初中數學隱性課程資源的建構與利用

摘" 要：初中數學隱性課程資源能夠增強學生學習的選擇性，促進個性發展的多元化，從而為實現數學學科育人作了重要補充，為回歸數學學科本位提供了重要途徑. 在初中數學教學實踐中，可以通過結構化統籌編排教材體例、選擇性拓展延伸必要內容、主題式開發設計項目學習等路徑建構、利用隱性課程資源．

關鍵詞：隱性課程資源；結構化；項目學習

中圖分類號：G633.6" " " 文獻標識碼：A" " " 文章編號：1673-8284（2025）03-0036-06

引用格式：吳小兵. 初中數學隱性課程資源的建構與利用［J］. 中國數學教育（初中版），2025（3）：36-41.

由于地區、學校和學生原有學習基礎等方面的差異，初中生學業水平發展的不平衡性一直客觀存在，且初中階段學生的數量龐大，其群體差異性在較長時期內都難以輕易消融. 這是當前初中教育發展的長期趨勢和重要特征，也意味著僅依靠國家課程、地方課程等不能完全適應時代發展和學生發展的需求，必須增強初中生學習的選擇性和個性發展的多元化，即在統一課程要求的基礎上，有針對性地加強隱性課程資源建設.《義務教育課程方案（2022年版）》（以下簡稱《方案》）強調，堅持素養導向，優化課程內容結構，提高課程適宜性，適當增加課程選擇性. 這顯然為各學科隱性課程資源的建構與利用提供了依據和空間.

一、隱性課程資源的要義

“課程”的內涵非常豐富，一般可以認為是學校為實現教育目標而選擇的教育內容的總和，也可以泛指學校的某一門學科. 相對于一般課程資源而言，隱性課程資源主要是指學科課程基本要求之外的或學科課程未明確規定或未細化的教學資源. 當然，從更廣泛的視角來看，也包括學生在教學情境中無意識獲得的價值觀、經驗等意識形態內容，即教學中以內隱的、間接的方式呈現的教學資源. 隱性課程資源具有如下幾個明顯特征：一是呈現方式輕巧、靈活，其時長、容量等可以根據需求及時調整，有時甚至是不經意間生成的教學資源；二是倡導學生積極參與實踐，讓學生在“做中學”；三是學習結果評價多元化，其學習成果可能是非顯性或非短期能顯現的.

二、初中數學隱性課程資源的價值指向

1. 為數學學科育人的實現作了重要補充

學生通過數學課程的學習，掌握適應現代生活及進一步學習必備的基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗. 數學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發展中發揮著不可替代的作用. 但在初中數學常態課堂的教學中，為了實現知識掌握的高效性，教師可能關注更多的是主干知識的快速呈現、強化鞏固，以及唯分數論的評價方式，從而與數學學科育人的本質漸行漸遠. 利用隱性課程資源，教師可以在充分研判學生學情基礎與最近發展區、學科關鍵能力、個體思考與團體協作、初高中銜接持續發展等因素的基礎上，構建新型的多樣化生態課堂，既面向全體學生，又盡可能多地為學生的個性化發展需要著想，更好地“以生為本”，培育全面發展的人，為最終回歸數學育人本質發揮重要作用.

2. 為回歸數學學科本位提供了重要途徑

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，要對內容進行結構化整合，探索發展學生核心素養的路徑，重視數學結果的形成過程. 同時指出，在課程內容呈現上，注重知識與方法的層次性和多樣性，適當體現選擇性，逐漸拓展、加深課程內容，適應學生的發展需求. 由此可見，加強初中數學隱性課程資源的開發和利用，既是依據教育教學規律的現實體現，也是回歸數學學科本位的必然要求. 通過隱性課程資源的有效利用，可以強化數學邏輯系統和語言系統，提供給學生認識不同研究對象的關系，讓學生更好地了解數學知識發生的來龍去脈，感受數學思維方式和基本思想方法，形成一定的判斷與選擇意識，最終有利于發展數學核心素養.

三、初中數學隱性課程資源的建構與利用路徑

1. 結構化統籌編排教材體例

盡管現行各版本初中數學教材在體系上已經相對成熟，有各自較為完備的系統結構和特色，但在具體內容的選擇和體例編排上仍存在一定的局限性. 教師需依據課標，解構教材，根據學生的學情和實際需求及時研判調整教學策略，從結構化的視角合理重組教學內容，并對不同教學內容賦予不同的素養目標定位，如有的內容側重數學思想方法的滲透，有的內容強調學生的直觀感受和自主建構，有的內容注重讓學生在動手操作中體悟，有的內容偏重解決實際問題等，從而充分挖掘教材中的隱性資源.

案例1：整式的乘法.

人教版《義務教育教科書·數學》（以下統稱“人教版教材”）“14.1 整式的乘法”中依次編排了同底數冪的乘法、冪的乘方及積的乘方三個小節的內容，各小節都是由具體的簡單例子引發思考，再從一般情形予以證明，確立法則，最后進行計算運用.

由于三個小節的編排體例基本相同，且知識點間聯系密切，都可以歸屬到正整數指數冪的乘法，由此可以考慮在學情基礎較好時，將三個小節的內容結構化統籌呈現，擬達成以下學習目標.

（1）經歷探索同底數冪的乘法法則的生成過程，并類比探究冪的乘方與積的乘方的運算性質，體會從特殊到一般的數學認知方法，構建正整數指數冪相關運算性質的結構框架；

（2）通過正整數指數冪的三條性質的簡單運用，體會從一般到特殊的思想方法；

（3）通過逆向運用正整數指數冪的運算性質，培養思維的嚴謹性和靈活性.

教學活動結構化統籌編排如下.

活動1：利用乘方的意義，師生探討同底數冪乘法的運算性質.

（1）結合乘方的意義解釋：①2³；②2⁵.

（2）嘗試計算下列式子：

①2³×2⁵； ②1/3²×1/3³； ③0.2³×0.2⁴.

（3）發現、猜想運算規律.

（4）結合乘方的意義，證明等式a^m ? aⁿ=a^m+n"（m，n都是正整數）.

（5）拓展思考：如何計算a^m ? aⁿ ? a^k（m，n，k都是正整數）.

活動2：結合實例，小組合作探討冪的乘方的運算性質.

（1）嘗試計算：（2³）²；（a⁵）²；（a^m）ⁿ（m，n都是正整數）.

（2）發現概括：（a^m）ⁿ=a^mn（m，n都是正整數）.

（3）類比拓廣：猜想amnk（m，n，k都是正整數）的結果.

活動3：創設情境，揭示積的乘方的運算性質.

由學生自主思考，進行計算、概括、證明和拓展.

活動4：深化對正整數指數冪性質的理解，學會簡單應用.

活動5：小結探究過程，形成知識脈絡，獲得學習經驗.

【評析】一般意義下，數學教材中將知識模塊按線性方式排布，并分為若干課時，其優勢是每個課時的教學目標相對獨立，可以按部就班地設計任務. 但線性思維方式并不能全盤把握很多復雜現象背后的規律和本質. 因此，教師在教學中需要關注非線性思維，即結構化思維. 數學認知結構化可以給學生呈現更高層次的整體認識觀，避免知識碎片化傾向，并使得探究式、開放式學習成為可能，從而更好地促進學生學會遷移，增強數學學習的可持續發展性.

2. 選擇性拓展延伸必要內容

初中數學教材中除正文外，一般還設置了一些選學欄目，如人教版教材中的“觀察與猜想”“閱讀與思考”“實驗與探究”等欄目. 這些是重要的隱性課程資源. 雖然這些隱性課程資源不列為正式課程要求，但卻對拓寬學生的知識面，加深學生對某些特定內容的理解，以及提升學生運用現代信息技術的能力等方面大有裨益. 因此，教師應結合學生的認知需求和課時空間，有側重地選擇部分隱性課程資源進行針對性的拓展研究.

案例2：人教版教材八年級上冊“實驗與探究”——三角形中邊與角之間的不等關系.

在研究了等腰三角形的性質與判定之后，教材中安排了該選學內容. 一是引導學生探究三角形中邊與角之間的不等關系；二是體現遷移轉化思想，即利用一類相等關系來解決相關的不等關系. 通過這一實驗與探究，讓學生積極開展觀察思考、實驗操作、合作討論、分享展示等活動，使學生進一步養成善于發現、觸類旁通的思維習慣，提升幾何直觀和推理能力.

探究過程設計如下.

活動1（準備）：（1）畫出幾個三邊都不相等的三角形，回顧三角形中有關邊與角的知識.

（2）對于特殊三角形——等腰三角形，我們探究過哪些相關知識？（定義、性質、判定.）

活動2（思考探索）：由三角形中“等邊對等角”的性質，你能猜想一些相關結論嗎，即有無“大邊對大角”（或“小邊對小角”）呢？

猜想：在△ABC中，若AB gt; AC，則∠B與∠C的大小關系是_________.

對于上述猜想，學生結合圖形，采取先獨立探索，再小組討論，最后班級分享交流的形式予以解決. 學生得到了如下兩種方法.

方法1：如圖1，將△ABC沿過點A的直線折疊，使邊AC落在邊AB上，點C對應點D，折線交BC于點E，則∠ADE = ∠C. 因為∠ADE gt; ∠B，所以∠C gt; ∠B.

方法2：如圖2，在邊AB上截取AD，使AD = AC，連接CD，則∠ADC = ∠ACD. 因為∠ADC gt; ∠B，所以∠ACD gt; ∠B. 因為∠ACB gt; ∠ACD，所以∠ACB gt; ∠B.

歸納：在△ABC中，若AB gt; AC，則∠C gt; ∠B，簡稱“大邊對大角”.

拓展思考：（1）在△ABC中，已知AB gt; AC gt; BC，那么∠A，∠B，∠C有怎樣的大小關系？

（2）若一個三角形中最大的邊所對的角是銳角，這個三角形一定是銳角三角形嗎？為什么？

活動3（類比遷移）：三角形中有“大邊對大角”，反之有“大角對大邊”嗎？

猜想：在△ABC中，若∠C gt; ∠B ，則AB與AC的大小關系是________.

證明：如圖3，在∠ACB內作∠BCD = ∠B，CD交AB于點D，則BD = CD. 因為AD + DC gt; AC，所以AD + BD gt; AC，即AB gt; AC.

歸納：三角形中邊與角之間的不等問題，可以通過相等問題轉化為較大圖形的一部分與較小圖形相等的問題，這也是幾何中研究不等問題時常用的方法.

活動4（拓展提升）：（1）直角三角形的哪一條邊最長？為什么？

（2）如圖4，在△ABC中，AB gt; AC，AD是中線，判斷∠BAD與∠DAC的大小關系，并證明.

（3）在△ABC中，∠A為鈍角，且AB = 2AC. 求證：∠ACB gt; 2∠B.

活動5（形成素養）：總結本節課的學習過程中運用的相關數學思想（類比、轉化、從特殊到一般）和相關數學方法（疊合法、截長補短法等）.

【評析】通過選擇性拓展一些必要內容，可以進一步加深學生對數學知識體系的理解內化，提高學生發現問題、提出問題和解決問題的能力，而非僅僅加強解題技巧. 教師在教學中可以基于學生已有的認知基礎開展拓展性學習，在特設問題情境中，結合預定目標，恰當應用相關原理、方法等，借助多重操作強化問題解決的策略化進程，從而有效充實學生的學習體驗，發展數學核心素養.

3. 主題式開發設計項目學習

《方案》中提出要加強綜合課程建設，優化綜合實踐活動實施方式與路徑，注重培養學生在真實情境中綜合運用知識解決問題的能力. 為此，教師在教學中可以設計具有一定實踐性和開放性的項目學習活動作為隱性課程資源.

項目學習是以主題為中心，圍繞學科某一核心內容進行組織，體現學科知識發展、學科思想與方法，深化認識世界的學習方式，通常需要若干課時完成. 學生在教師引領下開展系列彼此關聯的項目學習活動，獲得豐富的過程性知識和積極的學習體驗，提升學科關鍵能力，形成解決問題的策略，促進素養持續發展. 同時，學生在項目學習過程中將逐漸積累起來的知識加以歸納和整理，使之條理化、綱領化，做到綱舉目張，逐步形成相應的結構化系統，包括結構化的整體育人目標、項目實施過程和評價體系.

案例3：探究滾動的“圓”.

探究1：圓在直線上滾動.

設半徑為1的圓沿定直線無滑動的滾動一周，求：（1）圓滾動的距離；（2）圓心經過的路徑長.（圓滾動的距離和圓心經過的路徑長均為2π.）

發現：圓沿定直線滾動時，圓心經過的路徑長等于圓滾動的距離.

拓展思考：此時圓上任意一定點經過的路徑長是否等于圓心經過的路徑長？

拓展介紹：如圖5，半徑為1的圓沿定直線無滑動的滾動一周，圓心由點A移動到點B，AB長為2π，而圓上一定點P經過的路徑是一條曲線，稱為擺線，也稱圓滾線或旋輪線，其拱高為2，拱寬為2π，根據“兩點之間線段最短”，其長度顯然大于AB長.

探究2：圓在折線上滾動.

（1）設半徑為1的圓沿同一平面內周長為20的三角形外部邊緣無滑動的滾動一周，求圓心運動的路徑長.

簡析：如圖6，圓心運動路徑長等于DE + FG + HK +EF+GH+KD，而EF，GH，KD所在圓的半徑均為1，所對圓心角的和恰為360°，因此此時圓心運動的路徑長為原三角形周長加上一個半徑為1的圓的周長.

拓展思考：設半徑為1的圓沿同一平面內任意多邊形外部邊緣無滑動的滾動一周，圓心運動的路徑長有何特點？此時該圓自轉圈數是多少？

結論：此時圓心運動的路徑長為原多邊形周長加上一個半徑為1的圓的周長，而該圓自轉的圈數為（多邊形周長/2π+1）.

（2）仿照剛才的研究，提出一個類似的問題并嘗試解決.

問題：若設半徑為1的圓沿同一平面內三角形內部邊緣無滑動的滾動一周，圓心運動的路徑長又是怎樣的呢？

師生活動：學生通過正向遷移已有問題的研究經驗，學會自主提出問題、解決問題. 當學生所提問題難度超過原有問題時，可以從特殊情形突破，如該三角形為直角三角形或等邊三角形時，設法解決.

簡析：如圖7，設△ABC中∠B = 90°，∠A = 30°，BC = 4. 設圓心的運動路徑為△DEF，則有△DEF ∽ △ABC，且EF = 3 -3. 從而得到△DEF的周長（即圓心運動的路徑長）為6.

拓展發現：若已知三邊長的△ABC為一般三角形，仍有△DEF ∽ △ABC，可以通過銳角三角函數求出EF與BC之間的數量關系，再求出△DEF的周長.

探究3：探究接下來研究問題的方向.

（1）定圓O的半徑為2，同平面內半徑為1的動圓⊙A沿著⊙O外部邊緣滾動一周，圓心A的運動路徑為多長？⊙A自轉的圈數為多少？（探討將三角形改為曲線，如圓在圓上滾動.）

簡析：如圖8，圓心A的運動路徑長 = 2π × 3 = 6π，⊙A自轉的圈數 =6π/2π= 3.

（2）將（1）中⊙A改為沿著⊙O內部邊緣滾動一周，其余條件不變，結果如何呢？（進一步加大難度，讓學生提出問題的研究方向，同時對學生抽象思維和空間想象能力提出了更高的要求.）

簡析：如圖9，圓心A的運動路徑長 = 2π × 1 = 2π，⊙A自轉的圈數為2π2π= 1.

其動態示意圖如圖10所示，假設⊙A從⊙O內部正上方開始滾動，滾到一半時，原來指向正上方的半徑外端變成了指向正下方，此時⊙A相當于剛自轉了半圈.

探究4：（課外閱讀探索）⊙A沿著⊙O內部邊緣滾動一周，⊙A上一定點的運動路徑會是什么圖形？

【評析】通過開發項目學習可以提高學生發現問題、提出問題、解決問題的能力，而非僅僅加強解題運算技巧. 我們倡導的初中數學項目學習既關注教師的“教”，更關注學生的“學”，是“學”與“教”的有機統一. 教師可以對特定學段的學科內容進行全面梳理，對教材中的知識體系進行解構，依照整體育人取向和價值追求，對相關教學內容進行重新整合，強調學習目標、學習情境、學習任務、學習活動和學習評價的一致性，分領域重新建構學習項目，使每個領域內的項目之間有著密切的邏輯聯系，并以結構化方式進行架構. 在特設問題情境中，教師要結合預定目標，恰當應用相關原理、方法等，借助多重操作強化問題解決的策略化進程，有效充實教學體驗，真正發揮隱性課程資源的效能.

四、結束語

數學學科育人目標從“雙基”到“三維”，然后到“四基”，再到關注并發展核心素養與關鍵能力，最終落實立德樹人的根本任務，其演變歷程體現了對人的全面發展理解的不斷加深，既是對被教育者的期許，也對教育者提出了更高的要求. 初中數學隱性課程資源的建構與利用特別重視發展學生的應用能力和創新意識. 在教師引領下，學生圍繞特定主題積極探索，獲得體驗，得到發展. 教師要將隱性課程資源建設推向深層次，進一步促進學生批判性審視學習過程，科學把握學科本質內容，形成積極向上的內在學習態度和動機，成為兼具獨立性、創造性，又有團隊精神的優秀學習者.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育課程方案（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［3］顧明遠. 教育大辭典（增訂合編本）［M］. 上海：上海教育出版社，1998.