“關(guān)聯(lián)教材的高考函數(shù)試題：函數(shù)的對稱性”教學(xué)設(shè)計

摘" 要：從數(shù)學(xué)的整體性出發(fā)，通過從特殊到一般的探究路徑，歸納函數(shù)對稱性的符號表達(dá)，將函數(shù)的對稱性與周期性進(jìn)行鏈接，形成結(jié)構(gòu)化知識網(wǎng)絡(luò)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

關(guān)鍵詞：函數(shù)的對稱性；高三復(fù)習(xí)；知識結(jié)構(gòu)化

中圖分類號：G633.6" " "文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A" " "文章編號：1673-8284（2025）01-0035-05

引用格式：宮吉新.“關(guān)聯(lián)教材的高考函數(shù)試題：函數(shù)的對稱性”教學(xué)設(shè)計［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2025（1）：35-39.

一、教學(xué)內(nèi)容解析

函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的一條主線. 本節(jié)課的復(fù)習(xí)內(nèi)容是函數(shù)的對稱性，它是函數(shù)性質(zhì)的重要組成部分，是函數(shù)奇偶性的一般形式，著重培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)形結(jié)合和從特殊到一般的思想. 本節(jié)課的核心是提煉數(shù)學(xué)概念及通過符號語言描述函數(shù)的對稱性.

本節(jié)課的學(xué)習(xí)方式符合函數(shù)性質(zhì)的整體學(xué)習(xí)路徑，即“圖象特征—坐標(biāo)規(guī)律—形式化定義”. 在學(xué)生已經(jīng)復(fù)習(xí)了奇偶性（下位知識）和周期性（上位知識）的前提下，通過本節(jié)課，對函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行整合，形成完整的知識網(wǎng)絡(luò).

通過觀察圖象，尋找坐標(biāo)規(guī)律，進(jìn)而得到符號表達(dá)，讓學(xué)生經(jīng)歷了從圖形直觀到定性刻畫再到定量刻畫的研究過程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的一般過程；通過研究函數(shù)對稱性的圖象特征，得到函數(shù)的對稱性與周期性的聯(lián)系，讓學(xué)生經(jīng)歷縱向深挖、橫向鏈接的過程. 對于培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和直觀想象等素養(yǎng)具有重要意義，能夠有效提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點為：函數(shù)對稱性的代數(shù)表達(dá)及其應(yīng)用.

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）明確指出：“函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念，是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語言和工具.”函數(shù)的概念與性質(zhì)單元是初高中知識的銜接，是進(jìn)一步研究基本初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)及函數(shù)運算的基礎(chǔ). 通過這一單元的復(fù)習(xí)，學(xué)生能夠建立完整的函數(shù)概念，深刻理解函數(shù)從“變量說”轉(zhuǎn)為“對應(yīng)關(guān)系說”的本質(zhì)，對函數(shù)的整體性質(zhì)有初步的認(rèn)識，能夠從“數(shù)”和“形”的角度揭示函數(shù)的主要性質(zhì).

在單元目標(biāo)的基礎(chǔ)上，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下.

（1）學(xué)生能夠通過歸納奇函數(shù)概念的抽象過程，從圖象特征入手，尋找坐標(biāo)規(guī)律，進(jìn)而形成形式化定義；會用文字語言、符號語言描述問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.

（2）學(xué)生能夠歸納用符號語言證明函數(shù)對稱性問題的一般步驟，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力.

（3）學(xué)生能夠通過圖形的對稱得出“同時具有軸對稱和中心對稱的函數(shù)必有周期性”的一般性結(jié)論，發(fā)展學(xué)生的直觀想象能力.

三、學(xué)情分析

學(xué)生對函數(shù)的周期性和對稱性有一定的了解，對數(shù)形結(jié)合思想有一定的認(rèn)識. 特別是在復(fù)習(xí)了函數(shù)的奇偶性和周期性的基礎(chǔ)上再進(jìn)行本節(jié)課的學(xué)習(xí)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有利于知識體系的自然形成. 這是達(dá)成本節(jié)課學(xué)習(xí)目標(biāo)的最有利條件.

在利用函數(shù)對稱性的符號表達(dá)書寫解題步驟時，需要教師的幫助，強調(diào)研究函數(shù)性質(zhì)時一定要保證定義域優(yōu)先的原則.

函數(shù)的周期性、對稱性和奇偶性既有區(qū)別又相互聯(lián)系. 學(xué)生可以通過自主探究發(fā)現(xiàn)它們之間的基本關(guān)系，但是對于要點問題的總結(jié)，仍需要教師引導(dǎo). 特別是對函數(shù)對稱性的縱向深挖，以及其與周期性的關(guān)聯(lián)，需要教師的引導(dǎo)和輔助.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點為：函數(shù)的中心對稱與軸對稱的區(qū)分和證明，對稱性與周期性的區(qū)別與聯(lián)系.

四、教學(xué)策略分析

本節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)從圖象平移的角度初步認(rèn)識了函數(shù)的對稱性，已經(jīng)復(fù)習(xí)過函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性的基礎(chǔ)上進(jìn)行的. 以2021年至2024年高考數(shù)學(xué)試卷中的四道試題開篇，引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的注意力. 同時，通過指導(dǎo)學(xué)生翻閱教材和對高考試題進(jìn)行溯源，強調(diào)回歸教材的重要性. 然后指導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)對稱性的代數(shù)表達(dá)解決高考試題，讓學(xué)生明白深挖教材的重要意義，從而達(dá)到“教材—教學(xué)—高考”的有效銜接.

學(xué)生已經(jīng)直觀認(rèn)識了函數(shù)的對稱性，也復(fù)習(xí)了函數(shù)的奇偶性，所以本節(jié)課采用學(xué)生自主推理進(jìn)而抽象概念的方式進(jìn)行教學(xué). 本節(jié)課的一個教學(xué)難點是函數(shù)的中心對稱與軸對稱的區(qū)分和證明. 該難點的突破采用讓學(xué)生獨立思考、總結(jié)記憶技巧的方式進(jìn)行. 另一個教學(xué)難點是函數(shù)的對稱性與周期性的區(qū)別與聯(lián)系. 參考《標(biāo)準(zhǔn)》中“能用代數(shù)運算和函數(shù)圖象揭示函數(shù)的主要性質(zhì)”“函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)過程中，應(yīng)避免編制偏題、怪題，避免煩瑣的技巧訓(xùn)練”，本環(huán)節(jié)采用圖形推理，三角函數(shù)輔助記憶的方式進(jìn)行教學(xué).

在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生能夠根據(jù)已有知識準(zhǔn)確敘述數(shù)學(xué)抽象的過程，能夠根據(jù)已有定義解決實際問題，能夠利用已有能力進(jìn)行橫向聯(lián)系，這是難能可貴的. 故本節(jié)課采用即時點評的方式進(jìn)行評價，通過思路清晰、表達(dá)流暢、邏輯縝密等準(zhǔn)確的評價語言鼓勵學(xué)生.

本節(jié)課圍繞教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行，教學(xué)重點和難點設(shè)置合理，符合學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū). 教學(xué)設(shè)計中預(yù)設(shè)了學(xué)生利用圖象變換解決問題的情況，準(zhǔn)備利用幾何畫板軟件展示圖象的變化過程. 但在實際課堂中，學(xué)生沒有利用圖象變換解題，故沒有進(jìn)行相關(guān)展示；學(xué)生沒有通過迭代法進(jìn)行推導(dǎo)，故在課堂中沒有進(jìn)行詳細(xì)的代數(shù)證明，而是將迭代法的證明留為課后作業(yè). 教師根據(jù)課堂的實際情況及時調(diào)整了教學(xué)，重點突出、目標(biāo)明確. 通過典例分析，學(xué)生已經(jīng)能夠明確用代數(shù)表達(dá)證明函數(shù)對稱性的基本步驟，但在跟蹤練習(xí)中，學(xué)生難以處理一次函數(shù)與對數(shù)型函數(shù)的乘積問題. 教師能夠準(zhǔn)確判斷學(xué)生運算不熟練的癥結(jié)所在，并立即給予針對性的補救措施，幫助學(xué)生順利解決問題，引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范答題步驟.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史寧中，王尚志.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》解讀［M］. 北京：高等教育出版社，2020.