GeoGebra在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究

摘要：以GeoGebra軟件為代表的信息技術(shù)在創(chuàng)建優(yōu)質(zhì)資源、優(yōu)化課程內(nèi)容與教學(xué)過程、改進學(xué)生學(xué)習(xí)方式、精準開展教學(xué)評價等方面發(fā)揮著重要作用，它是促進學(xué)生深度學(xué)習(xí)的重要抓手.因此，基于深度學(xué)習(xí)的視角去分析GeoGebra軟件與數(shù)學(xué)教學(xué)融合，以實現(xiàn)借助信息技術(shù)達成數(shù)學(xué)教學(xué)深度學(xué)習(xí).這樣的研究具有重要的理論意義和實踐價值．

關(guān)鍵詞：深度學(xué)習(xí)；GeoGebra軟件；高中數(shù)學(xué)；教學(xué)設(shè)計

無論是基礎(chǔ)教育課程改革的要求，還是學(xué)生核心素養(yǎng)的要求，都需要教師持續(xù)不斷的專業(yè)提升方可達到立德樹人的教育目標.在目前深度學(xué)習(xí)理論的引領(lǐng)下，以信息技術(shù)為抓手的課堂整合需要教師具備信息技術(shù)素養(yǎng).GeoGebra的技術(shù)呈現(xiàn)不能離開教師的正確運用，因此，開展以學(xué)生發(fā)展為最終目標的深度教學(xué)，并在實踐過程中對GeoGebra與高中數(shù)學(xué)教學(xué)的融合進行研究能夠最終實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的要求．

1借助GeoGebra創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，調(diào)動經(jīng)驗與興趣

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教學(xué)情境在引發(fā)學(xué)生的自主思考、合理猜測、建構(gòu)知識和鞏固所學(xué)上有重要作用.運用GeoGebra創(chuàng)設(shè)情境促進學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，不可隨意選擇情境，要把握情境針對性的特點.一方面情境中要包含豐富的數(shù)學(xué)問題，另一方面情境需要與學(xué)生的先驗知識有關(guān)，幫助學(xué)生能分析、理解情境中的條件與問題.情境的創(chuàng)設(shè)應(yīng)該緊密圍繞學(xué)習(xí)內(nèi)容展開，凸顯知識的核心要點，這意味著教師需要先深入挖掘?qū)W習(xí)內(nèi)容的內(nèi)在邏輯和知識體系，找出其中的關(guān)鍵點和難點；然后設(shè)計情境，這樣能夠幫助學(xué)生將學(xué)習(xí)內(nèi)容與實際情境相結(jié)合，從而更好地理解知識的本質(zhì)和內(nèi)涵.同時，情境往往包含數(shù)學(xué)問題.因此，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的理解能力和發(fā)展水平，采取以“問題鏈”為主的教學(xué)活動，它更能體現(xiàn)出情境的可探究性特點.對于問題鏈的設(shè)計，應(yīng)該遵循由淺入深、由易到難的原則，逐步引導(dǎo)學(xué)生從簡單的認知任務(wù)過渡到復(fù)雜的思維活動.同時，問題之間應(yīng)該具有邏輯性和連貫性，形成一個完整的問題體系，幫助學(xué)生建立完整的知識框架和思維模型．

例如，在引入三角函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）時，高中人教A版教材中是通過研究古代筒車工作原理讓學(xué)生探究三角函數(shù)參數(shù)的性質(zhì).筒車中盛水筒的勻速圓周轉(zhuǎn)動模型是讓學(xué)生基于該情境探究盛水筒距離水面的相對高度與時間的關(guān)系，如圖1所示.學(xué)生借助該情境經(jīng)歷對函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）從抽象到具體再到抽象的學(xué)習(xí)過程，從而對函數(shù)y=A·sin（ωx＋φ）中的A，ω，φ三個參數(shù)的數(shù)學(xué)意義有充分的認識．

但是從學(xué)習(xí)知識的歷程來看，學(xué)生對三角函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的性質(zhì)探究以及不同參數(shù)對函數(shù)圖象的影響并不陌生.學(xué)生早在初中階段學(xué)習(xí)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)時，已經(jīng)具備探究二次函數(shù)y＝x2與y＝ax2（a≠0），y＝a（x－h(huán)）2（a≠0），y＝（x－h(huán)）2＋c（a≠0）以及y＝ax2＋bx＋c（a≠0）之間關(guān)系的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，即對于函數(shù)中包含多個參數(shù)，往往運用控制變量法，逐步增加參數(shù)的個數(shù)，最終從特殊到一般的方法研究一個新的函數(shù)圖象.［1］教師通過對兩個函數(shù)表達式的特征分析與比較后，讓學(xué)生很容易自行學(xué)習(xí)到參數(shù)A影響函數(shù)曲線的波動幅度，這是函數(shù)曲線縱向的變化情況.曲線橫向變化受哪些參數(shù)的影響需要結(jié)合教師的引導(dǎo)去觀察、分析，進而得出結(jié)論.當然，學(xué)生對舊知有可能遺忘，此時需要教師通過合理的教學(xué)情境去喚醒學(xué)生的記憶，在這個過程中教師可以通過依據(jù)教材中的筒車模型，借助GeoGebra的動態(tài)演示功能進行指導(dǎo)．

2借助GeoGebra進行多元表征，把握本質(zhì)與變式

“表征”屬于教育心理學(xué)的概念，是指信息在心理活動中的呈現(xiàn)和記載方式.學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)同樣離不開表征，其方式是多元的.學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的表征方式主要包括了操作性表征、圖象表征、語言表征和符號表征，而不同的學(xué)生對同一個數(shù)學(xué)知識的表征方式并不完全相同.由于數(shù)學(xué)知識的復(fù)雜性，如果教師在教學(xué)中運用單一的表征方式，往往難以揭露知識的本質(zhì)，就會影響學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，因此多元表征是優(yōu)化教師教學(xué)效能和改善學(xué)生學(xué)習(xí)方式，促進學(xué)生深度學(xué)習(xí)的有效路徑.當前借助多樣化的信息呈現(xiàn)方式來清晰地刻畫學(xué)習(xí)對象，可以在形與數(shù)的轉(zhuǎn)變中豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)認知，避免學(xué)生對知識形成表面認識，充分促進學(xué)生對數(shù)學(xué)知識中的數(shù)量、結(jié)構(gòu)、意義和內(nèi)涵的多方面探索，將學(xué)習(xí)障礙最小化、學(xué)習(xí)效率最大化.［2］在現(xiàn)代教育技術(shù)媒介的廣泛應(yīng)用下，GeoGebra軟件在課堂教學(xué)中能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)學(xué)知識的多元表征.例如，教師在講解新知的過程中，利用GeoGebra的代數(shù)計算功能能夠向?qū)W生清晰展示數(shù)學(xué)語言的邏輯與表達.同時，GeoGebra還支持自定義符號和變量的功能，使得學(xué)生能運用數(shù)學(xué)符號來表達、把握知識之間的關(guān)系，從而掌握數(shù)學(xué)符號的含義.在圖形語言的表征方面，GeoGebra的圖象繪制功能可以讓學(xué)生直觀接觸數(shù)字圖象和幾何圖形，幫助學(xué)生形成空間感知能力，讓學(xué)生在語言、符號和圖象中體悟數(shù)學(xué)中的“變”與“不變”，從而更好地把握本質(zhì)與變式之間的關(guān)系.例如，教師在對橢圓概念開展教學(xué)的過程中，就可以借助GeoGebra軟件來制作如圖2所示的動畫課件表征橢圓概念．

從數(shù)學(xué)史出發(fā)溯源圓錐曲線的發(fā)展過程，橢圓在射影幾何中可以看作是球在光照下的投影，在立體幾何中可以看作是平面斜截圓錐所成的交線，兩種方式都是在空間中對橢圓這個圓錐曲線的直觀定性描述.先通過GeoGebra軟件的3D繪圖功能建立球分別在平行光線和點光源光線的照射下所成的投影模型，即Dandelin圓柱和Dandelin圓錐模型，然后教師引導(dǎo)學(xué)生從三維轉(zhuǎn)向二維去認識橢圓，最后運用拉線作圖法繪制橢圓（如圖3），這樣的處理過程是先了解橢圓的“前世今生”，再運用橢圓的性質(zhì).

在這個數(shù)學(xué)探究活動中，學(xué)生調(diào)動學(xué)習(xí)圓的概念及標準方程相關(guān)經(jīng)驗，在教師的引導(dǎo)下發(fā)現(xiàn)：從射影幾何的角度看，圓是球在光線正投影下形成的.那么思考“當光線從球的正中間開始偏移，此時的投影又是什么呢？無論是平行光源還是點光源，投影所得的是同一個圖形嗎？與圓有哪些異同”.帶著這些問題，學(xué)生的探究期望高漲，在猜想時就已思考把握該投影圖形之間的本質(zhì)和變式.教師在課堂上的精心設(shè)計和引導(dǎo)，最終有利于學(xué)生形成自主建構(gòu)知識之間的關(guān)聯(lián)，不是停留于學(xué)習(xí)和簡單運用狹窄的知識結(jié)論上．

3借助GeoGebra支持數(shù)學(xué)探究，引發(fā)合作與交流

信息技術(shù)在數(shù)學(xué)探究教學(xué)中具有重要作用，一方面，教師借助GeoGebra可以提供豐富的教學(xué)工具和資源，實現(xiàn)一些傳統(tǒng)課堂中難以實現(xiàn)的數(shù)學(xué)探究，使學(xué)生通過運用數(shù)學(xué)軟件進行實驗探究，在師生共同解決問題中培養(yǎng)學(xué)生的團隊合作和溝通素養(yǎng)，讓學(xué)生獲得經(jīng)驗體驗，從而提升對數(shù)學(xué)知識的理解和應(yīng)用；另一方面，可以使課堂教學(xué)更加高效，從表面來看，借助GeoGebra的探究活動可能讓教師傳授的知識密集度降低，但是從學(xué)生角度觀察，能夠發(fā)現(xiàn)學(xué)生獲得了良好的學(xué)習(xí)體驗與興趣，最終對促進學(xué)生的學(xué)習(xí)動機、提升其自我效能感有顯著效果，這也與深度學(xué)習(xí)策略中提倡教學(xué)活動與學(xué)習(xí)體驗相契合.［3］例如，在學(xué)習(xí)人教A版《普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊》“頻率與概率”一節(jié)內(nèi)容時，通常會開展拋硬幣的實驗來探究頻率的穩(wěn)定性.借助GeoGebra軟件對該實驗進行模擬（如圖4），雖然起到的作用是相同的，但是毫無疑問對激活課堂氛圍、調(diào)動學(xué)生探究積極性和參與意愿有更明顯的促進作用．

借助GeoGebra軟件開展數(shù)學(xué)探究最為突出的特點是其能使探究過程可視化，從而實現(xiàn)師生間的共同參與和交流.這種可視化不僅體現(xiàn)在對數(shù)學(xué)問題的直觀呈現(xiàn)，還體現(xiàn)在對學(xué)生數(shù)學(xué)猜想的驗證和反饋上.GeoGebra軟件通過其強大的圖形繪制和動態(tài)模擬功能，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為直觀的圖象和動畫，使學(xué)生能夠更清晰地理解問題的本質(zhì)并抓住關(guān)鍵所在.這種直觀的信息呈現(xiàn)方式有助于學(xué)生進行針對性的猜想和探究.在此基礎(chǔ)上，學(xué)生可以將自己的數(shù)學(xué)猜想進行可視化表達，使教師更好地了解自己的思維過程和探究方向，在這個過程中，教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者和促進者.更重要的是，GeoGebra軟件能夠?qū)W(xué)生的猜想進行實時驗證和反饋.當學(xué)生的猜想與實際結(jié)論不一致時，軟件能夠即時展示問題所在，幫助學(xué)生認識到自己思維的誤區(qū)；而當猜想與實際相符時，學(xué)生又能獲得正向的反饋和激勵，增強學(xué)習(xí)信心和動力，促使深度學(xué)習(xí)的發(fā)生，從而使師生關(guān)系更加和諧．

綜上所述，借助GeoGebra軟件開展數(shù)學(xué)探究具有諸多優(yōu)勢，其中探究過程的可視化是實現(xiàn)師生共同參與和深度學(xué)習(xí)的重要途徑.通過軟件的使用，教師能夠更好地引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)學(xué)探究，幫助他們掌握數(shù)學(xué)知識和培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力．

4借助GeoGebra推動自主學(xué)習(xí)，促進遷移與應(yīng)用

在正規(guī)的學(xué)校教育和專業(yè)的教學(xué)過程中，學(xué)生的自主學(xué)習(xí)并不意味著學(xué)生的獨立學(xué)習(xí)，脫離了有教師引導(dǎo)的自主學(xué)習(xí)并非真實意義上的自主學(xué)習(xí)，這是因為數(shù)學(xué)知識所具有的抽象性和復(fù)雜性是影響學(xué)生正向?qū)W習(xí)心態(tài)的關(guān)鍵因素，當學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的鉆研動機不足時，遑論學(xué)生自主學(xué)習(xí)的發(fā)生.自主學(xué)習(xí)需要教師指導(dǎo)和專門信息資源提供的場域環(huán)境，這是激發(fā)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的重要途徑．

在目前學(xué)習(xí)型社會下，提倡公民培養(yǎng)終身學(xué)習(xí)能力的重要途徑就是讓人人具備自主學(xué)習(xí)的意識和能力，但是在學(xué)校教育中促進學(xué)生自主學(xué)習(xí)難以窺見成效，主要原因在于學(xué)生缺乏開展自主學(xué)習(xí)的條件，而基于信息技術(shù)的學(xué)習(xí)能實現(xiàn)學(xué)習(xí)者的自主學(xué)習(xí)．

例如，在人教A版《普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊》“三角函數(shù)”章節(jié)學(xué)習(xí)結(jié)束后，學(xué)生對分析變量間的關(guān)系、建立合適的函數(shù)模型、通過函數(shù)去尋找一般規(guī)律的思想方法有了一定的掌握.雖然對基本初等函數(shù)的學(xué)習(xí)在教材的安排上已經(jīng)結(jié)束，但是學(xué)習(xí)無處不在，自主學(xué)習(xí)并不囿于課堂所生成的內(nèi)容.教師應(yīng)依據(jù)學(xué)生的實際情況，通過開設(shè)“三角函數(shù)”微專題專項學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生在課余時間對正弦函數(shù)y＝sinx和余弦函數(shù)y＝cosx的定義深入分析，并適當提問“在任意角下，終邊與單位圓的交點的位置是由所構(gòu)成直角三角形的斜邊與其橫坐標的比值刻畫而成，那么此時的函數(shù)圖象及其性質(zhì)與余弦函數(shù)有什么關(guān)系呢”.學(xué)生在此前學(xué)習(xí)中已經(jīng)了解如何運用GeoGebra軟件去繪制余弦函數(shù)圖象，只需在指令欄中輸入“sec”，選擇指令“secx”，回車之后在繪圖區(qū)就呈現(xiàn)出所需圖象.學(xué)生通過課后的資料查詢發(fā)現(xiàn)該函數(shù)實則為正割函數(shù)，其圖象在72+kπ（k為整數(shù)）

處有一條無界的垂線漸近線.另外，與正弦函數(shù)相比較能夠發(fā)現(xiàn)，正割函數(shù)的周期為2π，存在極值，但無最值，其函數(shù)圖象如圖5所示.學(xué)生從數(shù)學(xué)史和三角函數(shù)應(yīng)用方面檢索可以發(fā)現(xiàn)正割函數(shù)在天文學(xué)中有廣泛應(yīng)用，能夠測量恒星的亮度，而余割在聲學(xué)領(lǐng)域用于計算聲波的頻率．

同樣地，微專題專項學(xué)習(xí)在解析幾何中也能很好地借助GeoGebra軟件開展探究學(xué)習(xí).學(xué)生在學(xué)完人教A版《普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》“圓錐曲線的方程”一章后，能夠發(fā)現(xiàn)圓、橢圓、雙曲線和拋物線之間有內(nèi)在統(tǒng)一性.教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)發(fā)現(xiàn)，一動點到兩個定點的距離之比為定值（定值不大于1）的軌跡為圓，橢圓是一動點到兩個定點距離之和（兩定點距離小于動點到定點距離之和）為定值的點的軌跡，雙曲線探究的是一動點到兩個定點的距離之差的軌跡.學(xué)生基于此會自然而然發(fā)問“若一動點到兩個定點的距離之積是定值，那么動點軌跡是什么”.學(xué)生繼續(xù)運用GeoGebra軟件繪制出如圖6所示的曲線，通過資料查找發(fā)現(xiàn)該曲線為卡西尼卵形線.學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)當其乘積k不斷增大時，該曲線左、右兩支不斷自相交叉，曲線中部由凹至凸，其中的曲線變化與定點距離和距離乘積之間存在數(shù)量關(guān)系.這類延伸性的學(xué)習(xí)能夠讓學(xué)生對課內(nèi)的知識產(chǎn)生合理的遷移，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生對于數(shù)學(xué)探究的好奇與熱愛．

要讓信息技術(shù)軟件與學(xué)生的自主學(xué)習(xí)結(jié)合起來，教師的信息素養(yǎng)是重要的黏合劑，只有作為引導(dǎo)者的教師關(guān)注信息技術(shù)和數(shù)學(xué)教學(xué)的深度融合并精心設(shè)計充滿信息化和思辨化的教學(xué)環(huán)境，教授學(xué)生獲取優(yōu)質(zhì)學(xué)習(xí)資源的途徑與策略并運用數(shù)學(xué)軟件開展學(xué)習(xí)探究的方法，學(xué)生的自主學(xué)習(xí)才可能發(fā)生.教師要減少學(xué)生產(chǎn)生近遷移和正向遷移的困難，讓學(xué)生在遷移中學(xué)會應(yīng)用，在應(yīng)用中學(xué)會反思，在反思中不斷在思維上吐故納新．

5結(jié)語

本研究以高中數(shù)學(xué)為例，開展了深度學(xué)習(xí)視域下GeoGebra軟件與高中數(shù)學(xué)教學(xué)融合的教學(xué)設(shè)計.選取“橢圓概念”“三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)”進行教學(xué)設(shè)計，并以“圓錐曲線的方程”章節(jié)教學(xué)為例，對學(xué)生進行教學(xué)實踐.結(jié)果表明，學(xué)生的深度學(xué)習(xí)意識與能力都得到提升，并且GeoGebra軟件與數(shù)學(xué)教學(xué)融合使學(xué)生在學(xué)習(xí)動機、知識理解、學(xué)習(xí)效率等方面有顯著的效果，同時對軟件滲透也持開放態(tài)度．

參考文獻

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