初中生代數推理能力的提升策略研究

摘要：代數推理是一種通過形式化的符號，表征數學問題或情境中的數量關系，并進行概括驗證的思維過程.《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確將“了解代數推理”納入初中階段的課程內容.因此，教師有必要了解當前初中生的代數推理能力現狀并提出有效的教學策略，以便能夠更有針對性地開展教學.

關鍵詞：代數推理；調查研究；策略研究

發展學生的代數推理能力有助于促使其形成有條理、善分析、能邏輯思考的思維習慣.這一能力不僅能幫助學生在學習新知識時發現與驗證自己的猜想，也有助于他們在生活中有理有據地分析和解決問題.本文通過對代數推理的教學分析，梳理與代數推理相關的教學內容，根據學生代數推理能力的現狀特點，結合一線教師的建議，提出代數推理教學的有效策略，以期為學生薄弱點的突破提供參考.

1代數推理注重知識聯系

代數推理能力的形成建立在知識聯系的基礎之上.教師應對初中階段的數學知識體系了如指掌，尤其是每個單元中前后知識的聯系，以便能夠在教學中做到以舊導新.有效的問題鏈是課堂教學的推進器，能溝通起新舊知識間的聯系，引發學生深度思考，是構建知識網絡，提高學生的推理能力的必要一環.［1］例如，在教學人教版《義務教育教科書數學七年級上冊》中“整式”時，教師可以向學生提問“人們解決實際問題時，必須根據已知的具體數字進行計算，而未知的字母有什么用呢，它能表示什么”，讓學生從中體會引入字母表示數的必要性，這是發展學生代數推理能力的第一步.又如，在教學人教版《義務教育教科書數學八年級下冊》中“二次根式的乘除”時，教師可以提問學生“我們知道，實數具有運算法則，可以進行加減乘除，那么算術平方根也是一個實數，是否也具有加減乘除的運算法則呢？如果有，那么它的運算法則是怎樣的，如何研究”，這種提問方式借助學生已有的知識經驗引入，激發了學生探究新知識的興趣.此外，課堂的問題導入不僅可由教師給出，也可由教師提問引導學生基于以往的知識“生長”出新的問題，這也是代數推理形成的必要一環.例如，教師引導學生思考“對于即將要學習的知識，你有哪些想要了解的”“你能找出新知識與學過知識之間的聯系嗎”等問題，讓學生從舊知與新知的聯系出發，從而既溝通了知識間的邏輯聯系，又激發了學生自主發現與提出問題的能力.

2知識生成應經歷完整推理過程

代數推理能力的發展貫穿整個知識學習過程，因此學生只有經歷合情推理與演繹推理的完整過程，才能體會知識的來龍去脈.這種“再創造”的體驗，有利于學生形成嚴謹的求知精神，增強學習數學的興趣.章建躍教授指出，數學概念、原理、性質與法則等的獲得要通過學生自己的觀察、操作、實驗，在此基礎上開展歸納、類比，抽象、概括等推理活動.在經歷完整推理過程后獲得的數學知識才能被學生深刻理解，成為自己的東西.這個過程需要充分發揮學生的主體作用，因此“教”要給“學”留時間，讓學生自己去探索與思考，在“悟”中明真知，內化數學思想［2］，從動手操作、合作交流、自我反思再到學以致用，使得代數推理能力的發展水到渠成.

以人教版《義務教育教科書數學九年級上冊》中“解一元二次方程”的教學過程為例，先研究配方法，再由配方法延伸到公式法就是一個完整的推理過程.學生可以先由一個具體的問題得到一個一元二次方程10×6x2=1500，通過解方程計算出兩根，以此歸納得到，對于類似x2=p的方程，當pgt;0，p=0，plt;0時根的情況.在此基礎上，繼續研究（x＋3）2=5與x2＋6x＋4=0的解，進一步歸納出（x＋n）2=p的根的情況，從具體的方程到用字母表示的方程，是從特殊到一般的過程，從研究x2=p根的情況到研究（x＋n）2=p根的情況，則是類比的過程.推理顯然不止于此，教材進一步給出了一元二次方程的一般表達式，要求學生遷移此前經驗，用配方法研究一般一元二次方程根的情況，從而得到更一般化的求根方法.最后，師生應共同反思推理過程或由學生自己反思整個知識生成的過程，建立知識間的邏輯聯系，將推理所得的結論做一般化的推廣.

3加深符號理解，提升代數抽象能力

代數推理是借助數學符號，依據數學規則進行推導的過程.教師普遍認為代數推理難在對抽象符號的理解.因此，有必要加強學生對符號的理解，這是代數推理的基礎.加深學生的符號理解主要有以下兩個途徑：一是剖析數學核心概念.教師應幫助學生深入理解數學概念，確保其對基本概念有清晰、準確地認識;幫助學生理解符號的含義，掌握數學符號的基本含義和用法，以及在不同情境下表示的意義；幫助學生熟悉符號運算的規則和技巧，提高符號運算的準確性和速度.此處所提及的概念或符號并不僅僅指的是教材中要求掌握的，也包括學生在日常做題或閱讀中遇到的新概念和新運算.學生如果能在平常的學習中加強對概念內涵與外延的剖析以及對概念的來龍去脈的梳理，那么對新的符號也能更加容易理解，或是能進一步變形引申出新的形式，盡管可能存在不嚴謹的地方，但教師應鼓勵這種嘗試，這也是對學生更高的要求.二是熟練掌握數學的定理、公式和命題，熟悉并理解定理和公式的推導過程.數學的定理與命題是進行代數推理的依據，尤其是代數運算離不開運算法則的掌握，新的定理往往要借助舊的定理推導而來.因此，數學定理背后的邏輯需由學生自己去摸索，單純的記憶則無助于提升其代數推理能力.［3］教學時，教師可引導學生體會有些數學知識是從具體到抽象的，如從實際問題出發，通過觀察和歸納，逐步抽象出一般規律和數學模型.總的來說，數學的定理、法則、公式等注重學生自主發現，抽象歸納的方式也應由學生自己發揮，在不斷地改進中，才能使得語言更加嚴謹與條理化.例如，在教學人教版《義務教育教科書數學八年級上冊》中“從分數到分式”一課中，教師通過引導學生觀察式子，再與分數進行比較，抽象得到分式的表達式.教學時，教師應加強與分數的類比，從而促進學生對分式各部分的理解，促進后續進一步研究分式的基本性質與運算.

4加強數形結合，提升代數證明能力

由于代數的抽象化和形式化，代數推理的教學要注重直觀化.一方面，代數問題可以通過圖形說明；另一方面，幾何問題也可以從代數的角度進行證明.代數的符號表征可以借助實際的生活背景，將代數意義形象化，也可以將幾何圖形作為載體，從幾何圖形（函數圖象）中進行代數推理.初中階段有許多數形結合的例子，借助圖形推理代數問題的有：從圖形的變化中抽象出規律；借助數軸比較數的大小；通過函數圖象進行想象，用矩形面積驗證完全平方公式、平方差公式等多項式的乘法，等等.反之，幾何證明采取代數方法的有：基于幾何圖形性質，通過運算證明數量大小關系；通過方程與函數等代數式的恒等變換證明位置關系；等等.函數作為數形結合的重要工具，教師在初中階段就應有意識地加強學生對函數表達式與圖象之間關系的理解，為后續的學習打下基礎.總的來說，一種代數問題往往可以借助多種圖形說明，數與形密不可分.在教學時，教師不應局限于教材所給的方式，應鼓勵學生大膽聯系知識，用盡可能多的方法進行論證說明.

5關注創新能力發展，發揮育人功能

教師要幫助學生初步學會通過具體的實例，運用歸納和類比發現數學關系與規律，提出數學命題與猜想并加以驗證；引導學生探索一些開放性的、非常規的數學與實際問題，以培養學生的創新意識.對于代數推理教學而言，一方面，代數合情推理的教學要引導學生通過與代數相關的數學情境或現實情境，大膽進行各種猜想，提出有創新性的問題；另一方面，代數演繹推理的教學要鼓勵學生使用不同的方法證明或推導代數命題性質，如與幾何相結合或與其他學科相結合，探尋解決問題的最優化路徑.要培養學生的創新能力，教師應先具備會思考、歸納、類比、推廣的能力，以更好地創新知識、創新教法.同時，教師要發揮非認知因素的作用，激發學生對未知事物的好奇心與探索欲，進而調動起他們對于學習的主動性與熱情.這樣的教學方法，能夠促使學生以更加積極、主動的態度投身各種探究活動.此外，還要注重代數推理教學的育人功能，即在推理的過程中培養學生解決問題的邏輯思維、面對難題的科學態度與理性精神.在教學中，教師既要引導學生尊重客觀事實，又要增強學生批判質疑的能力.經歷獨立思考和自主判斷后，學生能從多角度大膽嘗試、辯證地看待與分析問題.總之，代數推理的教學既要關注學生創新能力的培養，又要以學生思維的發展與素養的提升為根本.

6教學實例分析

基于以上對代數推理的分析，本文再以“二次函數的圖象和性質”的教學為例進行說明.“二次函數的圖象和性質”是人教版《義務教育教科書數學九年級上冊》中的內容，旨在通過二次函數的圖象和性質的學習，幫助學生更深入地理解函數的本質和特性.教材通過研究一個具體的函數y=x2－6x＋21的圖象和性質，引導學生利用研究y=a（x－h）2＋k（a≠0）的形式，研究其函數圖象與性質.教材先給出了兩種畫圖象的方法：一種是先畫出二次函數y=x2，再通過平移得到；另一種是將原函數表達式配方，求其頂點和對稱軸，再根據對稱性求出幾個坐標，然后通過觀察圖象發現其特點.在這個例子之后，教材又引導學生按照前面的方法探究二次函數y=－2x2－4x＋1的圖象和性質.學生通過兩次的實踐操作，能夠基本掌握繪制二次函數y=ax2＋bx＋c（a≠0）圖象的方法，并能概括歸納其性質.選學部分的探究是類比一次函數的解析式由兩點就可確定，引導學生思考二次函數至少需要幾個點，歸納得出二次函數的解析式由各項系數確定.

6.1復習回顧，引入新知

師生回顧復習二次函數的定義與各部分名稱，以及二次函數y=ax2（a≠0）與y=a（x－h）2＋k（a≠0）的圖象與性質.

拋出問題：已經學習了二次函數y=ax2（a≠0）與y=a（x－h）2＋k（a≠0）的圖象與性質，那么二次函數的一般式y=ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象又有哪些特點，其性質是什么，如何進行研究？

【設計意圖】本節課探究的函數正是第一節課的二次函數一般表達式，因此有必要先回顧二次函數的相關概念.學生在學習前面兩種二次函數的圖象與性質后，自然而然會想到一般式的圖象和性質是什么，從而體會到本節課的意義.

6.2探究二次函數y=ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象和性質

圖象的研究：對于上述問題，學生思考后，認為可以先從某個具體的二次函數入手，如y=x2－6x＋21.教師提問學生如何研究，引導學生運用學過的知識.學生可能想到可以先畫出y=x2的圖象，再進行平移得到；也可以將其轉化為y=a（x－h）2＋k（a≠0）的形式進行研究.相比之下，配方法可以直接得到函數圖象.以一元二次方程2x2－3x－4=0為例，回顧配方法的過程，強調運用“系數化為1”和“配方時加上一次項系數一半的平方”性質.師生共同用配方法將y=2x2－3x－4轉化為y=a（x－h）2＋k（a≠0）的形式.這時應注意區分二次函數與一元二次方程在配方時的處理有何不同.

師生活動：學生通過前面的例子，嘗試將y=x2－6x＋21化為y=12（x-6）2+3的形式.學生小組合作交流，畫出y=12（x-6）2+3的函數圖象，教師可展示學生不同的畫圖方法.

性質的研究：學生觀察所畫的函數圖象，并說出圖象的特點.學生類比以上的方法，自主畫出y=－2x2－4x＋1的圖象，比較兩個圖象的異同點.

師生活動：師生共同將二次函數y=ax2＋bx＋c（a≠0）轉化為頂點式y=a（x－h）2＋k（a≠0），歸納總結二次函數的性質.通過求解析式和觀察，得出只要已知二次函數的二次項系數、一次項系數和常數項，就能直接求出拋物線的對稱軸和頂點坐標，也就能唯一確定函數解析式的結論.

7結語

根據本文的研究，培養學生的代數推理能力，教學中教師需要注意以下幾點：注重知識聯系，以問促學；知識生成應經歷完整推理過程；教師應加深學生對符號的理解，提升學生的代數抽象能力；應加強數形結合，提升學生的代數證明能力；應關注創新能力發展，發揮育人功能.總之，教師在教學中，應遵循教學建議，幫助學生發展代數推理能力，為后續的學習奠定堅實的基礎.

參考文獻

［1］陳衛麗.核心素養下初中生代數推理能力培育的實踐與思考［J］.數學之友，2024（11）：85-87.

［2］范慧雪，張慧.新課標背景下初中生數學推理能力的培養研究［J］.新課程導學，2023（31）：16-19.

［3］韋李花.基于新課標的初中代數推理教學初探［J］.文理導航（中旬），2023（7）：94-96.