關(guān)于歐拉公式在多維空間中的思考

摘要：為了更好地引領(lǐng)學(xué)生，作為一線教師，應(yīng)將教與學(xué)相結(jié)合，不斷學(xué)習(xí)近現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)；應(yīng)將教與研相結(jié)合，課堂總結(jié)新教法，課后研究新問(wèn)題.在三維空間中，凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)－棱數(shù)＋面數(shù)＝2.本文借鑒特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，從正三角形、正方形、正四面體、正六面體出發(fā)，向更高維度推廣幾何體的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)、體數(shù)之間的關(guān)系，再將物理和數(shù)學(xué)相融合，把三角形作為二維平面基本單位，三棱錐作為三維空間基本單位，四維超棱錐作為四維空間基本單位，歸納證明出一般幾何體在不同維度中頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)、體數(shù)之間的關(guān)系.

關(guān)鍵詞：歐拉公式；多維空間；教學(xué)思考

我國(guó)數(shù)學(xué)家、教育學(xué)家吳大任先生說(shuō)過(guò)：“用現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)武裝中學(xué)教師，是初等數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化的前提.”新時(shí)代背景下，學(xué)生獲得知識(shí)的途徑很多，一線教師不能只是幾十年如一日地重復(fù)有限知識(shí)點(diǎn)，需要在教學(xué)中總結(jié)教法的同時(shí)了解并探究一些近幾百年的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這樣更有利于引導(dǎo)和培養(yǎng)優(yōu)秀的人才.

以歐拉命名的公式很多.三維凸多面體歐拉公式為V－E＋F＝2，其中V表示頂點(diǎn)數(shù)，E表示棱數(shù)，F(xiàn)表示面數(shù).這個(gè)公式在幾何學(xué)、晶體學(xué)、建筑學(xué)等領(lǐng)域都有著重要的作用.筆者在教學(xué)中與學(xué)生探討，有學(xué)生提出二維平面多邊形公式不再適用，還有學(xué)生提出如何證明這個(gè)美麗的公式.美國(guó)物理學(xué)家愛(ài)因斯坦（A.Eingstin）曾說(shuō)：“提出問(wèn)題比解決問(wèn)題更重要.”這一系列問(wèn)題也引發(fā)了筆者的深入思考，于是嘗試將歐拉公式向不同維度推廣，但始終找不到一般規(guī)律.筆者偶然拜讀曹則賢老師著作《磅礴為一：通才型學(xué)者的風(fēng)范》深受啟發(fā)［1］，仔細(xì)分析了不同維度中幾何形體中的點(diǎn)、線、面、體等關(guān)系，得到一些簡(jiǎn)潔的結(jié)論，也在探究中促進(jìn)自己教學(xué)相長(zhǎng).

1正四面體在多維空間中的思考

英國(guó)著名教育家梅森（C.Mason）提出，研究問(wèn)題的數(shù)學(xué)思維可以歸結(jié)為特殊化、一般化、猜測(cè)和確認(rèn)幾個(gè)方面，歐拉公式可以在不同維度中思考，也可以從特殊的情況入手.［2］正四面體是三維空間中的一個(gè)幾何體，有四個(gè)頂點(diǎn)、六條棱、四個(gè)面，且每個(gè)面都

是正三角形.將歐拉公式稍微變化一下，頂點(diǎn)數(shù)－棱數(shù)＋面數(shù)－體數(shù)＝1，即4－6＋4－1＝1.由此想到二維中的情況，正三角形有三個(gè)頂點(diǎn)、三條邊、一個(gè)面，頂點(diǎn)數(shù)－邊數(shù)＋面數(shù)＝1，即3－3＋1＝1.作為三維生物，我們無(wú)法想象四維空間中的幾何體，但可以借助于一維到二維、二維到三維的演化來(lái)思考.如圖1所示，一維的一條線段AB，兩個(gè)端點(diǎn)A，B，若每個(gè)端點(diǎn)引出兩條線段，這兩條線段之間夾角為60°，即∠A＝∠B＝60°，只需要新增加一個(gè)頂點(diǎn)C也引出兩條線段CA，CB，且這兩條線段與原來(lái)增加的兩條線段AC，BC重合就演化成二維平面內(nèi)的正三角形ABC.

如圖2所示，若從正三角形ABC的每個(gè)頂點(diǎn)引出三條線段，于是原有的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C由平面向空間中各增加一條線段，這時(shí)只要增加一個(gè)額外的頂點(diǎn)D也引出三條線段，即DA，DB，DC，且這三條線段與原來(lái)增加的三條線段AD，BD，CD重合，就演化成三維空間中的正四面體.由此可以類比思考，如圖3所示，從正四面體的每一個(gè)頂點(diǎn)引出四條線段，這樣新增加四條線段.同理，只需要在更高維空間中增加一個(gè)頂點(diǎn)E，也引出四條線段，且這四條線段與原來(lái)增加的四條線段重合，就演化成四維空間中的超幾何體，超幾何體每個(gè)面仍然是正三角形.如圖3中的△ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△ADE，△BCD，△BCE，△BDE，△CDE都是正三角形.以此類推，每增加一個(gè)維度，就會(huì)新增加一個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)會(huì)向新的維度增加一條線段，且這n條線段中任意兩條之間的夾角是60°，任意三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的都是正三角形.

筆者在教學(xué)中常和學(xué)生一起探究一些開(kāi)放問(wèn)題，最終形成探究活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的一般規(guī)律，教學(xué)和研究相輔相成，將課堂理論應(yīng)用于實(shí)踐，可以更好地服務(wù)于教學(xué).下面通過(guò)列表表示1～n維中幾何形體的點(diǎn)、棱、面、三維體、四維體、五維體、n維體的數(shù)量（見(jiàn)表1），并找出規(guī)律.為了表述方便，三維空間中幾何體稱為體3，四維空間中幾何體稱為體4.

一維中線段：點(diǎn)－棱＝2－1＝1.

二維平面內(nèi)三角形：點(diǎn)－棱＋面＝3－3＋1＝1.

三維空間中三棱錐：點(diǎn)－棱＋面－體＝4－6＋4－1＝1.

四維空間中幾何體：點(diǎn)－棱＋面－體3＋體4＝5－10＋10－5＋1＝1.

五維空間中幾何體：點(diǎn)－棱＋面－體3＋體4－體5＝6－15＋20－15＋6－1＝1.

n維空間中幾何體：點(diǎn)－棱＋面－體3＋體4－體5+…+（-1）n+2體n＝（－1）2C1n＋1＋（－1）3C2n＋1＋（－1）4C3n＋1＋…＋（－1）n＋2Cn＋1n＋1.

∵（1－1）n＋1＝C0n＋1·1n＋1×（－1）0＋C1n＋1·1n×（－1）1＋…＋Cn＋1n＋1·10×（－1）n＋1＝1＋C1n＋1·1n×（－1）1＋…＋Cn＋1n＋1·10×（－1）n＋1＝0.

∴（－1）2C1n＋1＋（－1）3C2n＋1＋（－1）4C3n＋1＋…＋（－1）n＋2Cn＋1n＋1＝1.

2正六面體在多維空間中的思考

上海市教科院楊玉東老師提出教師專業(yè)學(xué)習(xí)三個(gè)要點(diǎn)：主體悟性、專業(yè)引領(lǐng)、行為跟進(jìn)，即新時(shí)代一線教師，需要教、學(xué)、研相互支撐，只有站在更高處才能引領(lǐng)學(xué)生向更遠(yuǎn)處前進(jìn)，同時(shí)不能止于課本現(xiàn)有知識(shí)邊界，才能真正激發(fā)教與學(xué)的潛能.

筆者基于平時(shí)教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，于是自然想到從正方體再次探究.正方體即正六面體，有八個(gè)頂點(diǎn)、十二條棱，六個(gè)面，且每個(gè)面都是正方形.同樣將歐拉公式稍微變化一下，頂點(diǎn)數(shù)－棱數(shù)＋面數(shù)－體數(shù)＝1，即8－12＋6－1＝1.由此想到二維平面中的正方形四個(gè)頂點(diǎn)、四條邊、一個(gè)面，頂點(diǎn)數(shù)－邊數(shù)＋面數(shù)＝1，即4－4＋1＝1.下面筆者也借鑒前面的正四面體研究方法繼續(xù)分析.如圖4所示，一維的一條線段A1A2有兩個(gè)端點(diǎn)，若每個(gè)端點(diǎn)引出兩條線段，這兩條線段之間夾角為90°，即∠A1＝∠A2＝90°，這時(shí)所形成的圖形是不封閉的，需要再增加一條線段，構(gòu)成封閉的正方形.現(xiàn)在換一種理解方式，原有一條線段A1A2，再?gòu)?fù)制一條同樣的線段B1B2，再將它們對(duì)應(yīng)的端點(diǎn)A1B1，A2B2連接，且A1B1∥A2B2，A1B1＝A2B2＝A1A2，如圖5所示，這樣一維到二維平面中新增加兩個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)可以引出兩條互相垂直的線段，構(gòu)成一個(gè)二維平面內(nèi)的正方形A1A2B2B1.

以此類推，如圖6所示，在二維平面上原有一個(gè)正方形A1A2B2B1，再?gòu)?fù)制一個(gè)同樣的正方形C1C2D2D1到平行的平面上，將它們對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)A1C1，A2C2，B2D2，B1D1連接，且A1C1∥A2C2∥B2D2∥B1D1，A1C1＝A2C2＝B2D2＝B1D1＝A1A2，這樣二維平面到三維空間新增加四個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)可以引出三條兩兩互相垂直的線段，構(gòu)成一個(gè)三維空間中的正六面體A1A2B2B1-C1C2D2D1.

以此類推，如圖7所示，在三維空間原有一個(gè)正六面體A1A2B2B1C1C2D2D1，再?gòu)?fù)制一個(gè)同樣的正六面體E1E2F2F1-G1G2H2H1到平行的空間中，將它們對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)A1E1，A2E2，B2F2，B1F1，C1G1，C2G2，D2H2，D1H1連接，且A1E1∥A2E2∥B2F2∥B1F1∥C1G1∥C2G2∥D2H2∥D1H1，A1E1＝A2E2＝B2F2＝B1F1＝C1G1＝C2G2＝D2H2＝D1H1＝A1A2.這樣三維空間到四維空間新增加八個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)可以引出四條兩兩互相垂直的線段，構(gòu)成一個(gè)四維空間中的超立方體.以此類推，每增加一個(gè)維度，就會(huì)新增加原來(lái)維度中的頂點(diǎn)數(shù)，每個(gè)頂點(diǎn)會(huì)向新的維度增加一條線段，且這n條線段中任意兩條之間的夾角是90°，任意的面都是正方形.

下面列表表示1～n維的幾何形體的點(diǎn)、線、面、三維體、四維體等數(shù)量關(guān)系（見(jiàn)表2）.

關(guān)于棱數(shù)公式解釋，以三維立方體為例，八個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)引出三條兩兩垂直的線，且每?jī)蓷l棱會(huì)被重復(fù)算一次，所以為23·C1321＝12；關(guān)于面數(shù)公式解釋，仍以三維立方體為例，n個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)引出三條兩兩垂直的線，任選兩條對(duì)應(yīng)一個(gè)面，即C23＝3，共有八個(gè)頂點(diǎn)，每四個(gè)頂點(diǎn)共用一個(gè)面，所以有面23·C2322＝6（個(gè)）.n維超立方體每個(gè)頂點(diǎn)引出n條兩兩垂直的線，有2n·C2n22個(gè)面，其余同理推得.

一維中線段：點(diǎn)－棱＝2－1＝1.

二維平面內(nèi)正方形：點(diǎn)－棱＋面＝4－4＋1＝1.

三維空間中正方體：點(diǎn)－棱＋面－體＝8－12＋6－1＝1.

四維空間中幾何體：點(diǎn)－棱＋面－體3＋體4＝16－32＋24－8＋1＝1.

五維空間中幾何體：點(diǎn)－棱＋面－體3＋體4－體5＝32－80＋80－40＋10－1＝1.

n維空間中幾何體：點(diǎn)－棱＋面－體3＋體4－體5+…+（-1）n體n＝2n－2n·C1n21＋2n·C2n22－2n·C3n23＋…＋（－1）n2n·Cnn2n＝2n·C0n20－2n·C1n21＋2n·C2n22－2n·C3n23＋…＋（－1）n2n·Cnn2n＝2nC0n－2n－1·C1n＋2n－2·C2n－2n－3·C3n＋…＋（－1）n20·Cnn＝（2－1）n＝1.

3任意多面體在多維空間中的思考和猜想

世界級(jí)物理學(xué)大師楊振寧先生曾說(shuō)：“數(shù)學(xué)和物理像對(duì)生的雙葉，雖然大部分分離，但基部共生.”一線教師在教學(xué)中可以通過(guò)跨學(xué)科學(xué)習(xí)，為課堂增添活力，為學(xué)生融通理科打好基礎(chǔ).在特殊幾何體證明之后，筆者嘗試向任意多面體推廣，但受阻近一個(gè)月，偶然在一次物理聽(tīng)課中受到啟發(fā)，迅速找到突破的方向，也更加堅(jiān)信學(xué)科融合的重要性.［4］

3.1二維平面內(nèi)歐拉公式的思考

上面通過(guò)特殊的幾何體對(duì)歐拉公式進(jìn)行了推廣，由此想到，一維線段到二維平面內(nèi)的任意多邊形，三維空間中的任意多面體，甚至到n維空間中的任意超幾何體，它們是否都能滿足上面結(jié)論.

為了好理解，還從低維度向高維度類比分析.如圖8所示，一維線段AB，在二維平面內(nèi)取一點(diǎn)O，連接OA，OB，在OA，OB上各放置一個(gè)正電荷，在面OAB上放置一個(gè)負(fù)電荷，所有電荷匯聚到點(diǎn)O，總電荷數(shù)為＋1.如圖9所示，同一平面內(nèi)再取點(diǎn)C，連接OC，在OC上放置一個(gè)正電荷，在面OBC上放置一個(gè)負(fù)電荷，總電荷數(shù)仍然為＋1.同樣的方法操作，總電荷數(shù)仍然為＋1.如圖10所示，連接AK，需要在面AOK上添加一個(gè)負(fù)電荷，這時(shí)總電荷數(shù)為0，最后在O點(diǎn)放置一個(gè)正電荷，多邊形平面內(nèi)總電荷數(shù)為＋1.每條線上的一個(gè)正電荷對(duì)應(yīng)多邊形每一個(gè)頂點(diǎn)，每一個(gè)面上的負(fù)電荷對(duì)應(yīng)多邊形每一條邊，中間O點(diǎn)處的正電荷對(duì)應(yīng)多邊形一個(gè)面，于是有結(jié)論：點(diǎn)數(shù)－邊數(shù)＋面數(shù)＝1.

3.2三維空間中歐拉公式的思考

如圖11所示，三維空間中取一點(diǎn)O，連接點(diǎn)O和二維平面上△ABC各頂點(diǎn)，在OA，OB，OC上各放置一個(gè)正電荷，在面OAB，OBC，OAC上各放置一個(gè)負(fù)電荷，在三棱錐OABC體內(nèi)放置一個(gè)正電荷，所有電荷匯聚到點(diǎn)O，總電荷數(shù)為＋1.如圖12所示，在三棱錐OABC旁再拼接一個(gè)三棱錐OBCD，且OBC為公共面.在OD上放置一個(gè)正電荷，面OCD，OBD上各放置一個(gè)負(fù)電荷，在三棱錐OBCD體內(nèi)放置一個(gè)正電荷，這樣，總電荷數(shù)＝原來(lái)電荷數(shù)＋1－2＋1＝原來(lái)總電荷數(shù)＝＋1.同樣方法操作，如圖13所示，若拼接的是四棱錐，且與原來(lái)幾何體有一個(gè)公共面，電荷數(shù)變化為＋2－3＋1＝0，若拼接的四棱錐與原來(lái)幾何體有兩個(gè)公共面，電荷數(shù)變化為＋1－2＋1＝0.同理，總能拼接成一個(gè)閉合的幾何體，如圖14所示，即一個(gè)多面體，僅缺少一個(gè)棱錐OABC的面ABC.這時(shí)只需將一個(gè)正電荷放置到最后一個(gè)棱錐體內(nèi)，并封閉多面體，這時(shí)總電荷數(shù)為＋2，最后在點(diǎn)O處放置一個(gè)負(fù)電荷，總電荷數(shù)為＋1.每條線上的一個(gè)正電荷對(duì)應(yīng)多面體每一個(gè)頂點(diǎn)，每一個(gè)面上的負(fù)電荷對(duì)應(yīng)多面體每一條棱，每一個(gè)棱錐體內(nèi)正電荷對(duì)應(yīng)多面體每一個(gè)面，中間O點(diǎn)處的負(fù)電荷對(duì)應(yīng)多面體的一個(gè)體，于是得到結(jié)論：對(duì)于任意凸多面體，點(diǎn)數(shù)－棱數(shù)＋面數(shù)－體數(shù)＝1.此外，如果多面體出現(xiàn)洞，若洞沒(méi)有打通整個(gè)多面體，有一個(gè)洞就只需要將其相應(yīng)的椎體內(nèi)的正電荷去掉，若洞所對(duì)的另一面也有一個(gè)洞，同樣去掉一個(gè)正電荷，這時(shí)形成的洞即為幾何體的虧格，也就是每出現(xiàn)一個(gè)打通多面體的洞，要相應(yīng)減去兩個(gè)電荷，若有g(shù)個(gè)打通的洞，其相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)－棱數(shù)＋面數(shù)＝2－2g，滿足有虧格拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的歐拉示性數(shù).當(dāng)然所謂打通的洞是由中間點(diǎn)O連通的.

3.3四維空間中歐拉公式的思考

在四維空間中思考有一定難度，不過(guò)可以借鑒二維和三維分析的經(jīng)驗(yàn).如圖15所示，四維空間中取一點(diǎn)O，連接點(diǎn)O和三維空間中的三棱錐ABCD各頂點(diǎn)，在OA，OB，OC，OD上各放置一個(gè)正電荷，在面OAB，OAC，OAD，OBC，OBD，OCD上各放置一個(gè)負(fù)電荷，在三棱錐OABC，OABD，OACD，OBCD體內(nèi)放置一個(gè)正電荷，在OABCD四維超棱錐體內(nèi)放置一個(gè)負(fù)電荷，所有電荷匯聚到點(diǎn)O，總電荷數(shù)為＋4－6＋4－1＝＋1.如圖16所示，在四維超棱錐OABCD旁再拼接一個(gè)四維超棱錐OABCE，且三棱錐OABC為公共體，拼接后在多出的一條線OE上放置一個(gè)正電荷，在多出的面OAE，OBE，OCE上各放置一個(gè)負(fù)電荷，在多出的三棱椎體OABE，OACE，OBCE的體內(nèi)各放置一個(gè)正電荷，在多出的一個(gè)四維超棱椎體OABCE的體內(nèi)放置一個(gè)負(fù)電荷，這樣，總電荷數(shù)＝原來(lái)電荷數(shù)＋1－3＋3－1＝原來(lái)總電荷數(shù)＝＋1.重復(fù)同樣的操作，類比用有限多個(gè)棱錐體拼成即將閉合的多面體.用有限多個(gè)四維超棱錐總能拼接成一個(gè)即將閉合的四維超幾何體，這時(shí)總的電荷數(shù)＝＋1，最后一塊缺少一個(gè)四維超棱錐.這時(shí)只需將一個(gè)負(fù)電荷放置到最后一個(gè)四維超棱錐體內(nèi)，并封閉超幾何體，這時(shí)總電荷數(shù)為0，最后在點(diǎn)O處放置一個(gè)正電荷，總電荷數(shù)為＋1.每條線上的一個(gè)正電荷對(duì)應(yīng)超幾何體每一個(gè)頂點(diǎn)，每一個(gè)面上的負(fù)電荷對(duì)應(yīng)超幾何體每一條邊，每一個(gè)棱錐體內(nèi)正電荷對(duì)應(yīng)超幾何體每一個(gè)面，每一個(gè)超棱錐體內(nèi)負(fù)電荷對(duì)應(yīng)超幾何體中的三維幾何體，中間O點(diǎn)處的正電荷對(duì)應(yīng)拼裝而成的一個(gè)超幾何體，于是得到結(jié)論：對(duì)于任意四維超幾何體，點(diǎn)數(shù)－棱數(shù)＋面數(shù)－體數(shù)＋超體數(shù)＝1.

猜想：類比三維空間中幾何體有洞的情況，如果四維超幾何體出現(xiàn)洞，若洞沒(méi)有打通整個(gè)超幾何體，有一個(gè)洞就只需要將其相應(yīng)的四維超棱錐體內(nèi)的負(fù)電荷去掉，若洞所對(duì)的另一面也有一個(gè)洞，同樣去掉一個(gè)負(fù)電荷，這時(shí)形成的洞即為超幾何體的虧格，也就是每出現(xiàn)一個(gè)打通四維空間的洞，要相應(yīng)減去兩個(gè)負(fù)電荷，若有g(shù)個(gè)打通的洞，其相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)－棱數(shù)＋面數(shù)－體數(shù)＝2g，這里打通的洞也是由中間點(diǎn)O連通的.

將幾何體點(diǎn)數(shù)，棱數(shù)，面數(shù)，體3數(shù)，體4數(shù)等分別用E0，E1，E2，E3，E4等表示，得到結(jié)論：E0－E1＋E2－E3＋E4＋…＋（－1）kEk＝1，或者nk＝0i2kEk＝1.

4結(jié)語(yǔ)

人類文明的新發(fā)現(xiàn)都源自對(duì)未知的好奇，人類進(jìn)步的新征程都需要對(duì)挑戰(zhàn)的孜孜追尋.［5］挑戰(zhàn)是精選問(wèn)題，努力探索，理論聯(lián)系實(shí)踐.作為新時(shí)代的一線教師，肩負(fù)重任，只有自己不斷學(xué)習(xí)，橫向拓寬視野，縱向深入研究，才能更好引領(lǐng)學(xué)生.

參考文獻(xiàn)

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