“在抽象函數的形式下研究函數性質”教學設計

摘" 要：本節課是高中數學函數主線中在抽象函數的形式下研究函數性質的一節復習課，以培養學生數學核心素養為宗旨，遵循學生已有的認知結構和認知規律，根據單元整體教學目標，結合具體課時目標，采用基于數學情境、問題導向的互動式、啟發式和探究式教學方式，通過獨立思考、自主探究與合作交流相結合的方式，培養學生理性分析思考、把握內容本質、勇于嘗試、敢于試錯的學習習慣，滲透從特殊到一般、歸納與類比、分類與整合和轉化與化歸等數學思想，逐步培養學生的邏輯推理、數學運算、數學抽象和數學建模素養.

關鍵詞：抽象函數；單元教學；核心素養

中圖分類號：G633.6" " "文獻標識碼：A" " "文章編號：1673-8284（2025）01-0054-08

引用格式：王敏，王曉玲，薛紅霞.“在抽象函數的形式下研究函數性質”教學設計［J］. 中國數學教育（高中版），2025（1）：54-61.

一、單元教學設計

1. 單元內容及內容解析

（1）內容的本質.

函數的性質研究圍繞著函數的定義域、值域、單調性、最值、極值、奇偶性、對稱性、周期性等展開. 研究函數的性質本質上是研究函數在變化過程中的規律性和不變性. 抽象函數是不給出具體解析式、只給出函數的特殊條件或特征的函數，在研究其性質時也遵循函數的研究角度，即研究抽象函數變化過程中的規律性和不變性.

（2）蘊含的數學思想和方法.

在基于抽象函數形式研究函數性質的學習過程中，滲透從特殊到一般、歸納與類比、分類與整合、轉化與化歸等數學思想，綜合利用賦值、遞推、代數變換、舉反例證偽等重要數學方法.

（3）知識的上、下位關系.

函數性質知識的上、下位關系，如圖1所示.

（4）育人價值.

函數是高中數學課程中的一條重要主線，作為函數的重要組成部分，抽象函數相關形式下性質的探究過程蘊含了豐富的數學基本思想和方法，在函數研究中占有重要地位，是夯實“四基”、提高“四能”、培養數學核心素養的重要載體.

（5）單元教學重點.

根據具體教學內容，確定本單元的教學重點如下.

① 通過研究函數性質的一般路徑，從具體函數入手，基于性質的一致性，抽象并推出相關性質的符號化表達.

② 在抽象函數形式下，利用賦值、遞推、代數變換、求導等方法推理論證函數的單調性、對稱性、周期性等基本性質.

③ 在抽象函數的形式下，利用賦值、構造具體函數等方法研究函數的綜合性質.

（6）單元教學課時安排.

本單元數學本質和數學思想方法的梳理，如圖2所示.

基于以上內容，將本單元分為以下五個課時，如圖3所示.

2. 單元目標及目標解析

（1）單元目標.

① 回顧并掌握基本初等函數的性質，為本單元的學習奠定基礎.

② 經歷對具體函數性質的推廣，抽象相關性質的符號化表達，發展數學抽象素養.

③ 經歷對初等函數運算性質的推廣，抽象具有相同運算性質的抽象函數，發展數學抽象和數學建模素養.

④ 經歷對抽象函數滿足的恒等式和不等式中的變量合理賦值的推理過程，掌握抽象函數形式下相關性質的推導方法，發展邏輯推理和數學運算素養.

⑤ 掌握導數的運算法則，基于抽象函數滿足的、與導數有關的恒等式或不等式，構造具有良好性質的抽象函數，并用相關性質解決問題，發展邏輯推理和數學運算素養.

（2）目標解析.

達成目標①的標志是：學生掌握基本初等函數的圖象及單調性、最值、極值、奇偶性、對稱性、周期等性質.

達成目標②的標志是：學生能夠通過對具體函數性質的推廣，抽象函數的單調性、最值、奇偶性、對稱性、周期性的符號化表達，能夠從抽象函數滿足的式子中識別相關性質.

達成目標③的標志是：學生能夠通過對初等函數所滿足的運算性質進行推廣，抽象具有相同運算性質的抽象函數.

達成目標④的標志是：學生能夠對抽象函數滿足的恒等式和不等式中的變量合理賦值，通過邏輯推理得到抽象函數滿足的性質.

達成目標⑤的標志是：學生能夠根據導數的運算法則，結合抽象函數滿足的、與導數有關的恒等式或不等式，構造具有良好性質的抽象函數，并用這些性質解決相關問題.

3. 單元教學問題診斷分析

在高一、高二的學習過程中，學生已經學習了函數的單調性、奇偶性和周期性等性質的符號定義，并在將奇偶性推廣至一般的對稱性的過程中，對利用符號語言刻畫函數的性質有了進一步理解. 此外，指數運算性質和對數運算性質的學習為后續指數函數性質和對數函數性質的研究提供了從運算性質研究函數性質這一角度. 在研究函數的基本性質，掌握對稱性和周期性等一般性結論的過程中，學生積累了一定的借助具體函數認識抽象函數性質的經驗，為抽象函數形式下借助具體函數研究抽象函數的性質奠定了基礎. 在之前的學習中，學生經歷了大量以給定具體函數解析式為前提的研究函數性質的活動，形成了一定的方法論，能夠較全面地認識函數不同性質之間的關聯，積累了系統研究函數多方面性質的經驗.

但是，在復雜的復合函數和抽象函數的形式下，學生建立符號語言與函數性質關系的經驗不足，認識不夠深刻，難以理解抽象的符號語言. 在對稱性和周期性的應用中存在“硬記結論”的現象，導致對函數的符號語言本質的理解不深刻. 本單元要在抽象函數形式下研究函數的綜合性質，對符號理解、賦值、代換、變形等要求較高，對學生的邏輯推理、數學運算和數學抽象，以及具體的對應等方面，形成了一定的挑戰.

下面給出上述問題的一些解決方法.

① 在對抽象函數賦值、運用定義證明函數單調性的過程中，部分學生不能根據已知條件對[x1，x2]進行合理拆分，教師可以通過分析典型例題，逐步引導學生思考和體會解決相關問題的一般方法，也可以讓學生進行適時的模型抽象和小結，加深學生對知識的理解和方法的掌握.

② 抽象函數的形式多樣，在理解相關性質的符號化語言中，部分學生采取記結論、套結論的學習方式，對符號語言是“具有任意性的方程”這一本質缺乏認識. 在相關結論非直接呈現的變式情境中，變形、賦值、代換、聯立、消元等意識不足，造成無法解決變式后的抽象函數問題的困境. 因此，在對抽象函數賦值、推理相關函數性質的過程中，教師要通過對典型例題的分析，引導學生思考：要證明相關性質，需要什么條件？目前有什么條件？如何逐步思考該對哪個變量賦值？如何賦值？通過問題串的設置和引導，學生能夠體會相關問題的思考路徑，總結賦值遵循的原則，做到“何由以知其所以然”.

③ 在面對抽象函數形式時，由于它沒有具體的解析式，導致學生只能從抽象角度采用賦值法進行研究，容易增加解決問題的難度. 在教學過程中，教師應選取運算性質簡單的函數作為引入問題，有意識地引導學生通過構造特殊函數解決問題，幫助學生找到思考角度，并通過設置合適的小組活動引導學生對具體函數的性質進行自主歸納和總結，提煉它們的抽象形式. 在歸納、總結具體函數與抽象函數性質的一致性時，通過合理的設問和活動，引導學生考慮其中的充分性和必要性，幫助學生形成嚴謹的推理邏輯.

④ 在本單元的第4課時和第5課時中，學生通過抽象函數所滿足的運算性質尋找具體函數的特例或者在構造相關函數時，如果所滿足的特征不夠明顯，要有先將所滿足的式子進行等價變形再聯想和構造的意識. 這些意識的培養，需要教師選擇合適的例題進行相關知識和方法的滲透.

二、課時教學設計

本文以第4課時為例，進行研究.

1. 課時教學內容

本課時是“在抽象函數的形式下研究函數性質”單元教學的第4課時“基于初等函數四則運算性質的抽象函數的構造”. 在教學中，能夠從基本初等函數所滿足的運算性質中推出具有相同運算性質的抽象函數；通過邏輯推理、代數運算及賦值、遞推等數學方法探究抽象函數形式下函數的性質；對于抽象函數的相關問題，能夠合理采用賦值法或者構造具體函數的方法解決，體會從特殊到一般、歸納與類比、分類與整合、轉化與化歸的數學思想，綜合利用賦值、遞推、代數變換等重要數學方法，培養學生的邏輯推理、數學運算、數學抽象和數學建模等素養.

2. 課時教學目標

（1）通過探究基本初等函數所滿足的運算性質，推出具有相同運算性質的抽象函數，體會從特殊到一般、類比與歸納的數學思想，提高學生的數學抽象和數學運算能力.

（2）通過賦值、遞推、代數變換等數學方法探究并推理抽象函數形式下函數的性質，對于不滿足必要性的情形，體會舉反例證偽的作用，提高學生的邏輯推理和數學運算能力.

（3）將高考試題作為例題與變式題，體會有些題目雖然看上去形式各異，但是都以具體函數為背景，通過抽象其運算性質，得到抽象函數的表現形式. 既要掌握推理證明相關性質的賦值法，又要逐步體會抽象函數具體化這一方法在解決此類問題中的作用，體會從一般到特殊、類比與歸納的數學思想，提高學生的邏輯推理和數學運算能力.

3. 學情分析

（1）學生已經具備的認知基礎.

本課時的教學對象是高三學生，學生在高一、高二和本單元的前三個課時的學習中，已經熟練掌握了基本初等函數的各類性質及基于具體函數的單調性、最值、奇偶性、周期性，能夠推出相同性質的抽象函數，并能夠對抽象函數形式下相關性質的表達進行識別和證明.

通過多年的數學學習，學生已經積累了從特殊到一般、類比與歸納、數形結合、分類討論等數學思想，有一定的邏輯推理和數學運算能力，具備一定的數學建模素養.

（2）達成教學目標所需要具備的認知基礎.

學生需要熟練掌握基本初等函數的四則運算所滿足的運算性質，能夠將其進行符號化表達，并抽象相關的抽象函數；學生掌握代數證明的常見方法（如賦值、遞推和代數變換等方法）和具備舉反例證偽的意識；學生需要具備對式子進行等價變形的意識與能力，可以通過轉化，將抽象函數具體化，從而進行相關問題的求解.

綜合以上兩點，在基于基本初等函數的運算性質推廣抽象函數時，學生考慮的運算性質可能不夠全面，需要小組合作，互相補充完善. 部分學生在證明抽象函數的性質時，雖然具備相關方法與能力進行代數推導，但是證明無果，這需要學生具備舉反例證偽的意識，同時需要教師的引導和滲透. 當抽象函數所滿足的性質不夠直觀時，要培養學生進行等價變形的意識，變形后再聯想和證明，這就需要教師選擇具備一定示范性和引導性的例題，滲透相關方法和意識.

4. 教學策略分析

（1）教學材料分析.

環節1通過復習本單元前幾課時在抽象函數的形式下研究函數性質的研究路徑，以及回顧函數主線內容的安排順序，引出本節課的研究路徑和研究對象. 環節2在環節1的研究基礎上，設置小組活動，讓學生自主探究，將基本初等函數的四則運算性質抽象為抽象函數的形式，通過設置問題串和例1，讓學生意識到由運算性質抽象出的抽象函數與具體函數所滿足的運算性質具有一致性，但其他性質是否滿足，需要經過嚴格的代數推理和證明或舉反例證偽. 滿足抽象函數形式的具體函數模型可能不唯一，這需要通過舉反例證偽或者嚴格的代數推理和證明. 環節3基于兩道由高考試題構成的例題與變式題，讓學生體會此類問題的本質和條件構設的方式，掌握解決此類問題的常用方法. 環節4通過學生小組活動，自主命制抽象函數試題，讓學生深刻體會相關問題的本質和命題依據，體會對相關問題解決方法的追本溯源.

（2）教學方法分析.

本節課的教學內容是拾級而上的. 環節1中的復習回顧，引導學生思考本單元性質的研究路徑，函數主線的由整體到局部，引出本節課的研究對象和研究路徑. 環節2在環節1引出研究對象和研究路徑的基礎上，讓學生仿照之前課時的研究路徑，對基本初等函數的運算性質進行類比推廣，構造具備相同運算性質的抽象函數，并對其余的性質進行嚴謹論證. 在環節3中，在有了相關活動經驗的儲備后，通過兩道看似截然不同、實則本質相連的高考試題，讓學生體會此類問題的本質和條件構設的方式，掌握解決此類問題的常用方法. 整節課的教學安排以學生認知的螺旋上升為基礎，每個環節的設置都以上一環節為基礎，每一步的設置都在學生的最近發展區內. 通過學生的自主探討，教師的適時引導，逐步提升學生的認知和能力.

針對學生認知水平的差異，課堂的復習式引入幫助學生回顧本單元函數性質的研究路徑，明確本節課的研究對象，部分學生可能對研究路徑不清晰，但是通過復習回顧，這一差異也能夠很快補足，不影響后續環節的開展. 同時，對于課堂中問題和活動的安排，有個人處理的，也有以小組合作方式進行的，還有放到課后借助多方力量解決的，可以讓學生在不同問題的解決中得到不同程度的發展和收獲.

本節課的教學以問題串貫穿始終，結合多項教學活動，通過學生或者小組代表的發言和分享，及時捕捉學生的學習動態和思考方向，并給予適時的反饋和正確的引導. 對于學生不完整作答的部分，可以借助學生的力量，給予補充和完善. 對于學生不正確的地方，要及時關注并予以糾正. 對于學生提出的較好的想法，要給予肯定. 若與教學內容相關，則結合教學安排，給予學生展示的機會. 對于需要課后完善的部分，可以將其布置為課后任務，讓學生整合后在后續課程中繼續分享. 充分發揮學生的主體作用，思考不僅僅停留在課堂上，對課堂內容的課后延續思考也是教學任務安排中需要考慮的.

5. 教學重點和難點

教學重點：基于基本初等函數所滿足的運算性質對具有相同運算性質的抽象函數進行推廣；對推出的抽象函數性質進行證明；選擇恰當的方法分析和解決抽象函數的綜合性問題.

教學難點：推出的抽象函數性質的證明；選擇恰當的方法分析和解決抽象函數的綜合性問題.

6. 教學過程設計

【設計意圖】通過小組活動，學生根據基本初等函數所滿足的運算性質自主推出具備相同運算性質的抽象函數的符號化表達. 期間，學生對每個基本初等函數的加、減、乘、除、乘方等運算進行考慮，從中整理比較直觀的抽象形式，對于形式比較復雜且不直觀的運算性質沒有進行最終呈現. 例如，二次函數乘積的函數值與函數值乘積之間的表示比較復雜，沒有呈現在最終結果中；三角函數也選擇了比較直觀、簡潔的抽象形式進行呈現.

教師總結：由具體函數出發，抽象得到一個抽象函數的表達式，但是該抽象函數表達式的具體例證卻不一定只對應這一類函數. 因此，抽象函數并不一定都具備原函數的性質.

【設計意圖】通過問題4，學生分享找到具體函數的關鍵是從抽象函數與具體函數所滿足運算性質的一致性入手，思考什么樣的具體函數也具備相同的運算性質. 通過追問1和追問2，學生意識到符合相關性質的具體函數可能并不唯一，充分性是滿足的，但是否滿足充要性需要經過嚴謹論證. 因此，選擇題和填空題中可以采用抽象函數具體化的方法，但是解答題中不能直接使用.

【設計意圖】通過賦值法，學生可以得到選項ABC正確，根據多選題的規則，選項D一定是錯誤的，但是如何解釋，部分學生沒有思路. 此時，要培養學生舉反例證偽的意識. 有了這個想法，學生很容易舉出[fx=0]這一反例. 通過該題的求解，讓學生體會賦值法推理和抽象函數具體化都是解決此類問題的常用方法. 賦值法是通性通法，具體化可以簡化一定的推理過程，快速得到函數的性質，但是由于其只具備充分性，故比較適用于選擇題或填空題. 通過該題，對于符合條件的具體函數的確定路徑進行補充，式子結構清晰時可以直接聯想；函數結構不清晰時，可以先對式子進行變形再聯想，可能會有柳暗花明的效果.

3. 完成課上剩余小組命制的題目.

小組任務：

對于由基本初等函數運算性質推廣出的抽象函數的表現形式，通過小組合作，分析其中哪些模型只滿足充分性，哪些模型滿足充要性，并通過小組討論和查找資料給出相關證明.

【設計意圖】通過個人任務，鞏固課堂上的學習內容和方法；通過布置小組任務，鼓勵學生借助多方力量不斷鉆研相關內容，培養學生的合作意識，提升學生的交流和表達能力.

參考文獻：

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