讓概念生長更自然

摘" 要：以加權平均數中“權”的概念引入環節為切入點，在學生已有知識水平與生活經驗的基礎上，采用概念同化的方式教學，展現了概念間的“生長”過程. 同時，結合問題鏈、直觀教學等方式，幫助學生加深對“權”的概念的理解，提升學生的數學思維品質，發展學生的數學核心素養.

關鍵詞：概念教學；加權平均數；概念同化法

中圖分類號：G633.6" " " 文獻標識碼：A" " " 文章編號：1673-8284（2025）03-0046-05

引用格式：鄒尚穎，高偉. 讓概念生長更自然：以“加權平均數”的教學為例［J］. 中國數學教育（初中版），2025（3）：46-50.

數學概念是數學知識中最基礎的部分，是新知識的起點. 學生只有正確理解概念、牢固掌握概念、靈活運用概念，才能在概念的形成與運用中提升發現問題、分析問題與解決問題的能力. 因此，在概念課的教學中，教師應具備輔助學生理解概念、掌握概念、運用概念的意識，將學生放在主體地位，讓學生在學習過程中感受數學思想與數學精神.

一、問題提出

基于學生的認知特點，在獲取概念時，以概念形成的構建方式居多，尤其是在小學階段，初入學堂的學生認知水平相對較低，教師多以概念形成的方式來授課. 但是隨著學生認知水平的發展，學生的知識經驗不斷豐富，相應地，學生獲得概念的方式也會發生變化. 在“加權平均數”一課的教學中，也有教師用到了概念同化的教學方式，但部分教師在概念引入過程的處理上稍有欠缺，具體表現為對“權”的概念講解不清晰，新舊概念之間的銜接不自然，體現不出新舊知識之間的“生長”意味，這也導致了相關知識點之間的斷層，體現不出數學概念的系統性.

那么，教師應如何進行教學設計，才能讓學生在掌握新知的同時感受到新舊概念之間的聯系，使學生在意識到用舊知識（算術平均數的概念）無法解決新問題時，能夠通過優化、改進舊知來解決新問題呢？帶著這樣的思考，筆者在觀摩了多位教師對于加權平均數一課的設計并查閱了多篇相關文獻后，借助概念教學中的概念同化方式，對概念引入環節進行了設計.

二、教學過程設計

首先讓學生利用認知中已有的算術平均數公式來計算. 學生在計算后發現兩名候選人的總分數、平均分數是一樣的，說明運用算術平均數不能確定最終的人選. 通過這樣的設計引發學生的認知沖突，讓學生不得不自發地尋找解決問題的新方案.

教師在學生意識到運用算術平均數不能解決問題時，不可以斷然給出加權平均數的計算公式，而是繼續引導學生深入思考，探究發現“權”的存在. 在該過程中，教師可以采用“問題鏈 + 課堂討論”的方式，讓學生自發地去尋找解決問題的答案.

策略3：由問題鏈帶動思考，層層遞進引入概念.

問題1：既然兩名候選人的總分和平均分相等，那么最終人選又該如何確定呢？

教師組織學生討論，此時學生通常會意識到既然平均成績相同，那么是否可以只看其中的某一項因素，讓得分高的候選人入選. 此時學生的潛意識里已經出現了“重要程度”的概念，但這一概念僅僅停留在表層，學生并不理解“重要程度”究竟意味著什么.

課堂進行到這里，教師可以繼續提問：如果只看一項能力的話，那么其他兩項能力就不重要了嗎？以此進一步引出“重要程度”的意義，同時教師可以組織學生討論如何體現“重要程度”.

問題2：評審專家早就考慮到了總分和平均分相同這一點，經調查和討論后認為，廣播工作應更注重廣播員的語言表達能力，因此決定將每項能力按照2∶1∶1的比例計算來取得最終成績.

通過比例的形式體現重要程度的不同，此時學生能夠認識到可以利用比例解決用算術平均數不能解決的問題，以此激發學生繼續探究的欲望.

引導學生發現加權平均數與算術平均數的聯系，通過兩者的計算公式發現其中的規律，體現概念教學中的概念同化原則，即通過對比同類概念，讓學生發現其中的區別與聯系，使新舊概念產生關聯. 算術平均數中每個數據都貢獻出了相等的重要程度，體現在算式中就是每項數據的系數是一樣的，即“權”相等；但在加權平均數中，各個數據的重要程度不同，對應在算式中就是每項數據前的系數不相同，即“權”不相等. 這一步是將學生潛意識里未成形的“權”的概念喚醒，讓學生正面對比兩個概念的計算公式，將學生對“權”的認識提升到理性層面.

（1）系數越大，“權”越大，數據的重要程度越高. 觀察上述算式，我們可以發現，各項數據前的系數由相同到不同，并且系數越大，“權”越大，該項能力就越重要. 對應在圖示中，則是“權”越大，該項能力所占面積越大.

（2）各項系數的和是1. 教師可先以提問的方式讓學生思考以上兩個算式的系數之和為什么是1. 最簡單的想法是學生觀察圖1和圖2，可以發現無論是算術平均數還是加權平均數，每項能力所占的比重加起來都能拼成一個完整的圓，對應到公式中，也就是各項系數的和為“1”. 但是這個想法很淺顯，進一步地講，這三項能力的成績均來自于一位參選者，即是完整的一份成績. 只不過用算術平均數計算時，每項能力所占的比例均為[13]；而用加權平均數計算時，比例則隨著“重要程度”的變化而變化，但是無論如何變化，最終的結果都要組成“1”這個單位整體.

已知活動期間，該書店決定在每本圖書的原價上按六折進行處理，試幫老板分析以下問題.

（1）若在此次促銷活動中，這三款圖書全部售完，你能計算出總利潤嗎？

（2）若全部售罄，平均利潤又是多少呢？

該例題的難度有所提升，是對本節課內容的鞏固與提升. 尤其在第（2）小題中，粗心的學生可能會直接用第（1）小題得出的總利潤除以3，但由于每款圖書的庫存量不同，因此不僅要考慮每款圖書的單本利潤，同時還要考慮到每款圖書的庫存量. 這也就意味著需要學生從“權”的角度出發思考問題，根據每款圖書的庫存量所占的比例計算出平均利潤，進一步理解“權”的概念. 具體計算如下.

胡衛平教授曾在首都師范大學附屬育新學校思維型教學主題培訓上提到，一個好的概念教學要讓學生充分經歷概念形成的過程，他從感知活動、思維加工、理解應用、形成結構四個層面解釋了概念教學的真諦. 基于此，筆者分別從這四個層面分析了本節課概念教學的有效策略.

1. 感知活動

感知活動是指學生需要對概念具備基本的感知能力.“權”是一個相對的概念，可以將其解釋為“一組數據的重要程度”，其本質是在數據分析過程中，對被分析數據重要程度的定量分配. 基于此，教師需要在備課時厘清概念本質，做好細致的教學設計；在授課時講清概念，引領學生發現“權”的本質；在鞏固環節創設學生熟悉的情境，加深學生對“權”的認識. 學生只有親身經歷概念的形成過程，才會深刻地理解、掌握概念.

2. 思維加工

思維加工是指學生需要把一類事物的共同屬性和本質特征抽象出來，然后概括在一起形成概念. 這就要求教師在例題的設計上多下功夫，可以通過設計問題鏈或按照不同難度層次設計問題，引導學生自覺發現“權”的本質，讓學生更好地進行思維加工，深刻理解概念.

3. 理解應用

理解應用是指學生需要理解概念的內涵和外延. 本節課中，為了讓學生厘清新舊概念之間的聯系，體會概念的“生長”，筆者選擇了概念同化的方式來設計教學，引導學生發現加權平均數與算術平均數的區別與聯系，并通過設計問題鏈、直觀教學的方式引導學生發現“權”的本質，幫助學生深化對新概念的理解.

4. 形成結構

形成結構是指學生要在理解應用的基礎上，把概念放置到知識結構中的適當位置. 數學中的概念絕非以獨立形式出現的，而是參與了整個數學體系，要讓學生感受概念之間的聯系，體會概念的“生長”過程. 因此，在學生掌握加權平均數的定義并能熟練運用公式的基礎上，教師應引導學生厘清加權平均數與算術平均數的關系，并在學完整章內容后，帶領學生回顧加權平均數在整個數據分析章節中的地位和作用，讓學生能夠自行總結出整章的知識體系.

四、分析與總結

筆者認為，無論是數學教師還是學生，在教數學與學數學的過程中，都應將重點放在對概念的理解而非對例題難度的拔高上. 李邦河院士曾提出過這樣的思想：“數學根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”誠然，部分教師在數學課堂上往往忽視最基礎的概念講授過程，將大量的精力投入到例題的變換與難度的提升中，意圖通過這樣的方式來提高學生的數學能力. 這實際上是一種舍本逐末的方式. 打個比方，我們可以將數學學習比作建高樓，那么概念的講授便是大樓的地基，如果連地基都沒建立好，將資金浪費在樓體的粉飾上又有什么用呢？

因此，筆者針對“權”的概念引入這一最基礎的環節進行了思考與設計，借助概念同化的方式，細化了概念引入部分，引導學生認識到加權平均數是在算術平均數基礎上的“生長”. 同時，創設了更貼近學生日常的問題情境，讓學生在理解概念的同時，能體會到數據分析的重要性，感受到數學與我們的生活息息相關，發展數據觀念和應用意識. 通過這樣的設計，能將“權”的概念鮮活地呈現在學生眼前，幫助學生扎實地掌握“權”的概念，同時為接下來明晰“權”、應用“權”奠定基礎.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］曹才翰，章建躍. 數學教育心理學［M］. 北京：北京師范大學出版社，2017.

［3］何小亞，姚靜. 中學數學教學設計（第二版）［M］. 北京：科學出版社，2012.

［4］卜以樓. 讓“權”遞進式地彰顯理性價值：“加權平均數”的教學分析及思考［J］. 中國數學教育（初中版），2016（12）：5-8，11.