以數學活動為導向 以落實素養為目標

摘" 要：有效的數學教學活動是學生的學和教師的教相統一. 基于知識的整體性，執教教師以大單元為背景對“命題、充要條件與邏輯推理”的內容進行了復習課設計，通過試題引入、明晰定義、自主探究、總結方法、深化應用、提煉建構、作業設計等七個教學環節，引導學生在真實情境中分析問題和解決問題，以數學活動為導向，落實核心素養培養目標.

關鍵詞：命題；充要條件；邏輯推理；數學教學活動

中圖分類號：G633.6" " "文獻標識碼：A" " "文章編號：1673-8284（2025）01-0032-03

引用格式：葛建華. 以數學活動為導向" 以落實素養為目標：“命題、充要條件與邏輯推理”課例點評［J］. 中國數學教育（高中版），2025（1）：32-34.

“命題、充要條件與邏輯推理”單元復習課的教學內容在人教A版《普通高中教科書·數學》（以下統稱“教材”）中以預備知識出現，體現了高中數學課程回歸數學本質的內涵，凸顯了數學內在邏輯關系和思想方法的價值，對發展學生的數學抽象和邏輯推理素養具有非常重要的意義.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）明確指出：“本單元的學習，可以幫助學生使用集合的語言簡潔、準確地表述數學的研究對象，學會用數學的語言表達和交流，積累數學抽象的經驗.”從高考數學試卷來看，對于本單元的考查，基本上在兩個層面命題：一是簡單題，以考查集合的概念、簡單運算、全稱量詞、存在量詞、命題和充要條件為主，體現了本單元的基礎性；二是綜合性較強的能力題，突出了數學學科的特點，綜合其他數學知識方法的全面考查，體現了本單元內容工具性和基礎性的特點. 對于本節課，執教教師以基礎性和工具性為主線進行設計，以學生現有的認知水平為出發點，以較基礎的高考試題為載體，讓學生獨立思考，憑借自身經驗得出結論，不斷引導學生有意識地尋找解決問題的充要條件，幫助學生搭建“腳手架”，使學生經歷由“解答試題”轉向“解決問題”的過程，進而培養學生的邏輯推理素養. 這節課給筆者留下了深刻的印象，進而引發了筆者對復習課教學的思考.

一、落實單元整體教學設計的要求，凸顯素養導向

本節課是第十二屆高中青年數學教師課例展示活動的指定課題之一. 指定課題的教學設計要求采用單元整體設計基礎上的課堂教學設計. 需要先做好單元教學規劃（重點放在對單元內容本質、單元思想方法、知識的整體架構、單元育人價值等的分析上，內容規劃要指向單元結構化、核心概念的統領作用、螺旋上升的認識過程等），并在此基礎上做好關鍵內容的教學設計與實施. 因此，執教教師在設計本節課時，將教材必修第一冊第一章“集合、常用邏輯用語”和第二章“一元二次函數、方程和不等式”中的不等式部分整合為一個單元模塊，共計4個課時，分別為：充分條件和必要條件的定義（第1課時）；充要條件與邏輯推理在高考中的應用（第2課時和第3課時）；充分條件在高考中的應用（第4課時）. 本節課是第2課時. 執教教師注重了本單元內容基礎性和工具性的特點，并以這兩個特點為主線設計了本節課.

“命題、充要條件與邏輯推理”單元教學設計的結構為：單元內容和內容解析（單元教學重點），單元目標和目標解析，單元教學問題診斷分析（單元教學難點），典型案例設計.

“命題、充要條件與邏輯推理”（第2課時）的設計結構為：內容和內容解析（含教學重點），目標和目標解析，教學問題診斷分析（包括學情分析和教學策略分析，其中學情分析包含教學難點），教學過程設計.

從上述單元教學設計和課時教學設計的結構中可以看出，執教教師突出了本單元的主干內容，增加了應用性內容，將《標準》中分散在必修和選擇性必修模塊的內容按照數學知識體系進行了整合，體現了數學的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性和思維的系統性等，凸顯了素養的導向作用.

二、合理的課堂結構為學生的課堂活動提供了有力支持

本節課中，執教教師選擇了高考試卷中以常用邏輯用語為載體命制的試題，引導學生分析這類試題的結構特征，分清不同形式命題中的條件與結論，以及命題中條件的充分性與必要性，然后經歷了試題引入、明晰定義、自主探究、總結方法、深化應用、提煉建構、作業布置等七個教學環節.

試題引入，明確主題. 執教教師開門見山，先強調學習命題、充要條件的重要作用，然后用一道高考試題引入本節課，目的是讓學生體會這類問題在高考中的考查形式，通過兩名學生不同角度的解決方法，幫助學生回憶解決這類問題的基本方法，引導學生在解決問題時時刻關注解題依據.

明晰定義，經歷過程. 執教教師通過問題引出學生對充要條件定義的回顧. 先讓學生用自己的語言描述定義，然后展示充要條件的準確定義，注重學生對概念的再認識，進而讓學生談談定義的關鍵點有哪些，幫助學生明晰定義，明確定義中條件與結論的互推關系.

自主探究，小組合作. 在明確定義的基礎上，執教教師以試題引入中的高考試題為背景進行變式訓練，通過變式1幫助學生辨析不同形式命題中的條件與結論，正確判斷兩者的充分、必要關系，并讓學生體會這類問題的解決思路. 通過變式2引發學生的認知沖突，讓學生對解決問題要尋找問題的充要條件有一個初步的認識. 在學生具備了解決這類問題的思路和方法后，執教教師給出一道開放性題目，讓學生通過小組合作交流自主設計問題，引導學生對邏輯推理問題進行思考，這既是促進學生自身能力發展的重要途徑，也是培養學生邏輯推理素養的重要一步.

總結方法，知識內化. 在小組分享成果之后，執教教師讓學生總結解決充要關系問題的依據和基本方法，完成對知識的第一次內化.

深化應用，總結提升. 在明確了解決這類問題的基本思路和方法后，在解決綜合性問題時，學生如何運用已經學習的數學知識進行科學的判斷和推理，并正確尋找問題成立的充要關系，是難點之一. 為了突破這一難點，執教教師選擇了兩道相關的高考試題，并以教材中的相關材料為支撐，讓學生認識到解決這類問題需要挖掘其中的充要條件.

提煉建構，課堂小結. 執教教師先讓學生分享解題探究的收獲，完成對知識的第二次內化，然后讓學生分享這節課的收獲. 通過思考與分享，學生能夠梳理整節課的內容與重點，優化了學生的思維，培養了學生的邏輯推理素養.

作業設計，前呼后應. 執教教師選擇教材中的一道習題，讓學生感受尋找充要條件的過程，且在解決這道習題的過程中用到了切線放縮的手段，既找到了解決問題的充分條件，也為下節課更深層次地探究邏輯關系埋下了伏筆.

這節課的課堂結構清晰、指向明確、層次分明，讓學生明確了這節課的教學目標和教學環節，充分體現了數學教學是數學活動的教學，為學生積累基本的數學活動經驗提供了有力支持，突出了學生的主體地位.

三、選擇恰當的問題情境，引導學生開展系列化數學活動

執教教師通過一道高考試題引入教學，讓學生體會這類試題的結構特征，并以題帶點，引導學生對定義進行回顧，這既是對定義的再認識，也是對定義的同構. 通過對高考試題不同解答方法的展示，幫助學生掌握這類問題的解答方法和基本步驟.

圍繞這道高考試題及其變式，執教教師設置了一系列問題. 首先，由一道高考試題引出學生對充要條件定義的思考. 在明確了定義之后，執教教師在這道高考試題的背景下進行變式訓練，目的是幫助學生明確不同形式命題中的條件與結論，能夠判斷命題中條件的充分性和必要性. 其次，在學生的思維認知有了一定基礎后，執教教師對學生的易錯點進行剖析，引起學生重視，讓學生明確解決數學問題要從定義出發，培養學生從定義出發解決問題的意識. 再次，執教教師讓學生通過小組合作自主設計題目，引導學生對邏輯思維問題進行思考，這既是知識內化的關鍵一步，也是培養學生邏輯思維能力的重要一環. 最后，執教教師讓學生總結解決這類充要關系問題的依據和具體步驟. 通過總結，學生能夠明確解決充要關系問題的方法和依據，逐步形成解決這類問題的策略. 問題情境對于學生邏輯思維的培養具有充分的促進作用，對于本節課知識的鞏固和內化具有非常重要的意義.

四、精心選擇、改編試題，助力學生思維生成

在深化應用環節，執教教師為了讓學生突破教學難點，選擇了兩道2024年的高考試題，并對高考試題進行了改編，刪減了與本節課無關的內容，只對題目中與本節課相關的知識進行了深化和研究. 通過兩道同類試題的不同解法，引起學生的認知沖突，讓學生有意識地尋找問題成立的充要條件. 同時，以教材中的相關材料作為支撐，讓學生明確教材是認知發展的源頭活水，凸顯了教考銜接，在證明數學結論的過程中培養了學生嚴謹的邏輯思維能力.

五、選擇課后作業，體現整體設計思維的系統性

在作業設計中，執教教師設置的題目不僅是教材中的一道課后習題，也是2023年和2024年高考試題的改編題目，這道題目的設置幫助學生鞏固和檢驗了本節課的所學知識，讓學生重視教材與高考試題之間的緊密聯系，突出了單元的整體性特點. 這節課由上節課而來，為下節課服務，具有承上啟下的作用.

六、思考與建議

本節課中，執教教師創新了復習課的教學模式，通過七個教學環節為學生的課堂教學活動奠定了非常堅實的基礎. 通過讓學生經歷“命題、充要條件與邏輯推理”單元復習課的過程，掌握這類問題的解答方法和基本步驟，培養了學生的邏輯推理素養.

本節課是新模式下的一節復習課，提出以下兩點建議.

（1）在對開放性問題的處理上，執教教師應該更加放開手腳，讓學生在小組之間互相質疑、思辨，通過讓學生經歷獨立思考、自主探究、尋求解決這類充要條件問題的全過程，深化學生對解決這類問題方法的理解，進而培養學生的邏輯推理素養.

（2）在提煉建構環節中，執教教師對提煉建構的認識還有待進一步提升. 在該環節中，執教教師僅僅引導學生對前面的知識進行簡單的回顧和總結，并沒有做到真正幫助學生對這節課的知識和方法進行提煉、對能力與策略進行建構，導致提煉建構環節沒有達到預期.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］葛建華，陳華. 新課程背景下的數學課堂教學設計的實踐與再認識：尋找適合學生發展的教學設計［J］. 中國數學教育（高中版），2011（11）：15-19.

［3］葛建華，陳華. 構建“善思”數學課堂" 提升創新思維品質［J］. 中國數學教育（高中版），2017（6）：2-8.