遇，且追擊路徑為半徑為、圓心為（0，）的半圓。

同樣以同濟大學出版社出版的《高等數學（第七版）》為例，該案例可作為第七章微分方程——可分離變量的微分方程一節的內容；另外在第十一章曲線積分的教學中，此例還可以幫助學生理解曲線積分，同時復習定積分的應用——求弧長和微分方程的知識，作為臨近學期末的課堂，有助于提高學生的綜合應用能力。

4 教育心理學角度的認知

在教學中融入娛樂項目對于學好高等數學具有顯著的促進作用，這一做法不僅符合教育心理學的認知規律，在實踐中也是促進學生提高學習效果的有效方法。

從認知角度來看，讓學生愛上學習的一個重要因素是學生是否能持續地體驗到學習新東西、解決問題的愉悅感，解決策略之一就是盡量讓教學中提出的問題與學生的背景、經驗相聯系。皮杰亞理論不主張課堂教學呈現現成的知識，而是鼓勵學生自發地與環境互動，自主地發現知識。一個想學習的學生能夠學會任何東西，將學習泰勒公式改為娛樂項目問題可以有效提高學習任務的內在吸引力，大家一起來思考如何幫助《星際穿越》女主躲過滔天巨浪還是機械地在通過板書陳述泰勒公式，在調動學生積極性上的差別是顯而易見的，學生可能更愿意在下課前知道數學知識如何幫助女主。同時，研究表明，焦慮會使得學生難以學習知識、分散學生在任務上的注意力，而常見的使人表現失常的焦慮就是數學焦慮，尤其是對應用題束手無策。通過娛樂項目可以建立一種舒適的、合作的班級氣氛來減少焦慮，訓練學生掌握做題技巧和放松技巧，從而對學習效果產生積極影響。

從記憶系統的運行規律來看，如果我們進行了仔細地思考，大腦判斷以后可能會再次思考，它應該被存儲起來。也就是說，記憶是思考的結果，學習過程中經歷的思考決定了最終進入長期記憶的內容是什么。因此，我們更希望學生通過思考來理解如何解決數學問題，進而能記住抽象的數學概念或公式。根據建構主義學習理論，學生想要真正地學到知識，就必須自己去發現和轉換復雜的信息，教師可以通過給學生提供機會，使其自主發現某些概念，教師可以給學生提供梯子，但學生必須自己爬梯子。也就是說，可以將一些新概念與舊認知相結合，促使學生去思考我們忽略的問題。課程設計要使學生思考、內容貼近學生群體的日常生活，尤其針對數學這一抽象概念較多的學科來說，通過易于理解和記憶的故事來切入是更為行之有效的方法。在上述例二追擊問題中，男女主變小尺寸與“綠色嬰兒”的距離始終成正比，很多同學判斷男女主無法追上“綠色嬰兒”，但是運用何種數學方法、是否需要區分嬰兒運動及不運動這兩種不同的情況就使學生深入思考，自主探究得出的結論有助于學生對無窮問題形成長期記憶。

將學生日常的娛樂項目作為教學案例能夠激發學生的學習興趣與動機、降低認知負荷與焦慮，同時，能提高教學效果、培養邏輯思維與問題解決能力、提高學生的長期記憶。因此，我們應積極推廣和應用這一教學方式，讓學生在玩樂中學習高等數學、在學習中成長。

5 總結

本文全面剖析了高等數學教學方法的一個創新途徑，核心在于將高等數學與當代大學生熱衷的娛樂項目緊密結合。文章強調，傳統教材雖具有內容的穩定性和權威性，但案例的時效性不足，難以引發學生的共鳴和興趣，進而可能使學生產生對高等數學的疏離感。為解決這一問題，本文提出了創新的教學策略：通過巧妙融入電影、動漫、電視劇及小說等娛樂項目中的數學元素，為學生呈現一個更加鮮活、有趣的數學世界。文中進一步從心理學和教育學角度闡述了這種創新教學方法的積極作用，包括激發學生的學習興趣、降低認知負荷、增強自我效能感等。本文提出的將高等數學與娛樂項目相結合的教學策略，不僅豐富了教學內容，還顯著提升了學生的學習熱情和教學效果，為高等數學教學的改革提供了新的思路。

本文系江蘇省產學研合作項目“平面度與水平度測量的算法開發”（編號：BY20230722）研究成果。

通信作者：湯偉業