用好“師生年齡”問題，發(fā)展模型觀念

摘" 要：在探索“師生年齡”問題速算求解模型的過程中，利用問題串引導(dǎo)學(xué)生從常規(guī)方程模型出發(fā)，探究得出兩類“師生年齡”問題的速算求解模型，從而發(fā)展學(xué)生的模型觀念. 通過對(duì)“師生年齡”問題速算求解模型探究過程的反思，提出在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)展學(xué)生模型觀念的幾點(diǎn)建議.

關(guān)鍵詞：年齡問題；速算模型；數(shù)學(xué)建模

中圖分類號(hào)：G633.6" " " 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A" " " 文章編號(hào)：1673-8284（2025）03-0033-04

引用格式：徐小建. 用好“師生年齡”問題，發(fā)展模型觀念［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2025（3）：33-35，41.

“師生年齡”問題是初中數(shù)學(xué)中的經(jīng)典問題，經(jīng)常被教師選作與一元一次方程或二元一次方程組相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)素材. 其中，已知師生年齡的和與差求師生年齡的問題（以下統(tǒng)稱“和差問題”）經(jīng)常用于教學(xué)加減消元法解二元一次方程組時(shí)的引入問題；已知師生當(dāng)年年齡求現(xiàn)在年齡的問題（以下統(tǒng)稱“問齡問題”）常常在教學(xué)二元一次方程組的應(yīng)用題時(shí)作為有一定難度的問題出現(xiàn). 現(xiàn)從發(fā)展學(xué)生模型觀念的角度談?wù)劰P者對(duì)這一問題的教學(xué)探索.

一、基于培養(yǎng)模型觀念的“師生年齡”問題的教學(xué)過程

1. 和差問題

題目1" 已知老師和學(xué)生的年齡之和為40，年齡之差為12，求老師和學(xué)生的年齡各是多少歲.

教師提出了如下引導(dǎo)問題.

問題1：如何列方程組求解？

學(xué)生給出如下解法.

設(shè)老師的年齡為x歲，學(xué)生的年齡為y歲. 列出方程組x+y=40，①x-y=12，②并求出x和y的值.

問題2：思考所列方程組有哪幾種求解方法？

學(xué)生分別用代入消元法和加減消元法求解上述二元一次方程組. 其中，用加減消元法解方程組的人數(shù)明顯多于用代入消元法解方程組的人數(shù).

問題3：通過對(duì)解方程組過程的分析，你能否得出直接由師生年齡的和與差求師生年齡的速算方法？

學(xué)生反思用加減消元法解二元一次方程組的過程，推導(dǎo)出速算模型“老師的年齡 =年齡和+年齡差/2，學(xué)生的年齡 =年齡和-年齡差/2”.

【設(shè)計(jì)意圖】通過解決三個(gè)循序漸進(jìn)的問題，學(xué)生反思用兩種不同方法解二元一次方程組的過程，進(jìn)而得出方程模型是解決這類問題的基本方法. 學(xué)生通過得出師生年齡和與年齡差所蘊(yùn)含的本質(zhì)關(guān)系，進(jìn)而得出更簡潔的速算模型. 如此設(shè)計(jì)教學(xué)，既鞏固了方程模型，又防止了方程模型的固化，有效促進(jìn)了學(xué)生模型觀念的形成.

2. 問齡問題

題目2" 師生互問年齡. 老師對(duì)學(xué)生說：“當(dāng)我像你這么大時(shí)，你才1歲.”學(xué)生對(duì)老師說：“當(dāng)我到了您這么大的時(shí)候，您已經(jīng)40歲了.”求學(xué)生和老師今年各是多少歲.

教師在第一階段提出如下引導(dǎo)問題.

問題1：題目2中隱含著怎樣的相等關(guān)系？

生：在師生共同成長過程中“老師和學(xué)生的年齡差始終不變”.

問題2：如何利用這一關(guān)系來列方程求解師生的年齡？

學(xué)生給出如下解法.

設(shè)學(xué)生今年x歲，老師今年y歲. 列出方程組x-y-x=1，" "①y+y-x=40， ②求出x和y的值分別為14和27.

問題3：能否也像題目1一樣得出師生年齡的速算模型？

根據(jù)教師的啟發(fā)，學(xué)生模仿題目1進(jìn)行反思，由“① + ②，得x + y = 41”和“② - ①，得y - x = 13”后，解出x和y的值，但是沒有得出速算模型.

教師在第二階段提出如下引導(dǎo)問題.

問題4：將題目2中的“1歲”變?yōu)椤癮歲”，“40歲”變?yōu)椤癰歲”，再對(duì)剛才的運(yùn)算過程進(jìn)行思考，能否得出更便捷的算法？

學(xué)生思考后得出“① + ②，得x + y = a + b”和“② - ①，得y - x =b-a/3”，進(jìn)一步求出x =2a+b/3，y =a+2b/3，但對(duì)所得結(jié)果無法給出簡潔的理解與表述，沒能得出速算模型.

問題5：如何理解“① + ②，得x + y = a + b”的含義？

通過對(duì)“① + ②，得x + y = a + b”的分析，學(xué)生明白了由于“x比a大 （y - x） 歲”“y比b小 （y - x） 歲”，故“x + y = a + b”.

問題6：如何理解“② - ①，得3（y - x） = b - a”的含義？

通過對(duì)“② - ①，得3（y - x） = b - a”的分析，學(xué)生明白了由于“x比a大 （y - x） 歲”“y比x大 （y - x） 歲”“b比y大 （y - x） 歲”，故b比a大3（y - x）. 最終學(xué)生明白了“3（y - x） = b - a”的內(nèi)在含義.

教師在第三階段提出如下引導(dǎo)問題.

問題7：a，b，x，y這四個(gè)數(shù)之間有什么關(guān)系？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)a，b，x，y這四個(gè)數(shù)之間是按a，x，b，y由小到大排列的，且間隔相等.

問題8：我們能否用一種更直觀的方式來表示這四個(gè)數(shù)之間的關(guān)系？

學(xué)生想到可以在數(shù)軸上將點(diǎn)向右平移表示師生年齡增長. 學(xué)生先自行研究后再小組交流. 有三分之一的小組畫出了圖1，并得出了“點(diǎn)X，Y是線段AB的三等分點(diǎn)”的結(jié)論，從而得出了利用數(shù)軸解決“問齡問題”的速算模型. 通過數(shù)與形的結(jié)合，學(xué)生最終理解了“x =2a+b/3，y =a+2b/3”的本質(zhì)是“x = a +b-a/3，y = a +2b-a/3”.

【設(shè)計(jì)意圖】題目2的難度明顯比題目1大得多. 如何引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、自覺探究題目2的速算模型？首先，教師用題目1有速算求解模型來引發(fā)題目2也應(yīng)該有速算求解模型的思考；其次，教師并不反對(duì)（甚至暗示）學(xué)生模仿題目1的方法進(jìn)行速算求解模型的探究；最后，在學(xué)生探究受阻時(shí)，教師適時(shí)引導(dǎo)，讓學(xué)生重新思考解決問題的方向，最終使問題得到解決. 這一過程充分展示了主動(dòng)意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)在發(fā)展學(xué)生模型觀念過程中的重要作用.

二、教學(xué)思考

模型觀念是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中提出的初中階段九大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)行為表現(xiàn)之一.《標(biāo)準(zhǔn)》指出：“模型觀念主要是指對(duì)運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題有清晰的認(rèn)識(shí). 知道數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系的基本途徑；初步感知數(shù)學(xué)建模的基本過程，從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義. 模型觀念有助于開展跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)，感悟數(shù)學(xué)應(yīng)用的普遍性.”因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，用好相關(guān)教學(xué)資源，把握好適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)時(shí)機(jī)，完全有可能讓學(xué)生體驗(yàn)從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義的過程，甚至有可能讓學(xué)生親身參與數(shù)學(xué)建模的全過程，直至學(xué)生能在數(shù)學(xué)建模的過程中有所創(chuàng)新. 下面對(duì)上述“師生年齡”問題速算求解模型的教學(xué)過程進(jìn)行簡要分析.

1. 正確認(rèn)識(shí)基于初中生的模型觀念

對(duì)于初中生來說，基本數(shù)學(xué)概念的形成過程都可以稱之為數(shù)學(xué)模型觀念的形成過程. 這是因?yàn)閿?shù)學(xué)概念的獲得過程本來就是對(duì)實(shí)際生活不斷抽象、提煉、驗(yàn)證、校正、證明，直至形成正確的認(rèn)知后成為相關(guān)概念的過程. 因此，教師要讓學(xué)生充分經(jīng)歷概念的形成過程，讓學(xué)生深刻理解概念的內(nèi)涵，從而提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)概念解決實(shí)際問題的能力. 這其實(shí)就是一種最基本的數(shù)學(xué)模型觀念的表現(xiàn)形式. 上文所述案例中學(xué)生能想到利用數(shù)軸來形象、直觀地解決“問齡問題”，就是一次成功的數(shù)學(xué)建模過程.

2. 教師在教學(xué)過程中要有發(fā)展學(xué)生模型觀念的意識(shí)

知識(shí)的獲取是一個(gè)“內(nèi)化”的過程. 模型觀念則是一個(gè)知識(shí)“外化”的過程. 內(nèi)化的知識(shí)只有外化為解決實(shí)際問題（建模）的能力才能彰顯知識(shí)的價(jià)值，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)的意義，這也正是模型觀念的本質(zhì). 因此，筆者認(rèn)為，教師在教學(xué)過程要有發(fā)展學(xué)生模型觀念的意識(shí)，通過適度的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)實(shí)現(xiàn)學(xué)生的思維由小學(xué)階段的直觀、感性循序向中學(xué)階段的抽象、理性過渡，實(shí)現(xiàn)從學(xué)習(xí)知識(shí)到應(yīng)用知識(shí)的跨越.

3. 教師在發(fā)展學(xué)生模型觀念教學(xué)中要有創(chuàng)新意識(shí)

雖然對(duì)于初中生來說基本的數(shù)學(xué)概念都可以看成數(shù)學(xué)模型，但是這并不是說只要教師教好數(shù)學(xué)概念，學(xué)生的模型觀念就會(huì)自然形成，數(shù)學(xué)建模能力就會(huì)自然提升. 在教學(xué)過程中，教師要讓學(xué)生在掌握基本數(shù)學(xué)模型及建模的方法（如方程模型、不等式模型、函數(shù)模型等）的同時(shí)，具有創(chuàng)新意識(shí)，不拘泥于常見的、固定的模型，在更廣的知識(shí)范圍內(nèi)選擇更合適的模型. 例如，“師生年齡”問題是方程（組）模型的最基本類型，多數(shù)教師在教學(xué)過程中只要學(xué)生會(huì)列方程（組）進(jìn)行求解，就認(rèn)為是達(dá)成教學(xué)目標(biāo)了. 上文所述的案例中，教師在學(xué)生列方程組解決問題的情況下，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題的本質(zhì)進(jìn)行進(jìn)一步挖掘，在對(duì)方程組解法的分析中找到了“和差問題”的速算模型，在模仿“和差問題”尋找“問齡問題”速算模型的過程中成功建立了數(shù)軸模型，獲得了問題更直觀、簡潔的解法. 這就是一個(gè)在教師有意識(shí)地引領(lǐng)之下，讓學(xué)生自主創(chuàng)新發(fā)展模型觀念的過程.

4. 教師在發(fā)展學(xué)生模型觀念教學(xué)中要有主體意識(shí)

教學(xué)的本質(zhì)是“教學(xué)生學(xué)”，目的是“教學(xué)生會(huì)學(xué)”. 因此，在發(fā)展學(xué)生模型觀念的教學(xué)過程中，先要確立學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，將發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的機(jī)會(huì)交給學(xué)生，必要時(shí)教師要采取“稚化”藝術(shù)與學(xué)生“共同進(jìn)退”. 本節(jié)課中，教師在題目1的解決過程中有意識(shí)地設(shè)置了反思環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生得出了題目1的速算模型，其目的就是為題目2的解決提供方向的指引，讓學(xué)生會(huì)學(xué). 盡管在題目2的教學(xué)過程中，學(xué)生一開始未能按照教師的預(yù)期探索出速算求解模型，但是題目1的解決堅(jiān)定了學(xué)生進(jìn)一步探究的信心（題目1有速算求解模型，那么題目2也應(yīng)該有速算求解模型）. 正是在這樣的信念支撐下，學(xué)生在后續(xù)的探索中才能保持充分的主體意識(shí)，直至探究成功.

與學(xué)生是“學(xué)”的主體相對(duì)應(yīng)的，教師是“教”的主體. 在發(fā)展學(xué)生模型觀念的過程中，教師不能因?yàn)閷W(xué)生是“學(xué)”的主體，就對(duì)學(xué)生“放任自流”，任學(xué)生“野蠻生長”.“教”的主體任務(wù)至少有以下兩點(diǎn)：一是保持學(xué)生良好的探究心向；二是設(shè)置有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)的情境. 具體到本案例中，教師至少做了以下三點(diǎn)努力：一是從簡單的問題入手，在題目1中設(shè)計(jì)反思環(huán)節(jié)，為題目2提供研究方法指引；二是在題目2的探究過程始終堅(jiān)持“引領(lǐng)”而不是“放任”；三是在具體引領(lǐng)時(shí)堅(jiān)持“無為而導(dǎo)”，即始終讓學(xué)生沖在前面.

三、結(jié)束語

初中階段是學(xué)生身體和心理發(fā)展的第一個(gè)關(guān)鍵期，更是世界觀、人生觀、價(jià)值觀確立的關(guān)鍵時(shí)期，從初中階段開始重視發(fā)展學(xué)生的模型觀念，有利于學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)學(xué)科認(rèn)知，有利于學(xué)生理性思維的發(fā)展，有利于提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，最終有利于學(xué)生的終身發(fā)展. 在實(shí)際教學(xué)中，教師既要具備發(fā)展學(xué)生模型觀念的教學(xué)意識(shí)，又要具備低起點(diǎn)的發(fā)展學(xué)生模型觀念的教學(xué)能力，這是我們需要共同努力的方向.

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