“變量控制”在中點連線題中的創(chuàng)新應(yīng)用

摘" 要：在一道以三角形為背景的幾何題中，創(chuàng)新性地將兩中點進(jìn)行連線，有效考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 通過“變量控制”，實現(xiàn)一題多解、多角度考查的目的.

關(guān)鍵詞：中點；基本圖形；教學(xué)價值；核心素養(yǎng)；變量控制

中圖分類號：G633.6" " " 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A" " " 文章編號：1673-8284（2025）03-0055-05

引用格式：錢宜鋒.“變量控制”在中點連線題中的創(chuàng)新應(yīng)用［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2025（3）：55-59.

在課堂中，采用符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的“老題換新”來觸發(fā)學(xué)生經(jīng)歷結(jié)果性知識的形成過程，有助于學(xué)生理解、掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基本技能，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)基本思想，積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 以三角形中位線知識為例，基于中點連線題中的創(chuàng)新應(yīng)用進(jìn)行論述.

一、題目呈現(xiàn)

二、一題多賞

1. 題面簡約美觀，蘊含豐富的知識點

該題減少了線條對學(xué)生的干擾，進(jìn)一步拓展了中點問題，使題面簡約而不簡單. 該題不僅涉及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、勾股定理、等腰（直角）三角形的性質(zhì)、三角形全等、三角形中位線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、圓的性質(zhì)，還融入了函數(shù)表達(dá)式和方程、代數(shù)式變形等知識，通過整合多個知識點彰顯了數(shù)學(xué)構(gòu)圖的美感.

2. 在修復(fù)與構(gòu)造中發(fā)展核心素養(yǎng)

該題以學(xué)生熟知的直角三角形斜邊的中線為背景命制，降低了學(xué)生對題面的陌生度. 再通過讓學(xué)生修復(fù)等腰直角三角形、全等三角形，構(gòu)造三角形中位線、輔助圓等基本圖形來實現(xiàn)構(gòu)造、轉(zhuǎn)移組合圖形，為尋找有效的線段間的數(shù)量關(guān)系奠定基礎(chǔ). 最后，通過創(chuàng)新，與另一個同直角的等腰直角三角形的斜邊中點相連線，在原有圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，旨在考查學(xué)生的幾何直觀、推理能力、應(yīng)用意識等核心素養(yǎng).

3.“數(shù)”與“形”中的執(zhí)果索因

該題注重對學(xué)生對數(shù)學(xué)方法的掌握和數(shù)學(xué)思想的內(nèi)化情況的考查. 通過將等腰直角三角形的一條直角邊沿水平方向放置，助力學(xué)生運用執(zhí)果索因的整體思想，啟發(fā)學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合思想解題，間接為學(xué)生提供了解題的方法和思路. 這體現(xiàn)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)該達(dá)成有意義的綜合性能力，且重視數(shù)學(xué)思想是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑.

三、一題多解

DE的長由點E的位置來確定，而點G，E的位置相互關(guān)聯(lián)，點G的位置由多個變量控制，從控制這些變量入手解決DE長，來實現(xiàn)一題多解.

1. 用代數(shù)式表示圖形的數(shù)量關(guān)系

2. 建立平面直角坐標(biāo)系尋找圖形中的數(shù)量關(guān)系

由等腰直角三角形ABC的放置方式，聯(lián)想到建立平面直角坐標(biāo)系，易得點A，D，F(xiàn)的坐標(biāo)，由此線段AG，F(xiàn)G的長由點G的坐標(biāo)來確定. 由于點G在△ABC的中位線（MN）所在直線上運動，因此問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為如何求直線MN的表達(dá)式及點G的縱坐標(biāo). 由于G為線段DE的中點，因而問題可以轉(zhuǎn)化如何確定點E的坐標(biāo).

【評析】等腰直角三角形放置的位置為學(xué)生找線段間的數(shù)量關(guān)系和建立平面直角坐標(biāo)系提供了解題方向. 這種創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生建立平面直角坐標(biāo)系來解題的命題，既考查了學(xué)生用坐標(biāo)表達(dá)圖形的性質(zhì)，又豐富了幾何問題代數(shù)化解決的方式.

3. 修復(fù)還原圖形，發(fā)現(xiàn)圖形中的數(shù)量關(guān)系

4. 構(gòu)造、切割、轉(zhuǎn)移圖形，尋找數(shù)量關(guān)系

【評析】這種通過構(gòu)造、切割基本圖形，以及轉(zhuǎn)移基本圖形，尋找圖形中線段間數(shù)量關(guān)系的考查方式，有助于達(dá)到考查學(xué)生的幾何直觀、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識的目的.

5. 構(gòu)造三角形中位線解決圖形中的數(shù)量關(guān)系

6. 顯化運動規(guī)律解決圖形中的數(shù)量關(guān)系

四、教學(xué)建議

1. 重視基本活動經(jīng)驗的積累

該題是一道關(guān)于線段中點的綜合題，這種中點連線問題是學(xué)生比較少見的，怎樣通過中點控制線段DE的長度，更是少見. 因此，教師要重視引導(dǎo)學(xué)生全程參與數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)，學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，尋求解決問題的思路，挖掘隱含的線段間的數(shù)量關(guān)系. 在教學(xué)中，通過讓學(xué)生思考的方式，使其積累基本活動經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2. 強化推理能力與基本圖形的教學(xué)

基于以上9種解法可知，該題主要考查了學(xué)生的推理能力和對基本幾何圖形的掌握. 這對學(xué)生解決幾何問題所需的推理能力和對圖形基本性質(zhì)的掌握程度提出了較高的要求. 因此，教師在平時教學(xué)中要加強推理能力的教學(xué)，有助于學(xué)生理解推理在形成數(shù)學(xué)概念、法則、定理和解決問題中的重要性，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，促進(jìn)其思維方式的豐富與優(yōu)化，形成有邏輯地表達(dá)與交流的習(xí)慣. 類似地，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生采用對已知圖形進(jìn)行修復(fù)、轉(zhuǎn)移、構(gòu)造等方式與目標(biāo)進(jìn)行關(guān)聯(lián)，圍繞基本圖形展開邏輯推理，并將其內(nèi)化為自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而發(fā)揮基本圖形的價值，提升學(xué)生的推理能力.

3. 突出數(shù)學(xué)思想方法

該題弱化了用特殊技巧解題，注重對用坐標(biāo)表達(dá)圖形性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合等思想方法的考查. 教師在平時的教學(xué)中要把數(shù)學(xué)思想方法滲透到教學(xué)的全過程. 例如，求線段DE的長時，教師既可以從代數(shù)的角度切入進(jìn)行分析，也可以讓學(xué)生建立平面直角坐標(biāo)系，分析目標(biāo)線段與基本圖形的關(guān)系. 在平時的解題教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題進(jìn)行分析、挖掘，尋找隱含在其中的數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生形成有效解決問題的思路. 在這個過程中，學(xué)生不僅能學(xué)好概念、法則、定理等內(nèi)容，還能體會數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程，感悟其中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，從而提升應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識等核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］章建躍. 數(shù)學(xué)教育隨想錄（下卷）［M］. 杭州：浙江教育出版社，2017.

［2］鄧凱. 幾何基本圖形：從潛意識走向有意識［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2016（10）：41-43.

［3］章建躍. 數(shù)學(xué)教育隨想錄（上卷）［M］. 杭州：浙江教育出版社，2017.