構(gòu)建思維橋梁：函數(shù)性質(zhì)復(fù)習(xí)課的新探索

摘" 要：“基本初等函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用”一課，教學(xué)目標(biāo)清晰明確，以基本初等函數(shù)為基礎(chǔ)，通過四則運(yùn)算和函數(shù)復(fù)合，分析新函數(shù)的結(jié)構(gòu)，建立新函數(shù)與基本初等函數(shù)的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生探索新函數(shù)的性質(zhì)與圖象，有效提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理等素養(yǎng). 在教學(xué)活動(dòng)中巧妙設(shè)計(jì)問題，通過層層遞進(jìn)的問題鏈，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望. 學(xué)生在課堂上認(rèn)真思考，積極探究，總結(jié)了解決這類問題的方法和規(guī)律，發(fā)展了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：函數(shù)結(jié)構(gòu)；函數(shù)性質(zhì)；教學(xué)設(shè)計(jì)；深度學(xué)習(xí)；核心素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G633.6" " "文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A" " "文章編號(hào)：1673-8284（2025）01-0050-04

引用格式：金盈. 構(gòu)建思維橋梁：函數(shù)性質(zhì)復(fù)習(xí)課的新探索：“基本初等函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用”課例點(diǎn)評(píng)［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2025（1）：50-53.

一節(jié)好的復(fù)習(xí)課，不僅要關(guān)注知識(shí)的傳授和技能的訓(xùn)練，還要注重學(xué)生學(xué)科思維的培養(yǎng)、知識(shí)體系的建立，以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升. 這樣的復(fù)習(xí)課才能夠全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，為他們未來的學(xué)習(xí)和生活打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 從這個(gè)角度而言，“基本初等函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用”是一節(jié)很好的高三復(fù)習(xí)課. 現(xiàn)從以下三點(diǎn)對(duì)該課例進(jìn)行點(diǎn)評(píng).

一、教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

1. 教學(xué)設(shè)計(jì)精準(zhǔn)，目標(biāo)清晰明確

這節(jié)課對(duì)應(yīng)的是第十二屆高中青年數(shù)學(xué)教師課例展示活動(dòng)中的指定課題“基本初等函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用”. 在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，執(zhí)教教師對(duì)指定課題的內(nèi)容要求理解到位，整個(gè)教學(xué)過程貫徹了教學(xué)提示中的關(guān)鍵點(diǎn)，做到了從基本初等函數(shù)出發(fā)，經(jīng)過恰當(dāng)?shù)乃膭t運(yùn)算、函數(shù)復(fù)合形成新函數(shù)，利用基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)研究新函數(shù)的圖象與性質(zhì)，并解決相關(guān)問題. 這節(jié)課以近幾年高考數(shù)學(xué)試卷中與基本初等函數(shù)相關(guān)的試題為背景，在熟練掌握基本初等函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合分析新函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，利用圖象直觀、代數(shù)運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算等思想方法，以及函數(shù)背景下的重要不等式等獲得新函數(shù)的圖象與性質(zhì)，并解決相關(guān)問題，促進(jìn)知識(shí)的融會(huì)貫通，培養(yǎng)學(xué)生思維的探索性、創(chuàng)新性和嚴(yán)謹(jǐn)性，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，以及數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).

2. 問題設(shè)計(jì)巧妙，層層遞進(jìn)探究

問題是數(shù)學(xué)的心臟. 這節(jié)課的問題設(shè)計(jì)巧妙，通過課前自主學(xué)習(xí)任務(wù)單，將高考試題和教材習(xí)題有機(jī)結(jié)合，讓學(xué)生在解決問題的過程中，逐步構(gòu)建對(duì)新函數(shù)性質(zhì)的理解和分析方法. 問題從易到難、層層遞進(jìn)，既有深度又有廣度，有效激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望.

在課前自主預(yù)習(xí)任務(wù)中，執(zhí)教教師布置了四道題目，前三道題目是近幾年的高考試題，第四道題目是由教材課后習(xí)題改編而成的. 這四道題目在選擇上下了功夫，選取經(jīng)典的高考試題和由教材中典型題目改編的題目作為課前任務(wù)，目的是讓學(xué)生寫明自己的思考過程，呈現(xiàn)清晰的思考路徑，有利于對(duì)后續(xù)解題方法和思路的歸納. 這四道題目在順序安排上下了功夫：第一道題中的函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算得到的；第二道題中的函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過復(fù)合得到的；第三道題則是基本初等函數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算和復(fù)合得到的，形式最復(fù)雜. 上述三道題目的解決可以幫助學(xué)生體會(huì)高考試題中涉及的新函數(shù)實(shí)際上與基本初等函數(shù)有著千絲萬縷的聯(lián)系. 并且前三道題目仍然聚焦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，而最后一道題目則是關(guān)于不等式的綜合問題，問題的解決需要用到一些函數(shù)背景下的重要不等式. 在復(fù)習(xí)時(shí)，通過作圖軟件，采用數(shù)形結(jié)合的方式，直觀生動(dòng)地解決問題.

3. 破解性質(zhì)奧秘，總結(jié)方法規(guī)律

執(zhí)教教師總結(jié)：對(duì)于一個(gè)較復(fù)雜的新函數(shù)，想要分析其圖象，依據(jù)的是它的性質(zhì). 在分析性質(zhì)時(shí)，可以從函數(shù)的結(jié)構(gòu)入手，明確該函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)構(gòu)成的，進(jìn)而從這些熟悉的基本函數(shù)性質(zhì)入手解決問題. 執(zhí)教教師引導(dǎo)學(xué)生分析上述問題的解決方法，嘗試歸納這些方法在思維方式上的共通之處，并將其中的內(nèi)在邏輯清晰地呈現(xiàn)出來，如圖1所示. 這是一種很好的將思維可視化的做法.

執(zhí)教教師引導(dǎo)學(xué)生梳理函數(shù)部分的知識(shí)體系，明確高考試題中的函數(shù)與基本初等函數(shù)之間的聯(lián)系，總結(jié)這些新函數(shù)是從基本初等函數(shù)出發(fā)，經(jīng)過恰當(dāng)?shù)乃膭t運(yùn)算和函數(shù)復(fù)合而成的. 在分析問題和解決問題的過程中，可以先分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)，明確其與基本初等函數(shù)之間的關(guān)系，利用基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)研究新函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并解決相關(guān)問題，此過程提升了學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸和數(shù)形結(jié)合思想的理解.

4. 深入合作探究，掌握一類解法

在完成單純的函數(shù)性質(zhì)探究類問題后，挑戰(zhàn)綜合類問題，引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)觀點(diǎn)分析解決例2. 在分析求解這個(gè)不等式問題的過程中，學(xué)生采用了多種思路，進(jìn)一步感受到了分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)、構(gòu)建新函數(shù)與基本初等函數(shù)之間的聯(lián)系的重要作用，體現(xiàn)了方法的靈活性. 執(zhí)教教師結(jié)合作圖軟件，幫助學(xué)生直觀感受兩個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系，有利于突出教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn).

在此基礎(chǔ)上，執(zhí)教教師與學(xué)生一起梳理本節(jié)課的知識(shí)、方法和數(shù)學(xué)思想，總結(jié)了研究路徑（如圖2），提高了學(xué)生的認(rèn)知水平，培養(yǎng)了學(xué)生從微觀與宏觀、細(xì)節(jié)與整體的不同角度出發(fā)，辯證地分析并解決問題的能力.

二、學(xué)生深度參與教學(xué)活動(dòng)

學(xué)生的思維真正參與到教學(xué)活動(dòng)中，對(duì)于提高學(xué)習(xí)效率、培養(yǎng)思維能力、增強(qiáng)記憶、激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、促進(jìn)個(gè)性化學(xué)習(xí)、增進(jìn)師生互動(dòng)、提高問題解決能力、促進(jìn)深度學(xué)習(xí)、反饋教學(xué)效果和發(fā)展核心素養(yǎng)等方面具有重要意義. 因此，本節(jié)課采取了多種措施，創(chuàng)設(shè)互動(dòng)、包容的課堂環(huán)境，以促進(jìn)學(xué)生的積極參與和思維發(fā)展.

1. 以教材中的例題、習(xí)題和高考試題為問題情境

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在學(xué)生與情境、問題的有效互動(dòng)中得到提升. 基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)活動(dòng)應(yīng)該把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知水平的情境，提出難度合適并指向數(shù)學(xué)本質(zhì)的問題，從而引發(fā)學(xué)生的思考和交流.

在課前自主學(xué)習(xí)任務(wù)單中，教師精心選擇了近幾年的高考試題和由教材課后習(xí)題改編的題目，這種做法使學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容與高考要求緊密相連，提高了復(fù)習(xí)的針對(duì)性和實(shí)用性. 通過分析高考試題和教材習(xí)題，能夠?qū)W(xué)生所學(xué)的知識(shí)遷移到實(shí)際問題的解決中，這種遷移能力的培養(yǎng)對(duì)于學(xué)生在高考中的表現(xiàn)至關(guān)重要. 高考試題通常涵蓋了豐富的解題思路和策略，通過這些題目的訓(xùn)練，學(xué)生可以學(xué)到多種解題方法，提高解題的靈活性和效率. 高考試題的訓(xùn)練幫助學(xué)生熟悉高考的題型和難度，提前適應(yīng)高考的考試節(jié)奏和氛圍，從而降低考試焦慮. 教材中的習(xí)題通常與課程內(nèi)容緊密相關(guān)，通過對(duì)這些習(xí)題的深入探討，學(xué)生可以更好地理解和鞏固知識(shí)點(diǎn). 將教材習(xí)題和高考試題作為問題素材，鼓勵(lì)學(xué)生深入分析問題，培養(yǎng)他們的邏輯推理和問題解決能力.

2. 設(shè)計(jì)好的活動(dòng)，讓學(xué)生的思維參與其中

本節(jié)課以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)，通過引導(dǎo)學(xué)生自主嘗試解決問題，鼓勵(lì)學(xué)生在小組內(nèi)進(jìn)行討論和交流，充分展示自己的解題思路和成果. 這樣的教學(xué)方式不僅培養(yǎng)了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和合作精神，還讓學(xué)生在探究過程中體驗(yàn)了成功的喜悅. 本節(jié)課注重知識(shí)體系的構(gòu)建，通過引導(dǎo)學(xué)生回顧和梳理函數(shù)模塊的知識(shí)體系，學(xué)生能夠明確基本初等函數(shù)與復(fù)雜的新函數(shù)之間的聯(lián)系. 同時(shí)，通過例題和變式題目的講解，讓學(xué)生掌握了分析新函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征、建立其與基本初等函數(shù)之間聯(lián)系的方法，進(jìn)一步完善了學(xué)生的解題路徑. 鼓勵(lì)學(xué)生在小組內(nèi)討論和交流解題思路，既促進(jìn)了學(xué)生之間的思維碰撞，也提高了他們的溝通和協(xié)作能力. 課堂小結(jié)時(shí)，執(zhí)教教師讓學(xué)生回顧本節(jié)課的所學(xué)內(nèi)容，從知識(shí)、方法、數(shù)學(xué)思想等方面談收獲和認(rèn)識(shí)，有助于學(xué)生鞏固所學(xué)，提升認(rèn)知能力. 這些活動(dòng)的設(shè)計(jì)不僅提高了學(xué)生的參與度，還促進(jìn)了學(xué)生思維的深度參與和發(fā)展，為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

3. 發(fā)展了學(xué)生的思維能力和核心素養(yǎng)

學(xué)生精彩的課堂表現(xiàn)反映了執(zhí)教教師扎實(shí)的教學(xué)功底. 學(xué)生通過分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，將具體問題抽象化，提升了從具體實(shí)例中抽象數(shù)學(xué)概念和結(jié)構(gòu)的能力. 在解決問題的過程中，學(xué)生運(yùn)用邏輯推理證明和解釋數(shù)學(xué)命題，提高了邏輯推理能力. 通過數(shù)形結(jié)合的方法和作圖軟件的應(yīng)用，提升了學(xué)生的空間想象力和直觀理解能力. 在解決函數(shù)性質(zhì)的問題時(shí)，需要進(jìn)行精確的數(shù)學(xué)運(yùn)算，提高了學(xué)生的運(yùn)算能力和運(yùn)算技巧. 學(xué)生學(xué)會(huì)了如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行求解，是數(shù)學(xué)建模能力的重要體現(xiàn).

在分析和討論不同解題方法時(shí)，學(xué)生需要評(píng)估各種方法的優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)，這種批判性思維對(duì)于學(xué)生高階思維的發(fā)展至關(guān)重要. 學(xué)生在探索新函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，可能會(huì)發(fā)現(xiàn)新的解題思路或方法，這種創(chuàng)新思維在數(shù)學(xué)探索中不可或缺. 在小組討論和交流的活動(dòng)中，學(xué)生學(xué)會(huì)了如何有效溝通和與他人合作，鍛煉了他們的社交能力和團(tuán)隊(duì)合作能力. 在課前自主學(xué)習(xí)任務(wù)單中，需要學(xué)生獨(dú)立探索并解決問題，這種自主學(xué)習(xí)能力對(duì)學(xué)生的終身發(fā)展非常重要.

三、改進(jìn)與建議

1. 關(guān)于函數(shù)內(nèi)容的整體設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展具有連續(xù)性和階段性，是在長期的教學(xué)過程中逐漸形成的. 為實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)目標(biāo)，教師要改變過于注重以課時(shí)為單位的教學(xué)，探索單元整體教學(xué)，整體把握教學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián). 在高中階段，函數(shù)主線圍繞以下幾個(gè)主題展開：① 理解一般函數(shù)的概念，學(xué)會(huì)研究函數(shù)的性質(zhì)；② 掌握一些具體函數(shù)模型（函數(shù)類）；③ 了解函數(shù)應(yīng)用問題，學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)解決這些問題；④ 掌握研究函數(shù)的思想方法；⑤ 通過函數(shù)的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)可以通過制訂“課程目標(biāo)—單元目標(biāo)—課時(shí)教學(xué)目標(biāo)”發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng). 本節(jié)課稍顯欠缺的地方是對(duì)函數(shù)性質(zhì)與應(yīng)用的整體教學(xué)設(shè)計(jì)，在這方面可以進(jìn)行更好的嘗試. 例如，研究函數(shù)性質(zhì)的通性通法是什么？這節(jié)課在整個(gè)函數(shù)教學(xué)中的作用和地位是什么？利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的作用是什么？觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)是研究函數(shù)性質(zhì)的方法之一，但并不是研究函數(shù)性質(zhì)的通性通法. 怎樣將這些課題作為一部分納入函數(shù)單元的整體設(shè)計(jì)中，進(jìn)而幫助學(xué)生在高三學(xué)習(xí)過程中建立完整的知識(shí)體系，是高三復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)該思考并著力解決的問題.

2. 關(guān)于例題和習(xí)題的設(shè)計(jì)

對(duì)于課前自主學(xué)習(xí)任務(wù)單中的第四道題，執(zhí)教教師授課時(shí)可以放手讓學(xué)生思考：直接移項(xiàng)作差可以嗎？作商可以嗎？其實(shí)，只要分段合理，分類討論也能很容易地解決問題，但沒有放縮簡單. 沒有對(duì)比就沒有選擇，如果能夠留點(diǎn)時(shí)間讓學(xué)生直接證明并比較就更好了.

例1是執(zhí)教教師結(jié)合本節(jié)課原創(chuàng)的一道題目，盡管設(shè)計(jì)比較巧妙，學(xué)生在解決過程中可以通過分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)找到對(duì)稱軸，也可以從定義域出發(fā)形成猜想. 但是這道題目在編制的過程中還是略顯牽強(qiáng)，如果能結(jié)合2024年新課標(biāo)Ⅰ卷第18題的第（2）小題和2023年全國乙卷理科第21題的第（2）小題設(shè)計(jì)并命制更有利于學(xué)生思維發(fā)展的問題，效果會(huì)更好.

（2024年新課標(biāo)Ⅰ卷·18（2））已知函數(shù)f（x）=lnx/2-x+ax+b（x-1）³. 證明：曲線y=f（x）是中心對(duì)稱圖形.

（2023年全國乙卷·理21（2））已知函數(shù)fx=1/x+aln1+x. 是否存在a，b，使得曲線y=f1/x關(guān)于直線x=b對(duì)稱？若存在，求a，b的值；若不存在，說明理由.

在例2的解決過程中，函數(shù)與反函數(shù)圖象的對(duì)稱性和函數(shù)值大小沒有挖掘出來，如果在利用軟件畫圖的過程中啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“y=lnx+1?lnx=y-1?e^y-1=x?y=e^x-1=e^x/e”這一結(jié)果，將會(huì)給學(xué)生的思維發(fā)展帶來更大的收益.

總之，這節(jié)課由淺入深，從分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)入手，在應(yīng)用過程中挖掘函數(shù)的隱含性質(zhì)，構(gòu)建解題思路，充分凸顯了學(xué)生的主體地位. 利用多種教學(xué)手段展開教學(xué)，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，雖然存在一些問題，但整體而言是一節(jié)比較精彩的復(fù)習(xí)課.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史寧中，王尚志.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》解讀［M］. 北京：高等教育出版社，2020.