有效運用課前助學單，助力初中生自主探究學習

摘" 要：基于數學概念的內在關聯、數學技能的靈活運用、數學活動經驗的運用強化、數學與生活經驗的相互融通及數學與其他學科知識的緊密聯系來設計課前助學單，指導學生課前進行補償性學習與嘗試探究性學習，幫助學生用整體的、聯系的、發展的眼光看問題，助力學生自主探究學習.

關鍵詞：課前助學單；自主預習；探究學習；數學核心素養

中圖分類號：G633.6" " " 文獻標識碼：A" " " 文章編號：1673-8284（2025）03-0042-05

引用格式：林日福. 有效運用課前助學單，助力初中生自主探究學習［J］. 中國數學教育（初中版），2025（3）：42-45，50.

一、問題提出

認知心理學認為，決定有意義學習出現的唯一最重要條件是學生原有知識的性質，包括學生在學習新知識時，其認知結構是否具備相應的知識準備，以及原有知識是否鞏固，新知識與原有知識屬于什么關系等. 教學中，教師常通過復習舊知活動來激活學生原有的知識，但學生之間存在的差異，以及完成課堂教學任務的現實需要常讓教師難以帶領學生真正開展探究性學習，影響了學生數學核心素養的發展. 本文借助課前助學單，為有效解決這一問題提供參考.

二、課前助學單的內涵

課前助學單是指導學生在課前進行補償性學習與嘗試探究性學習的一種學習方案. 通過在新舊知識的銜接處設計結構化問題串，引導學生二次理解舊知，嘗試探究新知，體會新舊知識的內在聯系，感受知識的發展性，提高對數學的整體性認識. 教師根據學生在完成任務過程中遇到的困難及問題，修改、完善教學設計，更好地構建高質量課堂.

三、課前助學單的設計

1. 基于數學概念的內在關聯

現實中當我們忘記某個概念時，常通過概念之間的關聯信息來激活這個概念. 通過分析數學概念之間的關系，有利于深化對所學概念的認識，加深對有關概念的理解，也便于記憶. 基于新舊概念的內在聯系，教師創設合適的情境指導學生課前自覺復習與新概念相關聯的舊概念，嘗試探究新概念，有利于學生建構概念網絡，增強對概念的理解與記憶.

案例1：二次函數概念的教學.

函數是二次函數的上位概念，一次函數與二次函數是并列關系，它們都是函數的下位概念，而且一次函數與二次函數的定義方式都是“樣子 + 條件”的形式，這兩個特殊的函數在現實世界中都可以找到豐富的例子，且可以通過“例子—屬性—概念”的學習路徑獲得. 因此，學生能否從記憶中順利提取出函數、一次函數的概念及研究經驗，將直接影響他們學習和理解二次函數的概念，建立函數的概念網絡.

問題1：某商場將一種單價為30元的新產品定價60元進行銷售.

（1）設銷售n個這種產品時銷售額為m元，則m與n之間的關系式是__________. m是關于n的函數嗎？試說明理由.

（2）該商場在試銷這種產品時發現，如果按定價銷售，每天可以售出100個，如果每個降價1元銷售，那么每天可以多售出10個. 設當每個降價x元時，每天可售出y個，商場獲得利潤是Q元，那么y與x之間的關系式是__________，Q與x之間的關系式是__________. Q是關于x的函數嗎？試說明理由.

（3）找出上述問題中的一次函數，并判斷Q是否是關于x的一次函數.

問題2：用長為40 m的籬笆圍成一個矩形養雞場，設養雞場的一邊長為x m，另一邊長為y m，面積為S m2，則y與x之間的關系式是_________，y是關于x的一次函數嗎？S與x之間的關系式是_________，S是關于x的一次函數嗎？為什么？

問題3：在上述Q與x及S與x之間的關系中，試說說它們的共同特征，并再舉出一個滿足這些特征的函數.

【設計意圖】以生活現實為問題情境，指導學生運用函數的概念解釋兩個變量之間的關系，運用一次函數的概念對所得的函數關系進行判斷，復習鞏固函數、一次函數的相關概念. 在此基礎上，讓學生找出兩個新函數的共同特征，舉出具有這些特征的例子，將有助于激活學生學習函數概念的認知經驗，促進他們自主探究二次函數的概念.

2. 基于數學技能的靈活運用

數學技能是一種程序性知識，學習中也會出現遺忘或不熟練，進而影響新技能的學習或運用技能探究新知識. 因而，在學習新知識時，引導學生復習鞏固相關的數學技能，將有助于他們在探索學習新知識或解決新問題時能及時、準確地調用已有知識和經驗.

案例2：反比例函數的圖象及性質的教學.

研究反比例函數的圖象及性質與研究一次函數的圖象及性質相類似. 就北師大版《義務教育教科書·數學》而言，按“列表、描點、連線”這樣的操作程序畫出函數的圖象，是八年級第一學期的學習內容. 通過大量的教學實踐發現，在九年級學習反比例函數的圖象及性質這一課時，很多學生對畫函數圖象的程序已較為陌生，使得本應是學生可以通過自主探究獲得新知識的活動，變成了“教師示范 + 學生模仿”式的學習. 因而，指導學生自覺復習畫函數圖象的操作規則，是很有必要的.

問題1：函數圖象的概念是什么？

問題2：畫出一次函數y = 2x + 3的圖象，完成下列問題.

（1）該函數圖象的形狀是_________；

（2）該函數圖象經過______________象限；

（3）當自變量x的值增大時，函數y的值如何變化？你是如何判斷的？

問題3：根據反比例函數y=6/x表達式的形式嘗試寫出其性質，然后畫出它的圖象，再檢驗你所寫的性質是否正確、完整.

【設計意圖】通過引導學生自主復習函數圖象的概念，研究一次函數的圖象及性質的內容及經驗，鞏固畫一次函數圖象的技能，再嘗試畫出反比例函數y=6/x的圖象，從“式結構”與“形結構”兩個視角嘗試探究其性質，發展學生的類比思想與遷移能力.

3. 基于數學活動經驗的運用強化

數學活動經驗是學生在“做數學”的活動過程中獲取的信息. 激活數學活動經驗能指導學生探究學習新知識，感悟數學思想方法，豐富對數學知識的體驗與理解，發展數學思維能力. 因而，在探索學習新知識前，創設合適的問題情境，引導學生主動回憶、提取已有的數學活動經驗，讓已有的經驗在探索學習新知識中發生作用，有助于經驗的強化，進而將基本活動經驗發展為數學核心素養.

案例3：三角形的內角和定理的教學.

探究三角形的內角和與探究整式的運算法則的路徑是相似的，都是基于特殊情況成立的結論，通過歸納（更多用于代數問題）或類比（更多用于幾何問題）推斷一般情況下的類似結論成立. 對于推斷得到的結論，還需要經過數學證明（包括數學計算）的驗證，即實踐歸納—推理論證—應用拓展. 例如，學習同底數冪的乘法運算法則時，先計算一些特殊的冪的乘法運算，歸納、猜想a^m · aⁿ=a^m+n（其中m，n為正整數），然后運用冪的定義來證明猜想. 這樣，引導學生回憶探究同底數冪的乘法運算法則的經驗，可以啟發學生自主嘗試探究三角形的內角和定理，感悟類比思想，建立數學學科內跨知識領域的數學大概念、大觀念，從整體上認識數學，發展數學核心素養.

問題1：同底數冪的乘法法則的內容是什么？我們是怎樣得到這一運算法則的？

問題2：我們在學習哪些知識時也經歷了類似探究同底數冪的乘法法則的過程？試舉例說明.

問題3：在以前，我們是通過什么樣的方法得到三角形的內角和是[180°]的？

問題4：如圖1，已知△ABC. 證明：∠A + ∠B + ∠C = 180°.

問題5：比較探究同底數冪的乘法法則與探究三角形的內角和的過程，說說你的理解與體會.

【設計意圖】通過激活學生探究獲得同底數冪的乘法運算法則等知識的數學活動經驗，強化學生對歸納推理、演繹推理的運用及價值的體會. 在此基礎上探究三角形的內角和，實現數與代數領域和圖形與幾何領域在思維方法上的融通，進一步強化從特殊到一般的探究經驗，激發學生對數學的整體性、關聯性認識，提升推理能力.

4. 基于數學與生活經驗的相互融通

我們知道，數學來源于現實世界，是對現實世界的抽象，生活中的普適規則往往與數學中的規則是相通的，其蘊含的思想方法也類似. 例如，我們在生活中常將某些具有共同特征的事物歸為一類，然后給他們“打個包”，命個名字，就成為一類產品或一個規則. 這個過程中蘊含著歸納思想，與很多數學概念、規則或定理的獲得過程是類似的. 這樣，將數學中的概念、原理、規則的學習與現實生活中的普適規律、規則建立聯系，將有利于學生建立數學與現實關系的大概念，幫助他們更好地了解數學知識的產生與來源、結構與關聯、價值與意義.

案例4：整式的加減法的教學.

數式通性是研究數（實數）、式（整式、分式、二次根式）和解方程的基本思想和方法. 由于字母可以表示數，因此數的運算法則、運算律和運算性質在式中仍然成立. 教學的難點不在于學生是否會運用運算法則、運算律和運算性質進行式的運算，而是如何幫助學生體悟數式通性這一基本思想方法. 也就是說，學習整式的加減法時，怎樣計算2a + 3a固然重要，但認識到2a + 3a可以像2 + 3一樣進行“合并”，形成“合并”的概念更為重要.

問題1：多項式[7a+3a2+2a-a2+3]中，二次項的有" " " " ，二次項的系數分別是" " " " ，一次項的有" " " " ，一次項的系數分別是" " " " ，常數項是" " " " .

問題2：閱讀下列計算過程.""" ".

你有些什么發現？

問題4：下列的兩個式子中能否如問題3的第（4）（5）小題一樣合并？為什么？

（1）-2a²b與6a²b；（2）-2ab²與6a²b；

（3）6ab與6a²b；（4）6x²y與6a²b.

問題5：嘗試計算[3a+8a]，并說說你這樣計算的理由.

【設計意圖】通過將式的運算規則與學生的現實生活經驗建立聯系，引導學生運用生活中的經驗——同類的事物才能而且可以“合并”，來探究獲得式的運算的經驗——同類的單項式才能而且可以“合并”. 將數學中的合并同類項與生活中的“合并”同類事物建立聯結，形成“合并”大概念，幫助學生形成合并單項式的概念. 在此基礎上，再運用數的運算中乘法對加法的分配律，探究、解釋兩個同類的單項式合并的過程及算理，體會數式通性.

5. 基于數學與其他學科知識的緊密聯系

數學承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分. 數學是自然科學的重要基礎，在社會科學中發揮著越來越重要的作用，數學的應用滲透到了現代社會的各個方面. 學習數學可以幫助學生學習理解其他學科的知識；反之，其他學科知識的學習也有助于他們學習和理解數學，并在此過程中體會數學與其他學科的密切聯系，建立跨學科大概念，提高學習數學的興趣，感受數學的價值. 事實上，把數學獨立于其他學科來孤立地學習，既不利于學生的全面發展，也不利于學生對數學知識的全面性、本質性理解，更不利于培養學生的應用意識與創新能力.

案例5：用樹狀圖或表格求概率的教學.

求等可能獨立事件發生的概率，可以運用枚舉法，但如果獨立事件的數量較大，枚舉法則具有局限性. 如何從枚舉法想到畫樹狀圖法或列表法呢？生物學學科中的遺傳圖譜（如圖2）與數學中的樹狀圖是類似的. 學生已經在八年級生物學學科中學習過畫簡單的遺傳圖譜，因而可以通過啟發學生運用畫生物學的遺傳圖譜的方法及經驗來探究獲得運用樹狀圖法求簡單等可能獨立事件發生的概率.

問題1：人類的性別是由一對性染色體（X，Y）決定的. 當受精卵的性染色體為XX時，該受精卵發育成的孩子是女孩；當受精卵的性染色體為XY時，該受精卵發育成的孩子是男孩. 一對已婚夫妻，如果妻子懷上了一個小孩，求該小孩為男孩的概率，并畫出他們的性染色體遺傳圖譜.

問題2：有兩個口袋，一個口袋中裝有2個紅球，另一個口袋中裝有1個紅球和1個白球，這些球除顏色外都相同. 分別從每個口袋中隨機摸出1個球，求摸到的2個球1個是紅球1個是白球的概率.

問題3：連續擲2枚質地均勻的硬幣，求1枚正面朝上、1枚反面朝上的概率.

【設計意圖】通過復習生物學中畫性染色體遺傳圖譜，創設相類似的問題情境，啟發學生遷移畫遺傳圖譜的方法畫出簡單獨立事件的樹狀圖，在比較枚舉法與畫樹狀圖法的過程中實現從枚舉法到畫樹狀圖法的順利過渡，發展學生的抽象能力和推理能力等數學核心素養.

再如，在教學“軸對稱”時，可以讓學生在課前收集一些具有對稱美的詩句，如“晴川歷歷漢陽樹，芳草萋萋鸚鵡洲”“兩個黃鸝鳴翠柳，一行白鷺上青天”“明月松間照，清泉石上流”等，也可以讓學生收集一些具有對稱美的樹葉、花朵等，還可以觀察周圍的建筑物，體會建筑物的對稱美，從而將數學中的“對稱”與語文中的“對偶”、現實生活及其他學科的“對稱”建立聯結，形成“對稱”的大概念.

四、結束語

實踐研究表明，學生學習數學的自信主要來源于學生經過努力后能順利獲得數學知識，掌握數學技能和達成學習目標. 從外在表現來看，就是能持續地理解和掌握所學習的新知識，順利解決新問題. 運用課前助學單，引導學生自主建構新舊知識的內在關聯，將有效減輕他們探究學習新知的認知負擔，提高學習質量. 科爾比的經驗學習理論認為，處于理想狀態的經驗至少要經過“具體經驗—反思性觀察—抽象概括—主動實踐”四個階段的循環才能完成. 運用課前助學單，既能幫助學生強化已有的經驗，也能引導學生對已有經驗進行反思性審視、概括性思考及遷移性應用. 在面對新的問題時，這些經驗將助力學生探究獲得新知識. 同時，在課前做好學習新知準備后，學生能分配更多的認知資源并以積極的狀態對探究新知識的認知活動進行管理、監控，以保證認知活動可持續、高效地進行. 特別地，課堂探究學習效率與質量的提升能給學生留出更多課堂鞏固練習的時間，使當天的課后作業可以提前在課堂上完成，這會對學生養成良好的數學學習元認知及數學學習習慣產生積極的影響.

參考文獻：

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［4］林日福. 實施“三學”課堂" 促進“雙減”落地：以“二次函數的圖像與性質（第1課時）”為例［J］. 中學數學教學參考（中旬），2022（3）：2-4，20.

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